অনুশীলনী : 5.1 (ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ আৰু স্বীকাৰ্য)
ইউক্লিডৰ মূল স্বতঃসিদ্ধসমূহ (Axioms):
1. একেটা বস্তুৰ সমান বস্তুবোৰ পৰস্পৰ সমান।
2. সমান সমান বস্তুৰ লগত একে বস্তু যোগ কৰিলে যোগফলবোৰ সমান।
3. সমান সমান বস্তুৰ পৰা একে বস্তু বিয়োগ কৰিলে বিয়োগফলবোৰ সমান।
4. যিবোৰ বস্তু এটা আনটোৰ লগত মিলি যায়, সেইবোৰ পৰস্পৰ সমান।
5. সম্পূৰ্ণ বস্তু এটা সদায় তাৰ অংশতকৈ ডাঙৰ।
1. একেটা বস্তুৰ সমান বস্তুবোৰ পৰস্পৰ সমান।
2. সমান সমান বস্তুৰ লগত একে বস্তু যোগ কৰিলে যোগফলবোৰ সমান।
3. সমান সমান বস্তুৰ পৰা একে বস্তু বিয়োগ কৰিলে বিয়োগফলবোৰ সমান।
4. যিবোৰ বস্তু এটা আনটোৰ লগত মিলি যায়, সেইবোৰ পৰস্পৰ সমান।
5. সম্পূৰ্ণ বস্তু এটা সদায় তাৰ অংশতকৈ ডাঙৰ।
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ কোনবোৰ উক্তি সত্য আৰু কোনবোৰ অসত্য। তোমাৰ উত্তৰৰ সপক্ষে কাৰণ দেখুওৱা:
(i) এটা বিন্দুৰ মাজেৰে মাথোঁ এডাল ৰেখাহে পাব পাৰি।
(ii) দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে অসীম সংখ্যক ৰেখা পাব পাৰি।
(iii) এডাল সীমিত ৰেখাখণ্ডক অসীমভাৱে দুই মূৰে বৃদ্ধি কৰিব পাৰি।
(iv) যদি দুটা বৃত্ত সমান, তেন্তে সিহঁতৰ ব্যাসাৰ্ধও সমান।
(v) চিত্ৰ 5.9 ত যদি AB = PQ আৰু PQ = XY তেন্তে AB = XY।
(i) এটা বিন্দুৰ মাজেৰে মাথোঁ এডাল ৰেখাহে পাব পাৰি।
(ii) দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে অসীম সংখ্যক ৰেখা পাব পাৰি।
(iii) এডাল সীমিত ৰেখাখণ্ডক অসীমভাৱে দুই মূৰে বৃদ্ধি কৰিব পাৰি।
(iv) যদি দুটা বৃত্ত সমান, তেন্তে সিহঁতৰ ব্যাসাৰ্ধও সমান।
(v) চিত্ৰ 5.9 ত যদি AB = PQ আৰু PQ = XY তেন্তে AB = XY।
(i) অসত্য: কাৰণ এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ মাজেৰে অসীম সংখ্যক সৰলৰেখা আঁকিব পাৰি।
(ii) অসত্য: কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য 1 অনুসৰি দুটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ মাজেৰে কেৱল এডাল আৰু মাত্ৰ এডালহে অদ্বিতীয় সৰলৰেখা যাব পাৰে।
(iii) সত্য: কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য 2 অনুসৰি এডাল সীমিত ৰেখাক (ৰেখাখণ্ডক) দুয়োফালে অসীমভাৱে বৃদ্ধি কৰিব পাৰি।
(iv) সত্য: কাৰণ দুটা বৃত্ত সমান হ'লে সিহঁতৰ কালি সমান হয় আৰু ইটোৰ ওপৰত সিটো সম্পূৰ্ণ মিলি যায় (স্বতঃসিদ্ধ 4), যাৰ ফলত ব্যাসাৰ্ধ দুটাও সমান হয়।
(v) সত্য: কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ 1 অনুসৰি—যিবোৰ বস্তু একেটা বস্তুৰ সমান, সেইবোৰ পৰস্পৰ সমান (যিহেতু AB আৰু XY দুয়োটা PQ ৰ সমান)।
(ii) অসত্য: কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য 1 অনুসৰি দুটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ মাজেৰে কেৱল এডাল আৰু মাত্ৰ এডালহে অদ্বিতীয় সৰলৰেখা যাব পাৰে।
(iii) সত্য: কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য 2 অনুসৰি এডাল সীমিত ৰেখাক (ৰেখাখণ্ডক) দুয়োফালে অসীমভাৱে বৃদ্ধি কৰিব পাৰি।
(iv) সত্য: কাৰণ দুটা বৃত্ত সমান হ'লে সিহঁতৰ কালি সমান হয় আৰু ইটোৰ ওপৰত সিটো সম্পূৰ্ণ মিলি যায় (স্বতঃসিদ্ধ 4), যাৰ ফলত ব্যাসাৰ্ধ দুটাও সমান হয়।
(v) সত্য: কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ 1 অনুসৰি—যিবোৰ বস্তু একেটা বস্তুৰ সমান, সেইবোৰ পৰস্পৰ সমান (যিহেতু AB আৰু XY দুয়োটা PQ ৰ সমান)।
প্ৰশ্ন নং 2 :
তলৰ প্ৰতিটো পদৰ সংজ্ঞা দিয়া। তাত কিবা আন পদ আছে নেকি যাৰ প্ৰথমে সংজ্ঞা দিয়াৰ প্ৰয়োজন? সেইবোৰ কি আৰু কেনেকৈ সংজ্ঞা দিবা?
