অনুশীলনী : 8.1 (চতুৰ্ভুজ আৰু সামান্তৰিকৰ ধৰ্ম)
মূল ধাৰণাসমূহ:
• চতুৰ্ভুজৰ চাৰিওটা কোণৰ সমষ্টি 360°।
• সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান আৰু সমান্তৰাল, বিপৰীত কোণবোৰ সমান, আৰু কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
• ৰম্বাছৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। আয়তৰ কৰ্ণ দুডাল সমান। বৰ্গৰ কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
• চতুৰ্ভুজৰ চাৰিওটা কোণৰ সমষ্টি 360°।
• সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান আৰু সমান্তৰাল, বিপৰীত কোণবোৰ সমান, আৰু কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
• ৰম্বাছৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। আয়তৰ কৰ্ণ দুডাল সমান। বৰ্গৰ কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
প্ৰশ্ন নং 1 :
এটা চতুৰ্ভুজৰ কোণকেইটাৰ অনুপাত 3 : 5 : 9 : 13। চতুৰ্ভুজটোৰ আটাইকেইটা কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
ধৰা হ'ল কোণ চাৰিটা ক্ৰমে 3x, 5x, 9x আৰু 13x।
চতুৰ্ভুজৰ কোণ-সমষ্টি ধৰ্মমতে:
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360° ⇒ x = 12°
• প্ৰথম কোণ = 3 × 12° = 36°
• দ্বিতীয় কোণ = 5 × 12° = 60°
• তৃতীয় কোণ = 9 × 12° = 108°
• চতুৰ্থ কোণ = 13 × 12° = 156°
কোণসমূহ: 36°, 60°, 108° আৰু 156°চতুৰ্ভুজৰ কোণ-সমষ্টি ধৰ্মমতে:
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
⇒ 30x = 360° ⇒ x = 12°
• প্ৰথম কোণ = 3 × 12° = 36°
• দ্বিতীয় কোণ = 5 × 12° = 60°
• তৃতীয় কোণ = 9 × 12° = 108°
• চতুৰ্থ কোণ = 13 × 12° = 156°
প্ৰশ্ন নং 2 :
যদি এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল সমান, তেন্তে দেখুওৱা যে ই এটা আয়ত।
ধৰা হ'ল ABCD সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ AC = BD।
ΔABC আৰু ΔDCB ত:
1. AB = DC (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু)
2. BC = CB (উমৈহতীয়া বাহু)
3. AC = DB (দিয়া আছে)
∴ ΔABC ≅ ΔDCB (SSS) ⇒ ∠ABC = ∠DCB (CPCT)
যিহেতু AB ∥ DC আৰু BC ছেদক:
∠ABC + ∠DCB = 180° ⇒ 2∠ABC = 180° ⇒ ∠ABC = 90°
যিহেতু এটা কোণ 90°, সেয়ে ABCD এটা আয়ত। (প্ৰমাণিত)
ΔABC আৰু ΔDCB ত:
1. AB = DC (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু)
2. BC = CB (উমৈহতীয়া বাহু)
3. AC = DB (দিয়া আছে)
∴ ΔABC ≅ ΔDCB (SSS) ⇒ ∠ABC = ∠DCB (CPCT)
যিহেতু AB ∥ DC আৰু BC ছেদক:
∠ABC + ∠DCB = 180° ⇒ 2∠ABC = 180° ⇒ ∠ABC = 90°
যিহেতু এটা কোণ 90°, সেয়ে ABCD এটা আয়ত। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 3 :
যদি এটা চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ দুডাল সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত হয়, তেন্তে দেখুওৱা যে ই এটা ৰম্বাছ।
