অনুশীলনী : 1.1 (ইউক্লিডৰ বিভাজন কলনবিধি)
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid's Division Lemma):
দুটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ বাবে এনে দুটা অদ্বিতীয় পূৰ্ণ সংখ্যা q আৰু r থাকে যাতে:
a = bq + r, য'ত 0 ≤ r < b। (ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ)
দুটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b ৰ বাবে এনে দুটা অদ্বিতীয় পূৰ্ণ সংখ্যা q আৰু r থাকে যাতে:
a = bq + r, য'ত 0 ≤ r < b। (ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ. (HCF) উলিওৱা:
(i) 135 আৰু 225 | (ii) 196 আৰু 38220 | (iii) 867 আৰু 255 | (iv) 272 আৰু 1032
(v) 405 আৰু 2520 | (vi) 155 আৰু 1385 | (vii) 384 আৰু 1296 | (viii) 1848 আৰু 4058
(i) 135 আৰু 225 | (ii) 196 আৰু 38220 | (iii) 867 আৰু 255 | (iv) 272 আৰু 1032
(v) 405 আৰু 2520 | (vi) 155 আৰু 1385 | (vii) 384 আৰু 1296 | (viii) 1848 আৰু 4058
(i) 135 আৰু 225:
225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
গ.সা.উ. (135, 225) = 45
225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
গ.সা.উ. (135, 225) = 45
(ii) 196 আৰু 38220:
38220 = 196 × 195 + 0
প্ৰথম সোপানতে ভাগশেষ 0 হ'ল।
গ.সা.উ. (196, 38220) = 196
38220 = 196 × 195 + 0
প্ৰথম সোপানতে ভাগশেষ 0 হ'ল।
গ.সা.উ. (196, 38220) = 196
(iii) 867 আৰু 255:
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
গ.সা.উ. (867, 255) = 51
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
গ.সা.উ. (867, 255) = 51
(iv) 272 আৰু 1032:
1032 = 272 × 3 + 216
272 = 216 × 1 + 56
216 = 56 × 3 + 48
56 = 48 × 1 + 8
48 = 8 × 6 + 0
গ.সা.উ. (272, 1032) = 8
1032 = 272 × 3 + 216
272 = 216 × 1 + 56
216 = 56 × 3 + 48
56 = 48 × 1 + 8
48 = 8 × 6 + 0
গ.সা.উ. (272, 1032) = 8
(v) 405 আৰু 2520:
2520 = 405 × 6 + 90
405 = 90 × 4 + 45
90 = 45 × 2 + 0
গ.সা.উ. (405, 2520) = 45
2520 = 405 × 6 + 90
405 = 90 × 4 + 45
90 = 45 × 2 + 0
গ.সা.উ. (405, 2520) = 45
(vi) 155 আৰু 1385:
1385 = 155 × 8 + 145
155 = 145 × 1 + 10
145 = 10 × 14 + 5
10 = 5 × 2 + 0
গ.সা.উ. (155, 1385) = 5
1385 = 155 × 8 + 145
155 = 145 × 1 + 10
145 = 10 × 14 + 5
10 = 5 × 2 + 0
গ.সা.উ. (155, 1385) = 5
(vii) 384 আৰু 1296:
1296 = 384 × 3 + 144
384 = 144 × 2 + 96
144 = 96 × 1 + 48
96 = 48 × 2 + 0
গ.সা.উ. (384, 1296) = 48
1296 = 384 × 3 + 144
384 = 144 × 2 + 96
144 = 96 × 1 + 48
96 = 48 × 2 + 0
গ.সা.উ. (384, 1296) = 48
(viii) 1848 আৰু 4058:
4058 = 1848 × 2 + 362
1848 = 362 × 5 + 38
362 = 38 × 9 + 20
38 = 20 × 1 + 18
20 = 18 × 1 + 2
18 = 2 × 9 + 0
গ.সা.উ. (1848, 4058) = 2
4058 = 1848 × 2 + 362
1848 = 362 × 5 + 38
362 = 38 × 9 + 20
38 = 20 × 1 + 18
20 = 18 × 1 + 2
18 = 2 × 9 + 0
গ.সা.উ. (1848, 4058) = 2
প্ৰশ্ন নং 2 :
দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q + 1, বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য'ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
ধৰা হ'ল a যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 6।
