অনুশীলনী : 1.1 (পৰিমেয় সংখ্যা আৰু সংখ্যাৰেখা)
পৰিমেয় সংখ্যা (Rational Numbers): যিবোৰ সংখ্যাক p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য'ত p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু q ≠ 0। যিকোনো দুটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজত অসীম সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা থাকে।
প্ৰশ্ন নং 1 :
শূন্যটো পৰিমেয় সংখ্যা হয়নে? ইয়াক p/q আৰ্হিত (য'ত p, q অখণ্ড সংখ্যা আৰু q ≠ 0) প্ৰকাশ কৰিব পাৰিনে?
উত্তৰ: হয়, শূন্য (0) এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
কাৰণ শূন্যক আমি p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ, যেনে— 0/1, 0/2, 0/5, 0/-3 ইত্যাদি, য'ত লব p = 0 আৰু হৰ q ≠ 0 (দুয়োটা অখণ্ড সংখ্যা)।
কাৰণ শূন্যক আমি p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ, যেনে— 0/1, 0/2, 0/5, 0/-3 ইত্যাদি, য'ত লব p = 0 আৰু হৰ q ≠ 0 (দুয়োটা অখণ্ড সংখ্যা)।
প্ৰশ্ন নং 2 :
3 আৰু 4 ৰ মাজত থকা 6 টা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।
যিহেতু 6 টা সংখ্যা লাগে, সেয়ে লব আৰু হৰক (6 + 1) = 7 ৰে পূৰণ কৰা হ'ল:
3 = (3 × 7)/7 = 21/7
4 = (4 × 7)/7 = 28/7
∴ 21/7 আৰু 28/7 ৰ মাজত থকা 6 টা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ল:
22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/7
নিৰ্ণেয় সংখ্যা: 22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/73 = (3 × 7)/7 = 21/7
4 = (4 × 7)/7 = 28/7
∴ 21/7 আৰু 28/7 ৰ মাজত থকা 6 টা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ল:
22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/7
প্ৰশ্ন নং 3 :
3/5 আৰু 4/5 ৰ মাজত থকা 5 টা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।
লব আৰু হৰক (5 + 1) = 6 ৰে পূৰণ কৰি:
3/5 = (3 × 6)/(5 × 6) = 18/30
4/5 = (4 × 6)/(5 × 6) = 24/30
∴ 5 টা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ল:
19/30, 20/30, 21/30, 22/30, 23/30
(বা 19/30, 2/3, 7/10, 11/15, 23/30)
3/5 = (3 × 6)/(5 × 6) = 18/30
4/5 = (4 × 6)/(5 × 6) = 24/30
∴ 5 টা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ল:
19/30, 20/30, 21/30, 22/30, 23/30
(বা 19/30, 2/3, 7/10, 11/15, 23/30)
প্ৰশ্ন নং 4 :
তলৰ উক্তিসমূহ সঁচানে মিছা লিখা (যুক্তি সহ):
(i) প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা: সঁচা (কাৰণ পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ W = {0, 1, 2, 3...} ত সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যা থাকে)।
(ii) প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা: মিছা (কাৰণ ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰ যেনে -2, -3 অখণ্ড সংখ্যা কিন্তু পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়)।
(iii) প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা: মিছা (কাৰণ 1/2, 3/4 আদি পৰিমেয় সংখ্যা কিন্তু পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়)।