ধৰা হ'ল ABCD চতুৰ্ভুজৰ OA = OC, OB = OD আৰু কৰ্ণদ্বয় লম্ব (∠AOB = 90°)।
ΔAOB আৰু ΔBOC ত:
OA = OC, ∠AOB = ∠COB = 90°, OB = OB (সাধাৰণ)
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC (SAS) ⇒ AB = BC
একেদৰে, BC = CD আৰু CD = DA ⇒ AB = BC = CD = DA
চাৰিওটা বাহু সমান হোৱা বাবে ABCD এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
ΔAOB আৰু ΔBOC ত:
OA = OC, ∠AOB = ∠COB = 90°, OB = OB (সাধাৰণ)
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC (SAS) ⇒ AB = BC
একেদৰে, BC = CD আৰু CD = DA ⇒ AB = BC = CD = DA
চাৰিওটা বাহু সমান হোৱা বাবে ABCD এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
দেখুওৱা যে, বৰ্গ এটাৰ কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু ইহঁত পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
1. কৰ্ণ দুডাল সমান: ΔABC ≅ ΔBAD (SAS) ⇒ AC = BD
2. সমদ্বিখণ্ডিত হয়: ΔAOB ≅ ΔCOD (AAS) ⇒ OA = OC, OB = OD
3. লম্বভাৱে: ΔAOB ≅ ΔCOB (SSS) ⇒ ∠AOB = ∠COB = 90° (ৰৈখিক যোৰ)
গতিকে কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। (প্ৰমাণিত)
2. সমদ্বিখণ্ডিত হয়: ΔAOB ≅ ΔCOD (AAS) ⇒ OA = OC, OB = OD
3. লম্বভাৱে: ΔAOB ≅ ΔCOB (SSS) ⇒ ∠AOB = ∠COB = 90° (ৰৈখিক যোৰ)
গতিকে কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
দেখুওৱা যে যদি এটা চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু ইহঁত পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, তেন্তে চতুৰ্ভুজটো এটা বৰ্গ।
• কৰ্ণ দুডাল সমদ্বিখণ্ডিত হোৱা বাবে চতুৰ্ভুজটো এটা সামান্তৰিক।
• কৰ্ণ দুডাল লম্ব হোৱা বাবে ই এটা ৰম্বাছ (চাৰিওটা বাহু সমান)।
• কৰ্ণ দুডাল সমান (AC = BD) হোৱা বাবে ΔABC ≅ ΔBAD ⇒ ∠A = ∠B = 90°।
চাৰিওটা বাহু সমান আৰু কোণ 90° হোৱা বাবে ABCD এটা বৰ্গ। (প্ৰমাণিত)
• কৰ্ণ দুডাল লম্ব হোৱা বাবে ই এটা ৰম্বাছ (চাৰিওটা বাহু সমান)।
• কৰ্ণ দুডাল সমান (AC = BD) হোৱা বাবে ΔABC ≅ ΔBAD ⇒ ∠A = ∠B = 90°।
চাৰিওটা বাহু সমান আৰু কোণ 90° হোৱা বাবে ABCD এটা বৰ্গ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
ABCD সামান্তৰিকৰ AC কৰ্ণই ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে (চিত্ৰ 8.19)। দেখুওৱা যে: (i) কৰ্ণডালে C কোণকো সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, (ii) ABCD এটা ৰম্বাছ।
(i) ∠DAC = ∠BCA (একান্তৰ কোণ) আৰু ∠BAC = ∠DCA (একান্তৰ কোণ)।
কিন্তু ∠DAC = ∠BAC (দিয়া আছে) ⇒ ∠BCA = ∠DCA। গতিকে AC য়ে ∠C কো সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) ΔABC ত ∠BAC = ∠BCA ⇒ AB = BC।
সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত বাহু সমান হোৱা বাবে ABCD এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