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি:
a = 6q + r, য'ত 0 ≤ r < 6 আৰু q ≥ 0
গতিকে r ৰ সম্ভাৱ্য মানসমূহ হ'ল: 0, 1, 2, 3, 4, বা 5।
সেয়েহে a ক 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4 বা 6q + 5 হিচাপে লিখিব পাৰি।
কিন্তু যদি a = 6q, 6q + 2 বা 6q + 4 হয়:
• 6q = 2(3q)
• 6q + 2 = 2(3q + 1)
• 6q + 4 = 2(3q + 2)
এই প্ৰতিটো সংখ্যাই 2 ৰে বিভাজ্য, অৰ্থাৎ ইহঁত যুগ্ম সংখ্যা।
যিহেতু a এটা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে a ৰ মান 6q, 6q + 2 বা 6q + 4 হ'ব নোৱাৰে।
গতিকে, যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q + 1, 6q + 3 নাইবা 6q + 5 আৰ্হিৰ। (প্ৰমাণিত)
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি:
a = 6q + r, য'ত 0 ≤ r < 6 আৰু q ≥ 0
গতিকে r ৰ সম্ভাৱ্য মানসমূহ হ'ল: 0, 1, 2, 3, 4, বা 5।
সেয়েহে a ক 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4 বা 6q + 5 হিচাপে লিখিব পাৰি।
কিন্তু যদি a = 6q, 6q + 2 বা 6q + 4 হয়:
• 6q = 2(3q)
• 6q + 2 = 2(3q + 1)
• 6q + 4 = 2(3q + 2)
এই প্ৰতিটো সংখ্যাই 2 ৰে বিভাজ্য, অৰ্থাৎ ইহঁত যুগ্ম সংখ্যা।
যিহেতু a এটা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে a ৰ মান 6q, 6q + 2 বা 6q + 4 হ'ব নোৱাৰে।
গতিকে, যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q + 1, 6q + 3 নাইবা 6q + 5 আৰ্হিৰ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 3 :
616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম-খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ'ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ'ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ'ব?
স্তম্ভৰ সৰ্বোচ্চ সংখ্যা হ'ব 616 আৰু 32 ৰ গ.সা.উ. [HCF(616, 32)]।
ইউক্লিডৰ কলনবিধিৰে:
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
যিহেতু শেষৰ ভাজকটো 8, সেয়েহে গ.সা.উ. (616, 32) = 8।
উত্তৰ: স্তম্ভৰ সৰ্বোচ্চ সংখ্যা হ'ব 8 টা।
ইউক্লিডৰ কলনবিধিৰে:
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
যিহেতু শেষৰ ভাজকটো 8, সেয়েহে গ.সা.উ. (616, 32) = 8।
উত্তৰ: স্তম্ভৰ সৰ্বোচ্চ সংখ্যা হ'ব 8 টা।
প্ৰশ্ন নং 4 :
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, য'ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
ধৰা হ'ল a এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3।
তেন্তে a ক 3q, 3q + 1 নাইবা 3q + 2 আৰ্হিত লিখিব পাৰি।
তেন্তে a ক 3q, 3q + 1 নাইবা 3q + 2 আৰ্হিত লিখিব পাৰি।
• যদি a = 3q: a2 = (3q)2 = 9q2 = 3(3q2) = 3m [য'ত m = 3q2]
• যদি a = 3q + 1: a2 = (3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2q) + 1 = 3m + 1 [য'ত m = 3q2 + 2q]
• যদি a = 3q + 2: a2 = (3q + 2)2 = 9q2 + 12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1 [য'ত m = 3q2 + 4q + 1]
গতিকে, যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ সদায় 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ। (প্ৰমাণিত)• যদি a = 3q + 1: a2 = (3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2q) + 1 = 3m + 1 [য'ত m = 3q2 + 2q]
• যদি a = 3q + 2: a2 = (3q + 2)2 = 9q2 + 12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1 [য'ত m = 3q2 + 4q + 1]