(ii) প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা: মিছা (কাৰণ ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰ যেনে -2, -3 অখণ্ড সংখ্যা কিন্তু পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়)।
(iii) প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যাই পূৰ্ণ সংখ্যা: মিছা (কাৰণ 1/2, 3/4 আদি পৰিমেয় সংখ্যা কিন্তু পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়)।
অনুশীলনী : 1.2 (অপৰিমেয় সংখ্যা আৰু বৰ্গমূল কুণ্ডলী)
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ উক্তিবোৰ সত্যনে অসত্য কাৰণসহ লিখা:
(i) প্ৰতিটো অপৰিমেয় সংখ্যাই এটা বাস্তৱ সংখ্যা: সত্য (বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় দুয়োবিধ সংখ্যাৰেই গঠিত)।
(ii) সংখ্যাৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দু √m আৰ্হিৰ (m স্বাভাৱিক): অসত্য (ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰ কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গমূল হ'ব নোৱাৰে)।
(iii) প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা: অসত্য (উদাহৰণস্বৰূপে 2 এটা বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু ই পৰিমেয়, অপৰিমেয় নহয়)।
(ii) সংখ্যাৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দু √m আৰ্হিৰ (m স্বাভাৱিক): অসত্য (ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰ কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গমূল হ'ব নোৱাৰে)।
(iii) প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা: অসত্য (উদাহৰণস্বৰূপে 2 এটা বাস্তৱ সংখ্যা কিন্তু ই পৰিমেয়, অপৰিমেয় নহয়)।
প্ৰশ্ন নং 2 :
সকলো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গমূল অপৰিমেয়নে? নহ'লে এটা উদাহৰণ দিয়া।
নহয়, সকলো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গমূল অপৰিমেয় নহয়।
উদাহৰণ:
• √4 = 2 (যি এটা পৰিমেয় সংখ্যা)
• √9 = 3 (যি এটা পৰিমেয় সংখ্যা)
উদাহৰণ:
• √4 = 2 (যি এটা পৰিমেয় সংখ্যা)
• √9 = 3 (যি এটা পৰিমেয় সংখ্যা)
প্ৰশ্ন নং 3 :
সংখ্যাৰেখাত কিদৰে √5 ক সূচিত কৰিব পাৰি দেখুওৱা।
অংকন প্ৰণালী:
1. সংখ্যাৰেখাত মূলবিন্দু O(0) ৰ পৰা 2 একক দৈৰ্ঘ্যত A(2) বিন্দু লোৱা হ'ল (OA = 2 একক)।
2. A বিন্দুত OA ৰ ওপৰত 1 একক দৈৰ্ঘ্যৰ লম্ব AB টনা হ'ল (AB = 1 একক)।
3. পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰমতে: OB = √(OA2 + AB2) = √(22 + 12) = √5 একক।
4. O ক কেন্দ্ৰ কৰি OB ব্যাসাৰ্ধৰে বৃত্তচাপ আঁকিলে ই সংখ্যাৰেখাক P বিন্দুত কাটে। P বিন্দুটোৱেই হ'ল √5।
1. সংখ্যাৰেখাত মূলবিন্দু O(0) ৰ পৰা 2 একক দৈৰ্ঘ্যত A(2) বিন্দু লোৱা হ'ল (OA = 2 একক)।
2. A বিন্দুত OA ৰ ওপৰত 1 একক দৈৰ্ঘ্যৰ লম্ব AB টনা হ'ল (AB = 1 একক)।
3. পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰমতে: OB = √(OA2 + AB2) = √(22 + 12) = √5 একক।