(i) সমান্তৰাল ৰেখা | (ii) লম্ব ৰেখা | (iii) ৰেখাখণ্ড | (iv) এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ | (v) বৰ্গ
(i) সমান্তৰাল ৰেখা | (ii) লম্ব ৰেখা | (iii) ৰেখাখণ্ড | (iv) এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ | (v) বৰ্গ
প্ৰাথমিক পদসমূহ: এই সংজ্ঞাবোৰ স্পষ্ট কৰিবলৈ বিন্দু, ৰেখা, সমতল, কোণ আৰু দূৰত্ব আদি পদবোৰৰ ধাৰণা প্ৰথমে জনা প্ৰয়োজন।
(i) সমান্তৰাল ৰেখা (Parallel Lines): একে সমতলত অৱস্থিত যিবোৰ সৰলৰেখা দুয়োফালে অসীমভাৱে বঢ়াই দিলেও কেতিয়াও পৰস্পৰ কটাকটি নকৰে আৰু সিহঁতৰ মাজৰ লম্ব দূৰত্ব সদায় সমান থাকে, সেইবোৰক সমান্তৰাল ৰেখা বোলে।
(ii) লম্ব ৰেখা (Perpendicular Lines): যদি এডাল সৰলৰেখাই আন এডাল সৰলৰেখাৰ ওপৰত আপতিত হৈ 90° (সমকোণ) উৎপন্ন কৰে, তেন্তে ৰেখা দুডালক পৰস্পৰ লম্ব ৰেখা বোলে।
(iii) ৰেখাখণ্ড (Line Segment): দুটা নিৰ্দিষ্ট প্ৰান্তবিন্দু থকা এডাল সৰলৰেখাৰ নিৰ্দিষ্ট অংশক ৰেখাখণ্ড বোলে।
(iv) বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ (Radius of a Circle): বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা পৰিধিৰ যিকোনো বিন্দুলৈ টনা ৰেখাখণ্ডৰ দৈৰ্ঘ্যক বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ বোলে।
(v) বৰ্গ (Square): চাৰিটা বাহু সমান আৰু প্ৰতিটো কোণ সমকোণ (90°) হোৱা চতুৰ্ভুজক বৰ্গ বোলে।
(ii) লম্ব ৰেখা (Perpendicular Lines): যদি এডাল সৰলৰেখাই আন এডাল সৰলৰেখাৰ ওপৰত আপতিত হৈ 90° (সমকোণ) উৎপন্ন কৰে, তেন্তে ৰেখা দুডালক পৰস্পৰ লম্ব ৰেখা বোলে।
(iii) ৰেখাখণ্ড (Line Segment): দুটা নিৰ্দিষ্ট প্ৰান্তবিন্দু থকা এডাল সৰলৰেখাৰ নিৰ্দিষ্ট অংশক ৰেখাখণ্ড বোলে।
(iv) বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ (Radius of a Circle): বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা পৰিধিৰ যিকোনো বিন্দুলৈ টনা ৰেখাখণ্ডৰ দৈৰ্ঘ্যক বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ বোলে।
(v) বৰ্গ (Square): চাৰিটা বাহু সমান আৰু প্ৰতিটো কোণ সমকোণ (90°) হোৱা চতুৰ্ভুজক বৰ্গ বোলে।
প্ৰশ্ন নং 3 :
তলত দিয়া স্বীকাৰ্য দুটা বিবেচনা কৰা:
(i) প্ৰদত্ত দুটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দু A আৰু B ৰ বাবে তৃতীয় এটা বিন্দু C পোৱা যায় যি A আৰু B ৰ মাজত অৱস্থিত।
(ii) একে ৰেখাত নাথাকিবৰ বাবে অতি কমেও তিনিটা বিন্দু থাকে।
এই স্বীকাৰ্য দুটাত কিবা সংজ্ঞাহীন পদ আছেনে? এই দুটা স্বীকাৰ্য সংগতনে? সিহঁতে ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য মানি লয়নে? ব্যাখ্যা কৰা।
(i) প্ৰদত্ত দুটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দু A আৰু B ৰ বাবে তৃতীয় এটা বিন্দু C পোৱা যায় যি A আৰু B ৰ মাজত অৱস্থিত।
(ii) একে ৰেখাত নাথাকিবৰ বাবে অতি কমেও তিনিটা বিন্দু থাকে।
এই স্বীকাৰ্য দুটাত কিবা সংজ্ঞাহীন পদ আছেনে? এই দুটা স্বীকাৰ্য সংগতনে? সিহঁতে ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য মানি লয়নে? ব্যাখ্যা কৰা।