কিন্তু ∠DAC = ∠BAC (দিয়া আছে) ⇒ ∠BCA = ∠DCA। গতিকে AC য়ে ∠C কো সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) ΔABC ত ∠BAC = ∠BCA ⇒ AB = BC।
সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত বাহু সমান হোৱা বাবে ABCD এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 7 :
ABCD এটা ৰম্বাছ। দেখুওৱা যে AC কৰ্ণই A আৰু C কোণ দুটাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু BD কৰ্ণই B আৰু D কোণ দুটাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
ৰম্বাছৰ AB = AD ⇒ ΔABD ত ∠ABD = ∠ADB।
আকৌ একান্তৰ কোণমতে ∠ABD = ∠CDB ⇒ ∠ADB = ∠CDB (BD য়ে ∠D সমদ্বিখণ্ডিত কৰে)।
অনুৰূপভাৱে প্ৰমাণ কৰা যায় যে AC কৰ্ণই ∠A আৰু ∠C ক, আৰু BD কৰ্ণই ∠B আৰু ∠D ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
আকৌ একান্তৰ কোণমতে ∠ABD = ∠CDB ⇒ ∠ADB = ∠CDB (BD য়ে ∠D সমদ্বিখণ্ডিত কৰে)।
অনুৰূপভাৱে প্ৰমাণ কৰা যায় যে AC কৰ্ণই ∠A আৰু ∠C ক, আৰু BD কৰ্ণই ∠B আৰু ∠D ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 8 :
ABCD এটা আয়ত আৰু ইয়াৰ AC কৰ্ণই A আৰু C কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। দেখুওৱা যে: (i) ABCD এটা বৰ্গ, (ii) BD কৰ্ণই B আৰু D কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(i) ∠A = 90° ⇒ ∠BAC = 45°। তেনেকৈ ∠BCA = 45°।
ΔABC ত ∠BAC = ∠BCA ⇒ AB = BC। আয়তৰ সন্নিহিত বাহু সমান হোৱা বাবে ABCD এটা বৰ্গ।
(ii) বৰ্গৰ চাৰিওটা বাহু সমান বাবে ΔABD ত AB = AD ⇒ ∠ABD = ∠ADB = 45°।
গতিকে BD কৰ্ণই ∠B আৰু ∠D কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
ΔABC ত ∠BAC = ∠BCA ⇒ AB = BC। আয়তৰ সন্নিহিত বাহু সমান হোৱা বাবে ABCD এটা বৰ্গ।
(ii) বৰ্গৰ চাৰিওটা বাহু সমান বাবে ΔABD ত AB = AD ⇒ ∠ABD = ∠ADB = 45°।
গতিকে BD কৰ্ণই ∠B আৰু ∠D কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 9 :
ABCD সামান্তৰিকৰ BD কৰ্ণৰ ওপৰত P আৰু Q বিন্দু এনেভাৱে লোৱা হ'ল যাতে DP = BQ (চিত্ৰ 8.20)। দেখুওৱা যে: (i) ΔAPD ≅ ΔCQB, (ii) AP = CQ, (iii) ΔAQB ≅ ΔCPD, (iv) AQ = CP, (v) APCQ এটা সামান্তৰিক।
(i) ΔAPD আৰু ΔCQB ত: AD = BC, ∠ADP = ∠CBQ (একান্তৰ), DP = BQ ⇒ ΔAPD ≅ ΔCQB (SAS)
(ii) AP = CQ (CPCT)
(iii) ΔAQB আৰু ΔCPD ত: AB = CD, ∠ABQ = ∠CDP (একান্তৰ), BQ = DP ⇒ ΔAQB ≅ ΔCPD (SAS)
(iv) AQ = CP (CPCT)
(v) চতুৰ্ভুজ APCQ ৰ বিপৰীত বাহুদ্বয় সমান (AP = CQ আৰু AQ = CP) ⇒ APCQ এটা সামান্তৰিক।
(ii) AP = CQ (CPCT)
(iii) ΔAQB আৰু ΔCPD ত: AB = CD, ∠ABQ = ∠CDP (একান্তৰ), BQ = DP ⇒ ΔAQB ≅ ΔCPD (SAS)
(iv) AQ = CP (CPCT)
(v) চতুৰ্ভুজ APCQ ৰ বিপৰীত বাহুদ্বয় সমান (AP = CQ আৰু AQ = CP) ⇒ APCQ এটা সামান্তৰিক।
প্ৰশ্ন নং 10 :
ABCD এটা সামান্তৰিক। BD কৰ্ণৰ ওপৰত A আৰু C ৰ পৰা ক্ৰমে AP আৰু CQ লম্ব টনা হ'ল (চিত্ৰ 8.21)। দেখুওৱা যে: (i) ΔAPB ≅ ΔCQD, (ii) AP = CQ।
