অনুশীলনী : 7.1 (ত্ৰিভুজৰ সৰ্বসমতাৰ বিধি: বা-কো-বা, কো-বা-কো, কো-কো-বা)
প্ৰশ্ন নং 1 :
চতুৰ্ভুজ ACBD ত AC = AD আৰু AB য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিছে (চিত্ৰ 7.16)। দেখুওৱা যে ΔABC ≅ ΔABD। BC আৰু BD সম্পৰ্কে তুমি কি ক'বা?
ΔABC আৰু ΔABD ত:
1. AC = AD (দিয়া আছে)
2. ∠CAB = ∠DAB (যিহেতু AB য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে)
3. AB = AB (উমৈহতীয়া বাহু)
∴ ΔABC ≅ ΔABD (বা-কো-বা বিধি / SAS)
গতিকে, BC = BD (CPCT)
উত্তৰ: ΔABC ≅ ΔABD আৰু BC = BD (দৈৰ্ঘ্য সমান)।1. AC = AD (দিয়া আছে)
2. ∠CAB = ∠DAB (যিহেতু AB য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে)
3. AB = AB (উমৈহতীয়া বাহু)
∴ ΔABC ≅ ΔABD (বা-কো-বা বিধি / SAS)
গতিকে, BC = BD (CPCT)
প্ৰশ্ন নং 2 :
ABCD চতুৰ্ভুজত AD = BC আৰু ∠DAB = ∠CBA (চিত্ৰ 7.17)। প্ৰমাণ কৰা যে: (i) ΔABD ≅ ΔBAC, (ii) BD = AC, (iii) ∠ABD = ∠BAC।
(i) ΔABD আৰু ΔBAC ত: AD = BC, ∠DAB = ∠CBA, AB = BA (সাধাৰণ) ⇒ ΔABD ≅ ΔBAC (SAS)
(ii) BD = AC (CPCT)
(iii) ∠ABD = ∠BAC (CPCT)
আটাইকেইটা প্ৰমাণিত হ'ল।(ii) BD = AC (CPCT)
(iii) ∠ABD = ∠BAC (CPCT)
প্ৰশ্ন নং 3 :
AB ৰেখাখণ্ডৰ ওপৰত AD আৰু BC দুডাল সমান লম্ব (চিত্ৰ 7.18)। দেখুওৱা যে CD য়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
ΔBOC আৰু ΔAOD ত:
1. ∠OBC = ∠OAD = 90°
2. ∠BOC = ∠AOD (বিপ্ৰতীপ কোণ)
3. BC = AD (দিয়া আছে)
∴ ΔBOC ≅ ΔAOD (AAS) ⇒ OB = OA (CPCT)
গতিকে O, AB ৰ মধ্যবিন্দু অৰ্থাৎ CD য়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। (প্ৰমাণিত)
1. ∠OBC = ∠OAD = 90°
2. ∠BOC = ∠AOD (বিপ্ৰতীপ কোণ)
3. BC = AD (দিয়া আছে)
∴ ΔBOC ≅ ΔAOD (AAS) ⇒ OB = OA (CPCT)
গতিকে O, AB ৰ মধ্যবিন্দু অৰ্থাৎ CD য়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
l আৰু m দুডাল সমান্তৰাল ৰেখাক আন এযোৰ সমান্তৰাল ৰেখা p আৰু q য়ে ছেদ কৰিছে (চিত্ৰ 7.19)। দেখুওৱা যে ΔABC ≅ ΔCDA।
ΔABC আৰু ΔCDA ত:
1. ∠BAC = ∠DCA (একান্তৰ কোণ, যিহেতু p ∥ q)
2. AC = CA (উমৈহতীয়া বাহু)
3. ∠BCA = ∠DAC (একান্তৰ কোণ, যিহেতু l ∥ m)
∴ ΔABC ≅ ΔCDA (কো-বা-কো / ASA) (প্ৰমাণিত)
1. ∠BAC = ∠DCA (একান্তৰ কোণ, যিহেতু p ∥ q)
2. AC = CA (উমৈহতীয়া বাহু)
3. ∠BCA = ∠DAC (একান্তৰ কোণ, যিহেতু l ∥ m)
∴ ΔABC ≅ ΔCDA (কো-বা-কো / ASA) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
l ৰেখাডাল ∠A ৰ সমদ্বিখণ্ডক আৰু BP ⊥ AP, BQ ⊥ AQ (চিত্ৰ 7.20)। দেখুওৱা যে: (i) ΔAPB ≅ ΔAQB, (ii) BP = BQ।