প্ৰশ্ন নং 5 :
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আৰ্হিৰ।
ধৰা হ'ল a যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3।
তেন্তে a = 3q, 3q + 1, বা 3q + 2।
তেন্তে a = 3q, 3q + 1, বা 3q + 2।
• যদি a = 3q: a3 = (3q)3 = 27q3 = 9(3q3) = 9m [m = 3q3]
• যদি a = 3q + 1: a3 = (3q + 1)3 = 27q3 + 27q2 + 9q + 1 = 9(3q3 + 3q2 + q) + 1 = 9m + 1
• যদি a = 3q + 2: a3 = (3q + 2)3 = 27q3 + 54q2 + 36q + 8 = 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8 = 9m + 8
গতিকে, যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফল 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আৰ্হিৰ। (প্ৰমাণিত)• যদি a = 3q + 1: a3 = (3q + 1)3 = 27q3 + 27q2 + 9q + 1 = 9(3q3 + 3q2 + q) + 1 = 9m + 1
• যদি a = 3q + 2: a3 = (3q + 2)3 = 27q3 + 54q2 + 36q + 8 = 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8 = 9m + 8
প্ৰশ্ন নং 6 :
হিমাদ্ৰীয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সৰ্বাধিক কিমানটা থুপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?
সৰ্বাধিক থুপৰ সংখ্যা = গ.সা.উ. (625, 325)
625 = 325 × 1 + 300
325 = 300 × 1 + 25
300 = 25 × 12 + 0
∴ গ.সা.উ. = 25
উত্তৰ: সৰ্বাধিক 25 টা থুপত প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব।
625 = 325 × 1 + 300
325 = 300 × 1 + 25
300 = 25 × 12 + 0
∴ গ.সা.উ. = 25
উত্তৰ: সৰ্বাধিক 25 টা থুপত প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব।
প্ৰশ্ন নং 7 :
64 cm আৰু 80 cm দৈৰ্ঘ্যৰ দুডাল ৰছীৰ পৰা সমান জোখৰ কাটিব পৰা টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান?
সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = গ.সা.উ. (80, 64)
80 = 64 × 1 + 16
64 = 16 × 4 + 0
∴ গ.সা.উ. = 16
উত্তৰ: টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 16 cm
80 = 64 × 1 + 16
64 = 16 × 4 + 0
∴ গ.সা.উ. = 16
উত্তৰ: টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 16 cm
অনুশীলনী : 1.2 (পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য)
প্ৰশ্ন নং 1 :
প্ৰতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:
(i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 22 × 5 × 7
(ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 22 × 3 × 13
(iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 32 × 52 × 17
(iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429 = 17 × 19 × 23
প্ৰশ্ন নং 2 :
তলৰ অখণ্ড সংখ্যাকেইযোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা আৰু সত্যাপন কৰা যে: ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
(i) 26 আৰু 91:
26 = 2 × 13, 91 = 7 × 13 ⇒ গ.সা.উ. = 13, ল.সা.গু. = 2 × 7 × 13 = 182
ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = 182 × 13 = 2366; গুণফল = 26 × 91 = 2366 (সত্য)
(ii) 510 আৰু 92:
510 = 2 × 3 × 5 × 17, 92 = 22 × 23 ⇒ গ.সা.উ. = 2, ল.সা.গু. = 23460
ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = 23460 × 2 = 46920; গুণফল = 510 × 92 = 46920 (সত্য)
(iii) 336 আৰু 54:
336 = 24 × 3 × 7, 54 = 2 × 33 ⇒ গ.সা.উ. = 6, ল.সা.গু. = 3024
ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = 3024 × 6 = 18144; গুণফল = 336 × 54 = 18144 (সত্য)
26 = 2 × 13, 91 = 7 × 13 ⇒ গ.সা.উ. = 13, ল.সা.গু. = 2 × 7 × 13 = 182
ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = 182 × 13 = 2366; গুণফল = 26 × 91 = 2366 (সত্য)
(ii) 510 আৰু 92:
510 = 2 × 3 × 5 × 17, 92 = 22 × 23 ⇒ গ.সা.উ. = 2, ল.সা.গু. = 23460
ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = 23460 × 2 = 46920; গুণফল = 510 × 92 = 46920 (সত্য)
(iii) 336 আৰু 54:
336 = 24 × 3 × 7, 54 = 2 × 33 ⇒ গ.সা.উ. = 6, ল.সা.গু. = 3024
ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = 3024 × 6 = 18144; গুণফল = 336 × 54 = 18144 (সত্য)
প্ৰশ্ন নং 3 :
মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা:
(i) 12, 15 আৰু 21:
12 = 22 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7
গ.সা.উ. = 3, ল.সা.গু. = 420
12 = 22 × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7
গ.সা.উ. = 3, ল.সা.গু. = 420
(ii) 17, 23 আৰু 29 (সকলো মৌলিক):
গ.সা.উ. = 1, ল.সা.গু. = 17 × 23 × 29 = 11339
গ.সা.উ. = 1, ল.সা.গু. = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8, 9 আৰু 25: 8 = 23, 9 = 32, 25 = 52 ⇒ গ.সা.উ. = 1, ল.সা.গু. = 1800
প্ৰশ্ন নং 4 :
দিয়া আছে গ.সা.উ. (306, 657) = 9। ল.সা.গু. (306, 657) উলিওৱা।
ল.সা.গু. = (সংখ্যা দুটাৰ গুণফল) / গ.সা.উ.
= (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338
উত্তৰ: ল.সা.গু. = 22338
= (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338
উত্তৰ: ল.সা.গু. = 22338
প্ৰশ্ন নং 5 :
পৰীক্ষা কৰা, কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব পাৰেনে?
6n = (2 × 3)n = 2n × 3n
কোনো সংখ্যা 0 অংকেৰে শেষ হ'বলৈ তাৰ মৌলিক উৎপাদকত 2 আৰু 5 দুয়োটাই থাকিব লাগিব।
যিহেতু 6n ৰ মৌলিক উৎপাদকত 5 নাই আৰু পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি এই উৎপাদকীকৰণ অদ্বিতীয়, গতিকে n ৰ কোনো মানৰ বাবে 6n কেতিয়াও 0 অংকেৰে শেষ হ'ব নোৱাৰে।
কোনো সংখ্যা 0 অংকেৰে শেষ হ'বলৈ তাৰ মৌলিক উৎপাদকত 2 আৰু 5 দুয়োটাই থাকিব লাগিব।
যিহেতু 6n ৰ মৌলিক উৎপাদকত 5 নাই আৰু পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি এই উৎপাদকীকৰণ অদ্বিতীয়, গতিকে n ৰ কোনো মানৰ বাবে 6n কেতিয়াও 0 অংকেৰে শেষ হ'ব নোৱাৰে।
প্ৰশ্ন নং 6 :
7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।
• 7 × 11 × 13 + 13 = 13(7 × 11 + 1) = 13 × 78 = 13 × 6 × 13
• 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5(1008 + 1) = 5 × 1009
যিহেতু দুয়োটাৰে 1 আৰু সংখ্যাটোৰ বাহিৰেও আন মৌলিক উৎপাদক আছে, গতিকে ইহঁত যৌগিক সংখ্যা।
• 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5(1008 + 1) = 5 × 1009
যিহেতু দুয়োটাৰে 1 আৰু সংখ্যাটোৰ বাহিৰেও আন মৌলিক উৎপাদক আছে, গতিকে ইহঁত যৌগিক সংখ্যা।
প্ৰশ্ন নং 7 :
খেল পথাৰৰ চাৰিওফালে বৃত্তাকাৰ পথত ছোনিয়াৰ লাগে 18 মিনিট আৰু ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট। কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোক আৰম্ভণি বিন্দুত লগ লাগিব?