• সংজ্ঞাহীন পদ: ইয়াত 'বিন্দু' আৰু 'ৰেখা'ৰ দৰে কিছুমান সংজ্ঞাহীন পদ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে।
• সংগতনে: হয়, এই স্বীকাৰ্য দুটা সংগত (consistent), কাৰণ ইহঁতে দুটা বেলেগ বেলেগ সত্য পৰিস্থিতিক বুজায় আৰু ইটোৱে আনটোক বিৰোধ নকৰে।
• ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য মানেনে: ইহঁতে ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্যসমূহ পোনপটীয়াকৈ অনুসৰণ নকৰে; কিন্তু ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ 5.1 ৰ পৰা ই নিৰূপিত হয়।
• সংগতনে: হয়, এই স্বীকাৰ্য দুটা সংগত (consistent), কাৰণ ইহঁতে দুটা বেলেগ বেলেগ সত্য পৰিস্থিতিক বুজায় আৰু ইটোৱে আনটোক বিৰোধ নকৰে।
• ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য মানেনে: ইহঁতে ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্যসমূহ পোনপটীয়াকৈ অনুসৰণ নকৰে; কিন্তু ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ 5.1 ৰ পৰা ই নিৰূপিত হয়।
প্ৰশ্ন নং 4 :
যদি এটা বিন্দু C, দুটা বিন্দু A আৰু B ৰ মাজত থাকে যাতে AC = BC, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে AC = 1/2 AB। চিত্ৰসহ ব্যাখ্যা কৰা।
দিয়া আছে: AC = BC
সমীকৰণৰ দুয়োপক্ষত AC যোগ কৰি (স্বতঃসিদ্ধ 2 মতে):
AC + AC = BC + AC
⇒ 2AC = AB (যিহেতু BC + AC মিলি গৈ সম্পূৰ্ণ AB ৰেখাখণ্ডটো হয়, স্বতঃসিদ্ধ 4)
⇒ AC = 1/2 AB
প্ৰমাণিত হ'ল: AC = 1/2 AB
AC + AC = BC + AC
⇒ 2AC = AB (যিহেতু BC + AC মিলি গৈ সম্পূৰ্ণ AB ৰেখাখণ্ডটো হয়, স্বতঃসিদ্ধ 4)
⇒ AC = 1/2 AB
প্ৰমাণিত হ'ল: AC = 1/2 AB
প্ৰশ্ন নং 5 :
প্ৰমাণ কৰা যে যিকোনো ৰেখাখণ্ডৰ এটা আৰু মাত্ৰ এটাহে মধ্যবিন্দু থাকে।
ধৰা হ'ল AB ৰেখাখণ্ডৰ দুটা সুকীয়া মধ্যবিন্দু C আৰু D আছে।
C মধ্যবিন্দু হ'লে: AC = 1/2 AB —— (1)
D মধ্যবিন্দু হ'লে: AD = 1/2 AB —— (2)
স্বতঃসিদ্ধ 1 মতে (একেটা বস্তুৰ সমান বস্তুবোৰ পৰস্পৰ সমান):
AC = AD
ই কেৱল তেতিয়াহে সম্ভৱ যদিহে C আৰু D দুয়োটা একেটা বিন্দু হয়।
গতিকে প্ৰতিটো ৰেখাখণ্ডৰ মাত্ৰ এটা অদ্বিতীয় মধ্যবিন্দু থাকে। (প্ৰমাণিত)
C মধ্যবিন্দু হ'লে: AC = 1/2 AB —— (1)
D মধ্যবিন্দু হ'লে: AD = 1/2 AB —— (2)
স্বতঃসিদ্ধ 1 মতে (একেটা বস্তুৰ সমান বস্তুবোৰ পৰস্পৰ সমান):
AC = AD
ই কেৱল তেতিয়াহে সম্ভৱ যদিহে C আৰু D দুয়োটা একেটা বিন্দু হয়।
গতিকে প্ৰতিটো ৰেখাখণ্ডৰ মাত্ৰ এটা অদ্বিতীয় মধ্যবিন্দু থাকে। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
চিত্ৰ 5.10 ত, যদি AC = BD তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে AB = CD।
দিয়া আছে: AC = BD
⇒ AB + BC = BC + CD
দুয়োপক্ষৰ পৰা BC বিয়োগ কৰি (স্বতঃসিদ্ধ 3 মতে):
⇒ AB = CD
প্ৰমাণিত হ'ল: AB = CD
প্ৰশ্ন নং 7 :
ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ তালিকাৰ স্বতঃসিদ্ধ 5 ক কিয় 'চিৰসত্য' (Universal truth) বুলি বিবেচনা কৰা হয়?