(i) ΔAPB আৰু ΔAQB ত: ∠APB = ∠AQB = 90°, ∠PAB = ∠QAB, AB = AB ⇒ ΔAPB ≅ ΔAQB (AAS)
(ii) BP = BQ (CPCT), অৰ্থাৎ B বিন্দুটো ∠A ৰ দুই বাহুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী।
(ii) BP = BQ (CPCT), অৰ্থাৎ B বিন্দুটো ∠A ৰ দুই বাহুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী।
প্ৰশ্ন নং 6 :
চিত্ৰ 7.21 ত AC = AE, AB = AD আৰু ∠BAD = ∠EAC। দেখুওৱা যে BC = DE।
∠BAD = ∠EAC ৰ দুয়োফালে ∠DAC যোগ কৰি: ∠BAC = ∠DAE
ΔBAC আৰু ΔDAE ত: AB = AD, ∠BAC = ∠DAE, AC = AE ⇒ ΔBAC ≅ ΔDAE (SAS)
∴ BC = DE (CPCT) (প্ৰমাণিত)
ΔBAC আৰু ΔDAE ত: AB = AD, ∠BAC = ∠DAE, AC = AE ⇒ ΔBAC ≅ ΔDAE (SAS)
∴ BC = DE (CPCT) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 7 :
AB ৰ মধ্যবিন্দু P। ∠BAD = ∠ABE আৰু ∠EPA = ∠DPB (চিত্ৰ 7.22)। দেখুওৱা: (i) ΔDAP ≅ ΔEBP, (ii) AD = BE।
∠EPA = ∠DPB ৰ লগত ∠EPD যোগ কৰিলে: ∠APD = ∠BPE
ΔDAP আৰু ΔEBP ত: ∠PAD = ∠PBE, AP = BP, ∠APD = ∠BPE
∴ ΔDAP ≅ ΔEBP (ASA)
∴ AD = BE (CPCT)
ΔDAP আৰু ΔEBP ত: ∠PAD = ∠PBE, AP = BP, ∠APD = ∠BPE
∴ ΔDAP ≅ ΔEBP (ASA)
∴ AD = BE (CPCT)
প্ৰশ্ন নং 8 :
সমকোণী ΔABC (∠C = 90°), AB ৰ মধ্যবিন্দু M, DM = CM (চিত্ৰ 7.23)। প্ৰমাণ কৰা: (i) ΔAMC ≅ ΔBMD, (ii) ∠DBC = 90°, (iii) ΔDBC ≅ ΔACB, (iv) CM = 1/2 AB।
(i) ΔAMC ≅ ΔBMD (SAS: AM = BM, ∠AMC = ∠BMD, CM = DM)
(ii) ∠ACM = ∠BDM (CPCT) ⇒ BD ∥ AC ⇒ ∠DBC + 90° = 180° ⇒ ∠DBC = 90°
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB (SAS: DB = AC, ∠B = ∠C = 90°, BC = CB)
(iv) CD = AB (CPCT) ⇒ 2CM = AB ⇒ CM = 1/2 AB
(ii) ∠ACM = ∠BDM (CPCT) ⇒ BD ∥ AC ⇒ ∠DBC + 90° = 180° ⇒ ∠DBC = 90°
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB (SAS: DB = AC, ∠B = ∠C = 90°, BC = CB)
(iv) CD = AB (CPCT) ⇒ 2CM = AB ⇒ CM = 1/2 AB
অনুশীলনী : 7.2 (সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ ধৰ্ম)
প্ৰশ্ন নং 1 :
সমদ্বিবাহু ΔABC ত AB = AC আৰু ∠B, ∠C ৰ সমদ্বিখণ্ডকে O ত কাটে। দেখুওৱা: (i) OB = OC, (ii) AO য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
AB = AC ⇒ ∠B = ∠C ⇒ 1/2 ∠B = 1/2 ∠C ⇒ ∠OBC = ∠OCB ⇒ OB = OC
ΔABO আৰু ΔACO ত: AB = AC, OB = OC, AO = AO ⇒ ΔABO ≅ ΔACO (SSS)
∴ ∠BAO = ∠CAO (CPCT) ⇒ AO য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
ΔABO আৰু ΔACO ত: AB = AC, OB = OC, AO = AO ⇒ ΔABO ≅ ΔACO (SSS)