লগ লগা সময় = ল.সা.গু. (18, 12)
18 = 2 × 32, 12 = 22 × 3
ল.সা.গু. = 22 × 32 = 4 × 9 = 36 মিনিট
উত্তৰ: 36 মিনিট পিছত লগ লাগিব।
18 = 2 × 32, 12 = 22 × 3
ল.সা.গু. = 22 × 32 = 4 × 9 = 36 মিনিট
উত্তৰ: 36 মিনিট পিছত লগ লাগিব।
প্ৰশ্ন নং 8 :
বাস্তৱ প্ৰয়োগমূলক সমস্যাসমূহ:
(i) সৈনিকৰ নিম্নতম সংখ্যা = ল.সা.গু.(15, 20, 25) = 300 জন
(ii) ঘণ্টা পুণৰ একেলগে বাজিব = ল.সা.গু.(18, 60) = 180 ছেকেণ্ড (বা 3 মিনিট) পিছত
(iii) 2 আৰু 3 ৰ ল.সা.গু. = 6 দিন; 30 দিনত একেলগে বজাব = 30 / 6 = 5 বাৰ
(ii) ঘণ্টা পুণৰ একেলগে বাজিব = ল.সা.গু.(18, 60) = 180 ছেকেণ্ড (বা 3 মিনিট) পিছত
(iii) 2 আৰু 3 ৰ ল.সা.গু. = 6 দিন; 30 দিনত একেলগে বজাব = 30 / 6 = 5 বাৰ
অনুশীলনী : 1.3 (অপৰিমেয় সংখ্যাৰ প্ৰমাণ)
প্ৰশ্ন নং 1 :
দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয়।
বিৰুদ্ধভাৱে ধৰোঁ যে √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
∴ √5 = a/b, য'ত a আৰু b সহমৌলিক (coprime) অখণ্ড সংখ্যা আৰু b ≠ 0।
⇒ a = b√5
উভয় পক্ষক বৰ্গ কৰি:
a2 = 5b2 —— (1)
ইয়াৰ অৰ্থ 5 য়ে a2 ক হৰণ কৰে। উপপাদ্য 1.3 অনুসৰি, 5 য়ে a ক হৰণ কৰিব।
এতিয়া ধৰোঁ a = 5c (য'ত c এটা অখণ্ড সংখ্যা)। সমীকৰণ (1) ত বহুৱাই:
(5c)2 = 5b2 ⇒ 25c2 = 5b2 ⇒ b2 = 5c2
ইয়াৰ অৰ্থ 5 য়ে b2 ক হৰণ কৰে, গতিকে 5 য়ে b কো হৰণ কৰিব।
দেখা গ'ল যে a আৰু b দুয়োৰে অন্ততঃ এটা সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে। কিন্তু ই আমি ধৰি লোৱা 'a আৰু b সহমৌলিক' চৰ্তটোক বিৰোধ কৰে।
গতিকে, আমাৰ ধাৰণাটো অশুদ্ধ আছিল আৰু প্ৰমাণিত হ'ল যে √5 অপৰিমেয়।
∴ √5 = a/b, য'ত a আৰু b সহমৌলিক (coprime) অখণ্ড সংখ্যা আৰু b ≠ 0।
⇒ a = b√5
উভয় পক্ষক বৰ্গ কৰি:
a2 = 5b2 —— (1)
ইয়াৰ অৰ্থ 5 য়ে a2 ক হৰণ কৰে। উপপাদ্য 1.3 অনুসৰি, 5 য়ে a ক হৰণ কৰিব।
এতিয়া ধৰোঁ a = 5c (য'ত c এটা অখণ্ড সংখ্যা)। সমীকৰণ (1) ত বহুৱাই:
(5c)2 = 5b2 ⇒ 25c2 = 5b2 ⇒ b2 = 5c2
ইয়াৰ অৰ্থ 5 য়ে b2 ক হৰণ কৰে, গতিকে 5 য়ে b কো হৰণ কৰিব।
দেখা গ'ল যে a আৰু b দুয়োৰে অন্ততঃ এটা সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে। কিন্তু ই আমি ধৰি লোৱা 'a আৰু b সহমৌলিক' চৰ্তটোক বিৰোধ কৰে।
গতিকে, আমাৰ ধাৰণাটো অশুদ্ধ আছিল আৰু প্ৰমাণিত হ'ল যে √5 অপৰিমেয়।
প্ৰশ্ন নং 2 :
দেখুওৱা যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
ধৰোঁ 3 + 2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
∴ 3 + 2√5 = a/b (য'ত a, b সহমৌলিক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b ≠ 0)
⇒ 2√5 = a/b - 3 = (a - 3b)/b
⇒ √5 = (a - 3b) / 2b
যিহেতু a আৰু b অখণ্ড সংখ্যা, সেয়ে (a - 3b)/2b এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
ইয়াৰ ফলস্বৰূপে √5 ও এটা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ব লাগে। কিন্তু ই '√5 অপৰিমেয়' এই সত্যটোক বিৰোধ কৰে।
গতিকে, 3 + 2√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। (প্ৰমাণিত)
