অনুশীলনী : 9.1 (একে ভূমি আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজৰ চিত্ৰ)
মূল সূত্ৰ: দুটা চিত্ৰক একে ভূমি আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত থকা বুলি কোৱা হয় যদিহে সিহঁতৰ এটা উমৈহতীয়া ভূমি থাকে আৰু উমৈহতীয়া ভূমিৰ বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দুবোৰ ভূমিৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালৰ ওপৰত থাকে।
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ চিত্ৰবোৰৰ কোনবোৰ একে ভূমি আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত? এনেক্ষেত্ৰত সাধাৰণ ভূমিটো আৰু সমান্তৰাল ৰেখা দুটা উল্লেখ কৰা। (চিত্ৰ 9.8)
(i) DC, AB||DC (ii) নহয় (iii) QR, PS||QR (iv) নহয় (v) AD, AD||BQ (vi) নহয়
• (i) হয়: সাধাৰণ ভূমি = DC, সমান্তৰাল ৰেখা = AB আৰু DC
• (ii) নহয়: সাধাৰণ ভূমি আছে যদিও একে সমান্তৰালৰ মাজত নাই।
• (iii) হয়: সাধাৰণ ভূমি = QR, সমান্তৰাল ৰেখা = PS আৰু QR
• (iv) নহয়: সাধাৰণ ভূমি নাই।
• (v) হয়: সাধাৰণ ভূমি = AD, সমান্তৰাল ৰেখা = AD আৰু BQ
• (vi) নহয়: সাধাৰণ ভূমি নাই।
অনুশীলনী : 9.2 (একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত সামান্তৰিক)
উপপাদ্য 9.1: একে ভূমিত আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখাৰ মাজত থকা সামান্তৰিকবোৰৰ কালি সমান।
• ত্ৰিভুজ আৰু সামান্তৰিক একে ভূমিত আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত থাকিলে: কালি (ত্ৰিভুজ) = 1/2 × কালি (সামান্তৰিক)।
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 9.15 ত ABCD এটা সামান্তৰিক, AE ⊥ DC আৰু CF ⊥ AD। যদি AB = 16 cm, AE = 8 cm আৰু CF = 10 cm, AD উলিওৱা।
AB CD EF
সামান্তৰিকৰ কালি = ভূমি × উন্নতি
CD = AB = 16 cm
কালি (ABCD) = CD × AE = 16 × 8 = 128 cm2
আকৌ, কালি (ABCD) = AD × CF ⇒ 128 = AD × 10
⇒ AD = 128 / 10 = 12.8 cm
উত্তৰ: AD = 12.8 cm
প্ৰশ্ন নং 2 :
ABCD সামান্তৰিকৰ বাহুবোৰৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে E, F, G আৰু H। দেখুওৱা যে: কালি (EFGH) = 1/2 কালি (ABCD)।
AB CD EH GF
HF সংযোগ কৰা হ'ল। HF ∥ AB ∥ DC।
• ΔEFH আৰু সামান্তৰিক ABFH একে ভূমি HF আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত আছে:
কালি (EFH) = 1/2 কালি (ABFH) —— (1)
• ΔGHF আৰু সামান্তৰিক HFCD একে ভূমি HF আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত আছে:
কালি (GHF) = 1/2 কালি (HFCD) —— (2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰি:
কালি (EFGH) = 1/2 কালি (ABCD) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 3 :
ABCD সামান্তৰিকৰ DC আৰু AD বাহুত ক্ৰমে P আৰু Q বিন্দু অৱস্থিত। দেখুওৱা যে: কালি (APB) = কালি (BQC)।
AB CD P Q
• ΔAPB আৰু সামান্তৰিক ABCD একে ভূমি AB আৰু একে সমান্তৰাল AB ও CD ৰ মাজত আছে:
কালি (APB) = 1/2 কালি (ABCD) —— (1)
• ΔBQC আৰু সামান্তৰিক ABCD একে ভূমি BC আৰু একে সমান্তৰাল BC ও AD ৰ মাজত আছে:
কালি (BQC) = 1/2 কালি (ABCD) —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা: কালি (APB) = কালি (BQC) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
ABCD সামান্তৰিকৰ ভিতৰত P এটা বিন্দু (চিত্ৰ 9.16)। দেখুওৱা যে:
(i) কালি (APB) + কালি (PCD) = 1/2 কালি (ABCD)
(ii) কালি (APD) + কালি (PBC) = কালি (APB) + কালি (PCD)
P AB CD
P ৰে AB ৰ সমান্তৰালকৈ EF টনা হ'ল।
(i) কালি (APB) = 1/2 কালি (ABFE) আৰু কালি (PCD) = 1/2 কালি (EFCD)
যোগ কৰিলে: কালি (APB) + কালি (PCD) = 1/2 কালি (ABCD)

(ii) চতুৰ্ভুজৰ মুঠ কালি = 1/2 কালি (ABCD) + 1/2 কালি (ABCD)
∴ কালি (APD) + কালি (PBC) = কালি (APB) + কালি (PCD) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
চিত্ৰ 9.17 ত PQRS আৰু ABRS দুটা সামান্তৰিক। BR ৰ ওপৰত X এটা বিন্দু। দেখুওৱা যে:
(i) কালি (PQRS) = কালি (ABRS)
(ii) কালি (AXS) = 1/2 কালি (PQRS)
PA QB SR X
(i) PQRS আৰু ABRS একে ভূমি RS আৰু একে সমান্তৰাল RS ও PB ৰ মাজত আছে:
∴ কালি (PQRS) = কালি (ABRS) (উপপাদ্য 9.1)

(ii) ΔAXS আৰু সামান্তৰিক ABRS একে ভূমি AS আৰু একে সমান্তৰাল AS ও BR ৰ মাজত আছে:
কালি (AXS) = 1/2 কালি (ABRS) = 1/2 কালি (PQRS) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
এজন খেতিয়কৰ PQRS সামান্তৰিক আকৃতিৰ পথাৰ আছিল। RS ৰ ওপৰত A বিন্দু লৈ P আৰু Q ৰ লগত সংযোগ কৰিলে। পথাৰখন কেইটা অংশত বিভক্ত হ'ল? অংশবোৰৰ আকৃতি কি? ঘেঁহু আৰু মাহ সমান সমান অংশত সিঁচিবলৈ তেওঁ কি কৰিব?