∴ ∠BAO = ∠CAO (CPCT) ⇒ AO য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 2 :
ΔABC ত AD, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক (চিত্ৰ 7.30)। দেখুওৱা যে ΔABC টো সমদ্বিবাহু য'ত AB = AC।
ΔABD আৰু ΔACD ত:
BD = CD, ∠ADB = ∠ADC = 90°, AD = AD (সাধাৰণ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD (SAS) ⇒ AB = AC (CPCT)
গতিকে ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
BD = CD, ∠ADB = ∠ADC = 90°, AD = AD (সাধাৰণ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD (SAS) ⇒ AB = AC (CPCT)
গতিকে ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
প্ৰশ্ন নং 3 :
সমদ্বিবাহু ΔABC (AB = AC) ৰ সমান বাহু দুটালৈ টনা উন্নতি BE আৰু CF পৰস্পৰ সমান বুলি দেখুওৱা। (চিত্ৰ 7.31)
ΔABE আৰু ΔACF ত:
∠AEB = ∠AFC = 90°, ∠A = ∠A (সাধাৰণ), AB = AC (দিয়া আছে)
∴ ΔABE ≅ ΔACF (AAS) ⇒ BE = CF (CPCT) (প্ৰমাণিত)
∠AEB = ∠AFC = 90°, ∠A = ∠A (সাধাৰণ), AB = AC (দিয়া আছে)
∴ ΔABE ≅ ΔACF (AAS) ⇒ BE = CF (CPCT) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
ΔABC ৰ উন্নতি BE আৰু CF পৰস্পৰ সমান (চিত্ৰ 7.32)। দেখুওৱা: (i) ΔABE ≅ ΔACF, (ii) AB = AC।
(i) ΔABE আৰু ΔACF ত: ∠AEB = ∠AFC = 90°, ∠A = ∠A, BE = CF ⇒ ΔABE ≅ ΔACF (AAS)
(ii) AB = AC (CPCT), অৰ্থাৎ ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
(ii) AB = AC (CPCT), অৰ্থাৎ ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
প্ৰশ্ন নং 5 :
একে ভূমি BC ৰ ওপৰত সমদ্বিবাহু ΔABC আৰু ΔDBC (চিত্ৰ 7.33)। দেখুওৱা যে ∠ABD = ∠ACD।
ΔABC ত: AB = AC ⇒ ∠ABC = ∠ACB —— (1)
ΔDBC ত: DB = DC ⇒ ∠DBC = ∠DCB —— (2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰি:
∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB ⇒ ∠ABD = ∠ACD (প্ৰমাণিত)
ΔDBC ত: DB = DC ⇒ ∠DBC = ∠DCB —— (2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰি:
∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB ⇒ ∠ABD = ∠ACD (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
সমদ্বিবাহু ΔABC (AB = AC) ৰ BA ক D লৈ বঢ়োৱা হ'ল যাতে AD = AB (চিত্ৰ 7.34)। দেখুওৱা যে ∠BCD সমকোণ।
AB = AC ⇒ ∠B = ∠ACB
AD = AB = AC ⇒ ∠D = ∠ACD
ΔBCD ত: ∠B + ∠D + ∠BCD = 180°
⇒ ∠ACB + ∠ACD + ∠BCD = 180° ⇒ 2∠BCD = 180° ⇒ ∠BCD = 90° (প্ৰমাণিত)
AD = AB = AC ⇒ ∠D = ∠ACD
ΔBCD ত: ∠B + ∠D + ∠BCD = 180°