4. O ক কেন্দ্ৰ কৰি OB ব্যাসাৰ্ধৰে বৃত্তচাপ আঁকিলে ই সংখ্যাৰেখাক P বিন্দুত কাটে। P বিন্দুটোৱেই হ'ল √5।
প্ৰশ্ন নং 4 : শ্ৰেণীকক্ষৰ কাৰ্য: 'বৰ্গমূল কুণ্ডলী' গঠন (Square Root Spiral):
O বিন্দুক আদিবিন্দু লৈ 1 এককৰ OP1 অঁকা হ'ল। তাৰ ওপৰত 1 এককৰ লম্ব আঁকি √2, তাৰ ওপৰত পুনৰ 1 এককৰ লম্ব আঁকি √3, √4... আদি ক্ৰমে অংকন কৰি এক সুন্দৰ বৰ্গমূল কুণ্ডলী তৈয়াৰ কৰা হয়।
অনুশীলনী : 1.3 (বাস্তৱ সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তৃতি)
দশমিক বিস্তৃতিৰ প্ৰকাৰ:
• পৰিসমাপ্ত (Terminating): ভাগশেষ শূন্য হয় (পৰিমেয়)।
• অবিৰত পৌনঃপুনিক (Non-terminating recurring): অংক পুনৰাবৃত্তি হয় (পৰিমেয়)।
• অবিৰত অপুনৰাবৃত্ত (Non-terminating non-recurring): শেষো নহয়, পুনৰাবৃত্তিও নহয় (অপৰিমেয়)।
• পৰিসমাপ্ত (Terminating): ভাগশেষ শূন্য হয় (পৰিমেয়)।
• অবিৰত পৌনঃপুনিক (Non-terminating recurring): অংক পুনৰাবৃত্তি হয় (পৰিমেয়)।
• অবিৰত অপুনৰাবৃত্ত (Non-terminating non-recurring): শেষো নহয়, পুনৰাবৃত্তিও নহয় (অপৰিমেয়)।
প্ৰশ্ন নং 1 : দশমিক বিস্তৃতি আৰু ইয়াৰ প্ৰকাৰ:
(i) 36/100 = 0.36 (পৰিসমাপ্ত)
(ii) 1/11 = 0.0909... = 0.09̄ (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(iii) 4 1/8 = 33/8 = 4.125 (পৰিসমাপ্ত)
(iv) 3/13 = 0.230769... (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(v) 2/11 = 0.1818... = 0.18̄ (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(vi) 329/400 = 0.8225 (পৰিসমাপ্ত)
(ii) 1/11 = 0.0909... = 0.09̄ (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(iii) 4 1/8 = 33/8 = 4.125 (পৰিসমাপ্ত)
(iv) 3/13 = 0.230769... (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(v) 2/11 = 0.1818... = 0.18̄ (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(vi) 329/400 = 0.8225 (পৰিসমাপ্ত)
প্ৰশ্ন নং 2 : 1/7 = 0.142857̄ ৰ সহায়ত মান নিৰ্ণয়:
• 2/7 = 2 × 0.142857̄ = 0.285714̄
• 3/7 = 3 × 0.142857̄ = 0.428571̄
• 4/7 = 4 × 0.142857̄ = 0.571428̄
• 5/7 = 5 × 0.142857̄ = 0.714285̄
• 6/7 = 6 × 0.142857̄ = 0.857142̄
• 3/7 = 3 × 0.142857̄ = 0.428571̄
• 4/7 = 4 × 0.142857̄ = 0.571428̄
• 5/7 = 5 × 0.142857̄ = 0.714285̄
• 6/7 = 6 × 0.142857̄ = 0.857142̄
প্ৰশ্ন নং 3 : p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা:
(i) 0.6̄ = 6/9 = 2/3
(ii) 0.47̄ = (47 - 4)/90 = 43/90
(iii) 0.001̄ = 1/999
(iv) 0.54 = 54/100 = 27/50
(v) 0.59 = 59/100
(vi) 0.345 = 69/200
(vii) 32.1235 = 64247/2000
(viii) 0.37̄ = (37 - 3)/90 = 17/45
(ii) 0.47̄ = (47 - 4)/90 = 43/90
(iii) 0.001̄ = 1/999
(iv) 0.54 = 54/100 = 27/50
(v) 0.59 = 59/100
(vi) 0.345 = 69/200
(vii) 32.1235 = 64247/2000
(viii) 0.37̄ = (37 - 3)/90 = 17/45
প্ৰশ্ন নং 4 : 0.9999... ক p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ:
ধৰা x = 0.9999... ⇒ 10x = 9.9999...