PQ RS A
1. পথাৰখন 3 টা অংশত বিভক্ত হ'ল আৰু প্ৰতিটো অংশৰ আকৃতি ত্ৰিভুজাকাৰ (ΔPSA, ΔPAQ, ΔQAR)।
2. যিহেতু কালি (PAQ) = 1/2 কালি (PQRS), গতিকে বাকী দুটা ত্ৰিভুজৰ সমষ্টিও পথাৰখনৰ আধা:
কালি (PSA) + কালি (QAR) = 1/2 কালি (PQRS)।
∴ খেতিয়কজনে ΔPAQ ত ঘেঁহু আৰু বাকী দুটা অংশ (ΔPSA আৰু ΔQAR) ত মাহ সিঁচিব পাৰে (বা ইয়াৰ বিপৰীতভাৱে)।
অনুশীলনী : 9.3 (একে ভূমিৰ ত্ৰিভুজ আৰু মধ্যমাৰ ধৰ্ম)
উপপাদ্য 9.2 আৰু 9.3:
• একে ভূমি আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত থকা ত্ৰিভুজবোৰৰ কালি সমান।
• ত্ৰিভুজৰ মধ্যমাৰ ধৰ্ম: ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা এডালে ইয়াক সমান কালিৰ দুটা ত্ৰিভুজত বিভক্ত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 9.23 ত ΔABC ৰ AD মধ্যমাৰ ওপৰত E এটা বিন্দু। দেখুওৱা যে: কালি (ABE) = কালি (ACE)।
AB CD E
AD মধ্যমা বাবে: কালি (ABD) = কালি (ACD) —— (1)
ED, ΔEBC ৰ মধ্যমা বাবে: কালি (EBD) = কালি (ECD) —— (2)
(1) ৰ পৰা (2) বিয়োগ কৰি:
কালি (ABE) = কালি (ACE) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 2 :
ΔABC ৰ AD মধ্যমাৰ E মধ্যবিন্দু। দেখুওৱা যে: কালি (BED) = 1/4 কালি (ABC)।
AB CD E
কালি (ABD) = 1/2 কালি (ABC) (AD মধ্যমা)
BE, ΔABD ৰ মধ্যমা বাবে: কালি (BED) = 1/2 কালি (ABD)
∴ কালি (BED) = 1/2 × [1/2 কালি (ABC)] = 1/4 কালি (ABC) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 3 :
দেখুওৱা যে এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুটাই ইয়াক চাৰিটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে।
AB CD O
সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে (OA = OC, OB = OD)।
সেয়ে BO, CO, DO, AO ক্ৰমে ত্ৰিভুজবোৰৰ মধ্যমা:
কালি (AOB) = কালি (BOC) = কালি (COD) = কালি (DOA) = 1/4 কালি (ABCD) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
চিত্ৰ 9.24 ত একে ভূমি AB ৰ ওপৰত ΔABC আৰু ΔABD। AB ৰেখাই CD ক O বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে দেখুওৱা যে: কালি (ABC) = কালি (ABD)।
AB CD O
CO = DO বাবে AO আৰু BO ক্ৰমে ΔACD আৰু ΔBCD ৰ মধ্যমা:
কালি (AOC) = কালি (AOD) আৰু কালি (BOC) = কালি (BOD)
যোগ কৰি: কালি (ABC) = কালি (ABD) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
ΔABC ৰ BC, CA আৰু AB বাহুৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে D, E, F। দেখুওৱা যে: (i) BDEF এটা সামান্তৰিক, (ii) কালি (DEF) = 1/4 কালি (ABC), (iii) কালি (BDEF) = 1/2 কালি (ABC)।
AB C DEF