(i) ΔAPB আৰু ΔCQD ত:
• ∠APB = ∠CQD = 90°
• ∠ABP = ∠CDQ (একান্তৰ কোণ, AB ∥ CD)
• AB = CD (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু)
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD (AAS বিধি)
(ii) AP = CQ (CPCT) (প্ৰমাণিত)
• ∠APB = ∠CQD = 90°
• ∠ABP = ∠CDQ (একান্তৰ কোণ, AB ∥ CD)
• AB = CD (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু)
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD (AAS বিধি)
(ii) AP = CQ (CPCT) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 11 :
ΔABC আৰু ΔDEF ৰ AB = DE, AB ∥ DE, BC = EF, BC ∥ EF (চিত্ৰ 8.22)। দেখুওৱা যে: (i) ABED এটা সামান্তৰিক, (ii) BEFC এটা সামান্তৰিক, (iii) AD ∥ CF আৰু AD = CF, (iv) ACFD এটা সামান্তৰিক, (v) AC = DF, (vi) ΔABC ≅ ΔDEF।
(i) AB = DE আৰু AB ∥ DE ⇒ ABED এটা সামান্তৰিক।
(ii) BC = EF আৰু BC ∥ EF ⇒ BEFC এটা সামান্তৰিক।
(iii) (i) ৰ পৰা AD = BE, AD ∥ BE আৰু (ii) ৰ পৰা CF = BE, CF ∥ BE ⇒ AD = CF আৰু AD ∥ CF।
(iv) AD = CF আৰু AD ∥ CF ⇒ ACFD এটা সামান্তৰিক।
(v) AC = DF (প্ৰমাণিত)
(vi) ΔABC আৰু ΔDEF ত AB = DE, BC = EF, AC = DF ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF (SSS)।
(ii) BC = EF আৰু BC ∥ EF ⇒ BEFC এটা সামান্তৰিক।
(iii) (i) ৰ পৰা AD = BE, AD ∥ BE আৰু (ii) ৰ পৰা CF = BE, CF ∥ BE ⇒ AD = CF আৰু AD ∥ CF।
(iv) AD = CF আৰু AD ∥ CF ⇒ ACFD এটা সামান্তৰিক।
(v) AC = DF (প্ৰমাণিত)
(vi) ΔABC আৰু ΔDEF ত AB = DE, BC = EF, AC = DF ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF (SSS)।
প্ৰশ্ন নং 12 :
ABCD ট্ৰেপিজিয়ামত AB ∥ CD আৰু AD = BC (চিত্ৰ 8.23)। দেখুওৱা যে: (i) ∠A = ∠B, (ii) ∠C = ∠D, (iii) ΔABC ≅ ΔBAD, (iv) কৰ্ণ AC = কৰ্ণ BD।
CE ∥ AD টনা হ'ল। AECD এটা সামান্তৰিক ⇒ AD = CE।
কিন্তু AD = BC ⇒ BC = CE ⇒ ∠CEB = ∠CBE।
(i) ∠A + ∠CEB = 180° আৰু ∠B + ∠CBE = 180° ⇒ ∠A = ∠B
(ii) ∠A + ∠D = 180° আৰু ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠C = ∠D
(iii) ΔABC আৰু ΔBAD ত: AB = BA, BC = AD, ∠B = ∠A ⇒ ΔABC ≅ ΔBAD (SAS)
(iv) কৰ্ণ AC = কৰ্ণ BD (CPCT)
কিন্তু AD = BC ⇒ BC = CE ⇒ ∠CEB = ∠CBE।
(i) ∠A + ∠CEB = 180° আৰু ∠B + ∠CBE = 180° ⇒ ∠A = ∠B
(ii) ∠A + ∠D = 180° আৰু ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠C = ∠D
(iii) ΔABC আৰু ΔBAD ত: AB = BA, BC = AD, ∠B = ∠A ⇒ ΔABC ≅ ΔBAD (SAS)
(iv) কৰ্ণ AC = কৰ্ণ BD (CPCT)
অনুশীলনী : 8.2 (মধ্যবিন্দু উপপাদ্য / Mid-Point Theorem)
মধ্যবিন্দু উপপাদ্য (Theorem 8.9 & 8.10):
• ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল আৰু তাৰ আধা (EF = 1/2 BC)।
• ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰে যোৱা আৰু দ্বিতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালে তৃতীয় বাহুটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
• ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল আৰু তাৰ আধা (EF = 1/2 BC)।
• ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰে যোৱা আৰু দ্বিতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালে তৃতীয় বাহুটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 1 :
ABCD এটা চতুৰ্ভুজ। AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে P, Q, R, S আৰু AC এডাল কৰ্ণ (চিত্ৰ 8.29)। দেখুওৱা যে: (i) SR ∥ AC আৰু SR = 1/2 AC, (ii) PQ = SR, (iii) PQRS এটা সামান্তৰিক।
(i) ΔADC ত S আৰু R ক্ৰমে AD আৰু CD ৰ মধ্যবিন্দু:
মধ্যবিন্দু উপপাদ্যমতে: SR ∥ AC আৰু SR = 1/2 AC
(ii) ΔABC ত P আৰু Q ক্ৰমে AB আৰু BC ৰ মধ্যবিন্দু:
PQ ∥ AC আৰু PQ = 1/2 AC ⇒ PQ = SR
(iii) যিহেতু PQ ∥ SR আৰু PQ = SR, গতিকে PQRS এটা সামান্তৰিক।
মধ্যবিন্দু উপপাদ্যমতে: SR ∥ AC আৰু SR = 1/2 AC
(ii) ΔABC ত P আৰু Q ক্ৰমে AB আৰু BC ৰ মধ্যবিন্দু:
PQ ∥ AC আৰু PQ = 1/2 AC ⇒ PQ = SR
(iii) যিহেতু PQ ∥ SR আৰু PQ = SR, গতিকে PQRS এটা সামান্তৰিক।
প্ৰশ্ন নং 2 :
ABCD এটা ৰম্বাছ। AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে P, Q, R আৰু S। দেখুওৱা যে PQRS এটা আয়ত।
PQRS এটা সামান্তৰিক (১ নং প্ৰশ্নৰ দৰে)।
ৰম্বাছৰ কৰ্ণ AC আৰু BD লম্বভাৱে কটাকটি কৰে (AC ⊥ BD)।
যিহেতু PQ ∥ AC আৰু QR ∥ BD, গতিকে PQ ⊥ QR অৰ্থাৎ ∠PQR = 90°।
এটা কোণ 90° হোৱা সামান্তৰিক হ'ল এটা আয়ত। গতিকে PQRS এটা আয়ত। (প্ৰমাণিত)
ৰম্বাছৰ কৰ্ণ AC আৰু BD লম্বভাৱে কটাকটি কৰে (AC ⊥ BD)।
যিহেতু PQ ∥ AC আৰু QR ∥ BD, গতিকে PQ ⊥ QR অৰ্থাৎ ∠PQR = 90°।
এটা কোণ 90° হোৱা সামান্তৰিক হ'ল এটা আয়ত। গতিকে PQRS এটা আয়ত। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 3 :
ABCD এটা আয়ত। P, Q, R আৰু S ক্ৰমে AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্যবিন্দু। দেখুওৱা যে PQRS এটা ৰম্বাছ।
PQRS এটা সামান্তৰিক য'ত PQ = 1/2 AC আৰু QR = 1/2 BD।
কিন্তু আয়তৰ কৰ্ণ দুডাল সমান: AC = BD।
∴ PQ = QR।
যিহেতু সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত বাহু সমান, সেয়ে PQRS এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
কিন্তু আয়তৰ কৰ্ণ দুডাল সমান: AC = BD।
∴ PQ = QR।
যিহেতু সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত বাহু সমান, সেয়ে PQRS এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম (AB ∥ DC), E হ'ল AD ৰ মধ্যবিন্দু আৰু EF ∥ AB (চিত্ৰ 8.30)। দেখুওৱা যে F বিন্দুটো BC ৰ মধ্যবিন্দু।
ধৰা হ'ল কৰ্ণ DB য়ে EF ক G বিন্দুত কাটে।
• ΔDAB ত: E হ'ল AD ৰ মধ্যবিন্দু আৰু EG ∥ AB।
মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ বিপৰীতমতে: G হ'ল DB ৰ মধ্যবিন্দু।