বিয়োগ কৰি: 9x = 9 ⇒ x = 1/1 = 1
তাৎপৰ্য: 0.9999... আৰু 1 ৰ মাজৰ পাৰ্থক্য শূন্যৰ সমান অসীমভাৱে ক্ষুদ্ৰ, সেয়েহে ই 1 ৰ সৈতে মিলি যায়।
বিয়োগ কৰি: 9x = 9 ⇒ x = 1/1 = 1
তাৎপৰ্য: 0.9999... আৰু 1 ৰ মাজৰ পাৰ্থক্য শূন্যৰ সমান অসীমভাৱে ক্ষুদ্ৰ, সেয়েহে ই 1 ৰ সৈতে মিলি যায়।
প্ৰশ্ন নং 5 আৰু 6 :
• 5. 1/17 ৰ পুনৰাবৃত্ত গোটৰ অংক সংখ্যা: আটাইতকৈ বেছি 17 - 1 = 16 টা অংক থাকিব পাৰে।
• 6. পৰিসমাপ্ত দশমিকৰ বাবে q ৰ চৰ্ত: হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহ কেৱল 2 আৰু 5 ৰ ঘাত হ'ব লাগিব (q = 2m × 5n)।
• 6. পৰিসমাপ্ত দশমিকৰ বাবে q ৰ চৰ্ত: হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহ কেৱল 2 আৰু 5 ৰ ঘাত হ'ব লাগিব (q = 2m × 5n)।
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8 : অপৰিমেয় সংখ্যা নিৰ্ণয়:
• 7. তিনিটা অবিৰত অপুনৰাবৃত্ত সংখ্যা:
0.010010001..., 0.020020002..., 0.030030003...
• 8. 5/7 (0.714285̄) আৰু 9/11 (0.81̄) ৰ মাজৰ অপৰিমেয় সংখ্যা:
0.730730073..., 0.750750075..., 0.780780078...
0.010010001..., 0.020020002..., 0.030030003...
• 8. 5/7 (0.714285̄) আৰু 9/11 (0.81̄) ৰ মাজৰ অপৰিমেয় সংখ্যা:
0.730730073..., 0.750750075..., 0.780780078...
প্ৰশ্ন নং 9 : পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় হিচাপে শ্ৰেণীবিভাজন কৰা:
(i) √23 → অপৰিমেয় (পূৰ্ণবৰ্গ নহয়)
(ii) √225 = 15 → পৰিমেয়
(iii) 0.3796 → পৰিমেয় (পৰিসমাপ্ত দশমিক)
(iv) 7.478478... = 7.478̄ → পৰিমেয় (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(v) 1.101001000100001... → অপৰিমেয় (অবিৰত অপুনৰাবৃত্ত)
(ii) √225 = 15 → পৰিমেয়
(iii) 0.3796 → পৰিমেয় (পৰিসমাপ্ত দশমিক)
(iv) 7.478478... = 7.478̄ → পৰিমেয় (অবিৰত পৌনঃপুনিক)
(v) 1.101001000100001... → অপৰিমেয় (অবিৰত অপুনৰাবৃত্ত)
অনুশীলনী : 1.4 (ক্ৰমাগত পৰিৱৰ্ধন পদ্ধতিৰে সংখ্যাৰেখাত উপস্থাপন)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ক্ৰমাগত পৰিৱৰ্ধনৰ সহায়ত 3.765 সংখ্যাটো সংখ্যাৰেখাত প্ৰদৰ্শন কৰা।
1. 3.765 সংখ্যাটো 3 আৰু 4 ৰ মাজত থাকে (3.7 আৰু 3.8 ৰ মাজত)।
2. পৰৱৰ্তী পৰিৱৰ্ধনত ই 3.76 আৰু 3.77 ৰ মাজত পৰে।
3. তৃতীয় পৰিৱৰ্ধনত 3.76 আৰু 3.77 ৰ মাজৰ 5ম দাগটোৱেই হ'ল 3.765।
2. পৰৱৰ্তী পৰিৱৰ্ধনত ই 3.76 আৰু 3.77 ৰ মাজত পৰে।
3. তৃতীয় পৰিৱৰ্ধনত 3.76 আৰু 3.77 ৰ মাজৰ 5ম দাগটোৱেই হ'ল 3.765।
প্ৰশ্ন নং 2 :
4.26̄ সংখ্যাটো চতুৰ্থ দশমিক স্থানলৈ (4.2626) সংখ্যাৰেখাত প্ৰদৰ্শন কৰা।
ক্ৰমাগতভাৱে 4 আৰু 5 → 4.2 আৰু 4.3 → 4.26 আৰু 4.27 → 4.262 আৰু 4.263 ৰ মাজত পৰিৱৰ্ধন কৰি 4.2626 ৰ স্থান নিৰূপণ কৰা হ'ল।