∴ 3 + 2√5 = a/b (য'ত a, b সহমৌলিক অখণ্ড সংখ্যা আৰু b ≠ 0)
⇒ 2√5 = a/b - 3 = (a - 3b)/b
⇒ √5 = (a - 3b) / 2b
যিহেতু a আৰু b অখণ্ড সংখ্যা, সেয়ে (a - 3b)/2b এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
ইয়াৰ ফলস্বৰূপে √5 ও এটা পৰিমেয় সংখ্যা হ'ব লাগে। কিন্তু ই '√5 অপৰিমেয়' এই সত্যটোক বিৰোধ কৰে।
গতিকে, 3 + 2√5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 3 :
দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয়: (i) 1/√2 | (ii) 7√5 | (iii) 6 + √2
(i) 1/√2:
ধৰোঁ 1/√2 = a/b ⇒ √2 = b/a। b/a পৰিমেয় হোৱা বাবে √2 পৰিমেয় হ'ব লাগিব, যিটো অসম্ভৱ।
1/√2 অপৰিমেয়
ধৰোঁ 1/√2 = a/b ⇒ √2 = b/a। b/a পৰিমেয় হোৱা বাবে √2 পৰিমেয় হ'ব লাগিব, যিটো অসম্ভৱ।
1/√2 অপৰিমেয়
(ii) 7√5:
ধৰোঁ 7√5 = a/b ⇒ √5 = a/7b। সোঁফাল পৰিমেয় কিন্তু বাওঁফাল অপৰিমেয়।
7√5 অপৰিমেয়
ধৰোঁ 7√5 = a/b ⇒ √5 = a/7b। সোঁফাল পৰিমেয় কিন্তু বাওঁফাল অপৰিমেয়।
7√5 অপৰিমেয়
(iii) 6 + √2:
ধৰোঁ 6 + √2 = a/b ⇒ √2 = a/b - 6 = (a - 6b)/b। সোঁফাল পৰিমেয় কিন্তু বাওঁফাল অপৰিমেয়।
6 + √2 অপৰিমেয়
ধৰোঁ 6 + √2 = a/b ⇒ √2 = a/b - 6 = (a - 6b)/b। সোঁফাল পৰিমেয় কিন্তু বাওঁফাল অপৰিমেয়।
6 + √2 অপৰিমেয়
অনুশীলনী : 1.4 (দশমিক বিস্তাৰ / Decimal Expansions)
দশমিক বিস্তাৰৰ চৰ্ত:
পৰিমেয় সংখ্যা p/q ৰ হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ 2n5m আৰ্হিৰ হ'লে তাৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত (Terminating) হয়। অন্যথা ই নিৰবধি পৌনঃপুনিক (Non-terminating Repeating) হয়।
পৰিমেয় সংখ্যা p/q ৰ হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ 2n5m আৰ্হিৰ হ'লে তাৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত (Terminating) হয়। অন্যথা ই নিৰবধি পৌনঃপুনিক (Non-terminating Repeating) হয়।
প্ৰশ্ন নং 1 আৰু 2 :
দীৰ্ঘ হৰণ নকৰাকৈ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত নে নিৰবধি পৌনঃপুনিক নিৰ্ণয় কৰা আৰু পৰিসমাপ্তবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতি লিখি দেখুওৱা:
(i) 13/3125 = 13 / 55 = 13 / (20 × 55)
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (13 × 25) / 105 = 416 / 100000 = 0.00416
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (13 × 25) / 105 = 416 / 100000 = 0.00416
(ii) 17/8 = 17 / 23 = 17 / (23 × 50)
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (17 × 53) / 103 = 2125 / 1000 = 2.125
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (17 × 53) / 103 = 2125 / 1000 = 2.125
(iii) 64/455 = 64 / (5 × 7 × 13)
হৰত 7 আৰু 13 থকা বাবে 2n5m নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
হৰত 7 আৰু 13 থকা বাবে 2n5m নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
(iv) 15/1600 = 3/320 = 3 / (26 × 51)
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (3 × 55) / 106 = 9375 / 1000000 = 0.009375