(i) মধ্যবিন্দু উপপাদ্যমতে EF ∥ BC আৰু EF = BD ⇒ BDEF এটা সামান্তৰিক।
(ii) চাৰিওটা সৰু ত্ৰিভুজ সৰ্বসম বাবে: কালি (DEF) = 1/4 কালি (ABC)
(iii) কালি (BDEF) = 2 × কালি (DEF) = 2 × 1/4 কালি (ABC) = 1/2 কালি (ABC)
প্ৰশ্ন নং 6 :
চিত্ৰ 9.25 ত চতুৰ্ভুজৰ OB = OD আৰু AB = CD হ'লে দেখুওৱা যে: কালি (DOC) = কালি (AOB) আৰু ABCD এটা সামান্তৰিক।
D আৰু B ৰ পৰা AC লৈ লম্ব টানি সৰ্বসমতাৰে প্ৰমাণ কৰা হয়:
(i) কালি (DOC) = কালি (AOB)
(ii) কালি (DCB) = কালি (ACB)
(iii) একে ভূমিত কালি সমান বাবে DA ∥ CB ⇒ ABCD এটা সামান্তৰিক।
প্ৰশ্ন নং 10 :
ABCD ট্ৰেপিজিয়ামৰ AB ∥ DC। কৰ্ণদ্বয় O ত কাটিলে প্ৰমাণ কৰা যে: কালি (AOD) = কালি (BOC)।
ΔADC আৰু ΔBDC একে ভূমি DC আৰু একে সমান্তৰাল DC ও AB ৰ মাজত আছে:
কালি (ADC) = কালি (BDC)
দুয়োফালৰ পৰা কালি (DOC) বিয়োগ কৰি:
কালি (AOD) = কালি (BOC) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 11 আৰু 14 :
11. পঞ্চভুজ ABCDE (চিত্ৰ 9.27):
AC ∥ BF বাবে কালি (ACB) = কালি (ACF)।
দুয়োফালে কালি (ACDE) যোগ কৰিলে:
কালি (AEDF) = কালি (ABCDE)
14. AP ∥ BQ ∥ CR (চিত্ৰ 9.28):
কালি (ABQ) = কালি (PBQ) আৰু কালি (CBQ) = কালি (RBQ)
যোগ কৰি: কালি (AQC) = কালি (PBR) (প্ৰমাণিত)
অনুশীলনী : 9.4 (ঐচ্ছিক / Optional)
প্ৰশ্ন নং 1 :
একে ভূমি AB আৰু সমান কালিৰ সামান্তৰিক ABCD আৰু আয়ত ABEF ৰ বাবে দেখুওৱা যে সামান্তৰিকৰ পৰিসীমা > আয়তৰ পৰিসীমা।
আয়তৰ বাহু AF ⊥ AB; কিন্তু সামান্তৰিকৰ হেলনীয়া বাহু AD > AF (অতিভুজ সদায় দীঘল)।
গতিকে 2(AB + AD) > 2(AB + AF)।
সামান্তৰিকৰ পৰিসীমা > আয়তৰ পৰিসীমা (প্ৰমাণিত)।
প্ৰশ্ন নং 2 : (মধুৰ পথাৰৰ সমস্যা)
চিত্ৰ 9.30 ত BD = DE = EC হ'লে দেখুওৱা যে: কালি (ABD) = কালি (ADE) = কালি (AEC)।
তিনিওটা ত্ৰিভুজৰ ভূমি সমান (BD = DE = EC) আৰু শীৰ্ষবিন্দু A একে হোৱা বাবে ইহঁতৰ উন্নতি একেই।
∴ কালি (ABD) = কালি (ADE) = কালি (AEC) = 1/3 কালি (ABC)
উত্তৰ: হয়, মধুৰ পথাৰখন তিনিটা সমান কালিত বিভক্ত হৈছিল।
প্ৰশ্ন নং 3 আৰু 4 :
• 3. (চিত্ৰ 9.31): ΔADE ΔBCF (SSS বা SAS) ⇒ কালি (ADE) = কালি (BCF)

• 4. (চিত্ৰ 9.32): AC সংযোগ কৰি সমান্তৰাল ৰেখাৰ ধৰ্মেৰে: কালি (BPC) = কালি (DPQ)
প্ৰশ্ন নং 6 :
চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ কৰ্ণদ্বয় P ত কাটিলে দেখুওৱা যে: কালি (APB) × কালি (CPD) = কালি (APD) × কালি (BPC)।
A আৰু C ৰ পৰা BD লৈ h1 আৰু h2 উন্নতি টানি অনুপাত ল'লে:
কালি (APB) / কালি (APD) = BP / PD = কালি (BPC) / কালি (CPD)
বজ্ৰগুণন কৰি:
কালি (APB) × কালি (CPD) = কালি (APD) × কালি (BPC) (প্ৰমাণিত)
Scroll to Top