⇒ ∠ACB + ∠ACD + ∠BCD = 180° ⇒ 2∠BCD = 180° ⇒ ∠BCD = 90° (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 7 :
সমকোণী ΔABC ত ∠A = 90° আৰু AB = AC। ∠B আৰু ∠C নিৰ্ণয় কৰা।
AB = AC ⇒ ∠B = ∠C
∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 90° + 2∠B = 180°
2∠B = 90° ⇒ ∠B = 45°, ∠C = 45°
∠B = 45° আৰু ∠C = 45°∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 90° + 2∠B = 180°
2∠B = 90° ⇒ ∠B = 45°, ∠C = 45°
প্ৰশ্ন নং 8 :
দেখুওৱা যে সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণেই 60° ৰ সমান।
সমবাহু ত্ৰিভুজত AB = BC = CA
AB = AC ⇒ ∠B = ∠C আৰু BC = AC ⇒ ∠A = ∠B
∴ ∠A = ∠B = ∠C
∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 3∠A = 180° ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
AB = AC ⇒ ∠B = ∠C আৰু BC = AC ⇒ ∠A = ∠B
∴ ∠A = ∠B = ∠C
∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 3∠A = 180° ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
অনুশীলনী : 7.3 (সৰ্বসমতাৰ বা-বা-বা আৰু স-অ-বা বিধি)
প্ৰশ্ন নং 1 :
একে ভূমি BC ৰ ওপৰত ΔABC আৰু ΔDBC দুটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ আৰু AD ক বঢ়াই দিলে BC ক P ত কাটে (চিত্ৰ 7.39)। দেখুওৱা যে:
(i) ΔABD ≅ ΔACD
(ii) ΔABP ≅ ΔACP
(iii) AP য়ে ∠A আৰু ∠D উভয়কে সমদ্বিখণ্ডিত কৰে
(iv) AP, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক
(i) ΔABD ≅ ΔACD
(ii) ΔABP ≅ ΔACP
(iii) AP য়ে ∠A আৰু ∠D উভয়কে সমদ্বিখণ্ডিত কৰে
(iv) AP, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক
(i) ΔABD আৰু ΔACD ত: AB = AC, BD = CD, AD = AD ⇒ ΔABD ≅ ΔACD (SSS)
(ii) ΔABP আৰু ΔACP ত: AB = AC, ∠BAP = ∠CAP (i ৰ পৰা), AP = AP ⇒ ΔABP ≅ ΔACP (SAS)
(iii) (i) ৰ পৰা ∠BAP = ∠CAP বাবে AP য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। আকৌ ΔBDP ≅ ΔCDP (SSS) বাবে AP য়ে ∠D কো সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(iv) BP = CP আৰু ∠APB = ∠APC = 180°/2 = 90° ⇒ AP, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
(ii) ΔABP আৰু ΔACP ত: AB = AC, ∠BAP = ∠CAP (i ৰ পৰা), AP = AP ⇒ ΔABP ≅ ΔACP (SAS)
(iii) (i) ৰ পৰা ∠BAP = ∠CAP বাবে AP য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। আকৌ ΔBDP ≅ ΔCDP (SSS) বাবে AP য়ে ∠D কো সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(iv) BP = CP আৰু ∠APB = ∠APC = 180°/2 = 90° ⇒ AP, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