• ΔBCD ত: G হ'ল DB ৰ মধ্যবিন্দু আৰু GF ∥ DC (যিহেতু EF ∥ AB ∥ DC)।
মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ বিপৰীতমতে: F হ'ল BC ৰ মধ্যবিন্দু। (প্ৰমাণিত)
• ΔDAB ত: E হ'ল AD ৰ মধ্যবিন্দু আৰু EG ∥ AB।
মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ বিপৰীতমতে: G হ'ল DB ৰ মধ্যবিন্দু।
• ΔBCD ত: G হ'ল DB ৰ মধ্যবিন্দু আৰু GF ∥ DC (যিহেতু EF ∥ AB ∥ DC)।
মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ বিপৰীতমতে: F হ'ল BC ৰ মধ্যবিন্দু। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
ABCD সামান্তৰিকৰ E আৰু F ক্ৰমে AB আৰু CD বাহুৰ মধ্যবিন্দু (চিত্ৰ 8.31)। দেখুওৱা যে AF আৰু EC ৰেখাখণ্ডই BD কৰ্ণক সমানে ত্ৰিখণ্ডিত কৰে।
AE = 1/2 AB = 1/2 CD = CF আৰু AE ∥ CF ⇒ AECF এটা সামান্তৰিক ⇒ AP ∥ EQ আৰু PF ∥ QC।
• ΔABQ ত: E মধ্যবিন্দু আৰু EQ ∥ AP ⇒ BQ = PQ
• ΔDPC ত: F মধ্যবিন্দু আৰু PF ∥ QC ⇒ DP = PQ
∴ DP = PQ = QB, অৰ্থাৎ AF আৰু EC য়ে BD কৰ্ণক সমানে ত্ৰিখণ্ডিত কৰে।
• ΔABQ ত: E মধ্যবিন্দু আৰু EQ ∥ AP ⇒ BQ = PQ
• ΔDPC ত: F মধ্যবিন্দু আৰু PF ∥ QC ⇒ DP = PQ
∴ DP = PQ = QB, অৰ্থাৎ AF আৰু EC য়ে BD কৰ্ণক সমানে ত্ৰিখণ্ডিত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 6 :
দেখুওৱা যে চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ বাহু চাৰিটাৰ মধ্যবিন্দুবোৰ P, Q, R আৰু S সংযোগ কৰিলে PQRS এটা সামান্তৰিক হয় (উপপাদ্য 8.9 মতে)।
বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড PR আৰু QS হ'ল PQRS সামান্তৰিকৰ কৰ্ণদ্বয়।
যিহেতু সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়, সেয়েহে ৰেখাখণ্ড দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়। (প্ৰমাণিত)
বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড PR আৰু QS হ'ল PQRS সামান্তৰিকৰ কৰ্ণদ্বয়।
যিহেতু সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়, সেয়েহে ৰেখাখণ্ড দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 7 :
ΔABC ৰ ∠C = 90°। অতিভুজ AB ৰ মধ্যবিন্দু M ৰে যোৱা আৰু BC ৰ সমান্তৰাল ৰেখাই AC ক D ত কাটে। দেখুওৱা: (i) D, AC ৰ মধ্যবিন্দু, (ii) MD ⊥ AC, (iii) CM = MA = 1/2 AB।
(i) ΔABC ত M মধ্যবিন্দু আৰু MD ∥ BC ⇒ মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ বিপৰীতমতে D হ'ল AC ৰ মধ্যবিন্দু।
(ii) MD ∥ BC আৰু AC ছেদক ⇒ ∠ADM = ∠C = 90° (অনুপাতী কোণ)। গতিকে MD ⊥ AC।
(iii) ΔADM আৰু ΔCDM ত: AD = CD, ∠ADM = ∠CDM = 90°, MD = MD ⇒ ΔADM ≅ ΔCDM (SAS)
∴ CM = AM = 1/2 AB (প্ৰমাণিত)
(ii) MD ∥ BC আৰু AC ছেদক ⇒ ∠ADM = ∠C = 90° (অনুপাতী কোণ)। গতিকে MD ⊥ AC।
(iii) ΔADM আৰু ΔCDM ত: AD = CD, ∠ADM = ∠CDM = 90°, MD = MD ⇒ ΔADM ≅ ΔCDM (SAS)
∴ CM = AM = 1/2 AB (প্ৰমাণিত)