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (3 × 55) / 106 = 9375 / 1000000 = 0.009375
(v) 29/343 = 29 / 73
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
(vi) 23 / (23 × 52)
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (23 × 5) / 103 = 115 / 1000 = 0.115
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = (23 × 5) / 103 = 115 / 1000 = 0.115
(vii) 129 / (22 × 57 × 75)
হৰত 75 থকা বাবে 2n5m নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
হৰত 75 থকা বাবে 2n5m নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
(viii) 6/15 = 2/5 = 2 / (20 × 51)
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = 4 / 10 = 0.4
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = 4 / 10 = 0.4
(ix) 35/50 = 7/10 = 7 / (21 × 51)
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = 7 / 10 = 0.7
হৰটো 2n5m আৰ্হিৰ → পৰিসমাপ্ত
মান = 7 / 10 = 0.7
(x) 77/210 = 11/30 = 11 / (2 × 3 × 5)
হৰত 3 থকা বাবে 2n5m নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
হৰত 3 থকা বাবে 2n5m নহয় → নিৰবধি পৌনঃপুনিক
প্ৰশ্ন নং 3 :
তলৰ বাস্তৱ সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিৰ পৰা ই পৰিমেয় হয় নে নহয় সিদ্ধান্ত কৰা। যদি পৰিমেয় (p/q আৰ্হিৰ), তেন্তে q ৰ মৌলিক উৎপাদক সম্পৰ্কে কি ক'ব পাৰিবা?
(i) 43.123456789:
যিহেতু দশমিক বিস্তাৰটো পৰিসমাপ্ত (terminating), সেয়ে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
ইয়াৰ হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো কেৱল 2 আৰু 5 ৰ ঘাত (2n5m) আৰ্হিৰ হ'ব।
যিহেতু দশমিক বিস্তাৰটো পৰিসমাপ্ত (terminating), সেয়ে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
ইয়াৰ হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো কেৱল 2 আৰু 5 ৰ ঘাত (2n5m) আৰ্হিৰ হ'ব।
(ii) 0.120120012000120000...:
যিহেতু দশমিক বিস্তাৰটো অপৰিসমাপ্ত আৰু অপৌনঃপুনিক (non-terminating non-repeating), সেয়ে ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
যিহেতু দশমিক বিস্তাৰটো অপৰিসমাপ্ত আৰু অপৌনঃপুনিক (non-terminating non-repeating), সেয়ে ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
(iii) 43.123456789 (পৌনঃপুনিক):
যিহেতু দশমিক বিস্তাৰটো নিৰবধি আৰু পৌনঃপুনিক (non-terminating repeating), সেয়ে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
ইয়াৰ হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 2 আৰু 5 ৰ উপৰিও অন্য মৌলিক উৎপাদকো থাকিব (2n5m আৰ্হিৰ নহয়)।
যিহেতু দশমিক বিস্তাৰটো নিৰবধি আৰু পৌনঃপুনিক (non-terminating repeating), সেয়ে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
ইয়াৰ হৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 2 আৰু 5 ৰ উপৰিও অন্য মৌলিক উৎপাদকো থাকিব (2n5m আৰ্হিৰ নহয়)।