প্ৰশ্ন নং 2 :
সমদ্বিবাহু ΔABC (AB = AC) ৰ AD এডাল উন্নতি। দেখুওৱা: (i) AD য়ে BC ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, (ii) AD য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
সমকোণী ΔABD আৰু ΔACD ত: ∠ADB = ∠ADC = 90°, AB = AC, AD = AD ⇒ ΔABD ≅ ΔACD (RHS)
(i) BD = CD (CPCT) ⇒ AD য়ে BC ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) ∠BAD = ∠CAD (CPCT) ⇒ AD য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(i) BD = CD (CPCT) ⇒ AD য়ে BC ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) ∠BAD = ∠CAD (CPCT) ⇒ AD য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
প্ৰশ্ন নং 3 :
ΔABC ৰ বাহু AB, BC আৰু মধ্যমা AM ক্ৰমে ΔPQR ৰ PQ, QR আৰু মধ্যমা PN ৰ সমান (চিত্ৰ 7.40)। দেখুওৱা: (i) ΔABM ≅ ΔPQN, (ii) ΔABC ≅ ΔPQR।
BC = QR ⇒ 1/2 BC = 1/2 QR ⇒ BM = QN
(i) ΔABM আৰু ΔPQN ত: AB = PQ, BM = QN, AM = PN ⇒ ΔABM ≅ ΔPQN (SSS)
(ii) (i) ৰ পৰা ∠B = ∠Q (CPCT)। ΔABC আৰু ΔPQR ত: AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR ⇒ ΔABC ≅ ΔPQR (SAS)
(i) ΔABM আৰু ΔPQN ত: AB = PQ, BM = QN, AM = PN ⇒ ΔABM ≅ ΔPQN (SSS)
(ii) (i) ৰ পৰা ∠B = ∠Q (CPCT)। ΔABC আৰু ΔPQR ত: AB = PQ, ∠B = ∠Q, BC = QR ⇒ ΔABC ≅ ΔPQR (SAS)
প্ৰশ্ন নং 4 :
BE আৰু CF ত্ৰিভুজ ABC ৰ দুডাল সমান উন্নতি। স-অ-বা (RHS) বিধি ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণ কৰা যে ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
সমকোণী ΔBEC আৰু ΔCFB ত:
1. ∠BEC = ∠CFB = 90°
2. BC = CB (উমৈহতীয়া অতিভুজ)
3. BE = CF (দিয়া আছে)
∴ ΔBEC ≅ ΔCFB (RHS) ⇒ ∠BCE = ∠CBF (CPCT) ⇒ ∠C = ∠B
⇒ AB = AC (সমান কোণৰ বিপৰীত বাহু)
গতিকে ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ। (প্ৰমাণিত)
1. ∠BEC = ∠CFB = 90°
2. BC = CB (উমৈহতীয়া অতিভুজ)
3. BE = CF (দিয়া আছে)
∴ ΔBEC ≅ ΔCFB (RHS) ⇒ ∠BCE = ∠CBF (CPCT) ⇒ ∠C = ∠B
⇒ AB = AC (সমান কোণৰ বিপৰীত বাহু)
গতিকে ΔABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ য'ত AB = AC। AP ⊥ BC আঁকি দেখুওৱা যে ∠B = ∠C।
সমকোণী ΔAPB আৰু ΔAPC ত:
1. ∠APB = ∠APC = 90° (AP ⊥ BC)
2. AB = AC (অতিভুজ সমান)
3. AP = AP (উমৈহতীয়া বাহু)
∴ ΔAPB ≅ ΔAPC (RHS বিধি)
∴ ∠B = ∠C (CPCT) (প্ৰমাণিত)
1. ∠APB = ∠APC = 90° (AP ⊥ BC)
2. AB = AC (অতিভুজ সমান)
3. AP = AP (উমৈহতীয়া বাহু)
∴ ΔAPB ≅ ΔAPC (RHS বিধি)
∴ ∠B = ∠C (CPCT) (প্ৰমাণিত)