কাৰণ: স্বতঃসিদ্ধ 5 অনুসৰি— "সম্পূৰ্ণ বস্তু এটা সদায় তাৰ অংশতকৈ ডাঙৰ (The whole is greater than the part)।"
ই কেৱল জ্যামিতিতেই নহয়, বিশ্বব্ৰহ্মাণ্ডৰ যিকোনো পদাৰ্থ বা গাণিতিক ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতো চিৰসত্য। যিহেতু এটা অংশ মূল সম্পূৰ্ণ বস্তুৰ পৰাহে লোৱা হয়, সেয়েহে অংশটো কেতিয়াও সম্পূৰ্ণ বস্তুতকৈ ডাঙৰ হ'ব নোৱাৰে। এই নীতি সৰ্বজনীনভাৱে সত্য হোৱা বাবে ইয়াক চিৰসত্য বুলি গণ্য কৰা হয়।
ই কেৱল জ্যামিতিতেই নহয়, বিশ্বব্ৰহ্মাণ্ডৰ যিকোনো পদাৰ্থ বা গাণিতিক ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতো চিৰসত্য। যিহেতু এটা অংশ মূল সম্পূৰ্ণ বস্তুৰ পৰাহে লোৱা হয়, সেয়েহে অংশটো কেতিয়াও সম্পূৰ্ণ বস্তুতকৈ ডাঙৰ হ'ব নোৱাৰে। এই নীতি সৰ্বজনীনভাৱে সত্য হোৱা বাবে ইয়াক চিৰসত্য বুলি গণ্য কৰা হয়।
অনুশীলনী : 5.2 (ইউক্লিডৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যৰ সমতুল্য ভাষ্য)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ইউক্লিডৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যটো সহজে বুজিব পৰাকৈ তুমি কেনেকৈ পুনৰ লিখিবা?
সহজ ভাষ্য (Playfair's Axiom ৰ সমতুল্য):
যদি এডাল সৰলৰেখা আন দুডাল সৰলৰেখাৰ ওপৰত আপতিত হৈ একেফালে দুটা অন্তঃকোণ উৎপন্ন কৰে আৰু সিহঁতৰ যোগফল 180° (দুই সমকোণ) তকৈ কম হয়, তেন্তে সেই দিশতে ৰেখা দুডালক বঢ়াই দিলে সিহঁতে পৰস্পৰ কটাকটি কৰিব।
অৰ্থাৎ: যিফালে অন্তঃকোণ দুটাৰ সমষ্টি 180° তকৈ কম, ৰেখা দুডাল সেইফালেই মিলিত হ'ব।
যদি এডাল সৰলৰেখা আন দুডাল সৰলৰেখাৰ ওপৰত আপতিত হৈ একেফালে দুটা অন্তঃকোণ উৎপন্ন কৰে আৰু সিহঁতৰ যোগফল 180° (দুই সমকোণ) তকৈ কম হয়, তেন্তে সেই দিশতে ৰেখা দুডালক বঢ়াই দিলে সিহঁতে পৰস্পৰ কটাকটি কৰিব।
প্ৰশ্ন নং 2 :
ইউক্লিডৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যই সমান্তৰাল ৰেখাৰ অৱস্থিতি সূচায়নে? ব্যাখ্যা কৰা।
ব্যাখ্যা: হয়, ইউক্লিডৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যই নিশ্চিতভাৱে সমান্তৰাল ৰেখাৰ অস্তিত্ব সূচায়।
ধৰা হ'ল l আৰু m ৰেখা দুডালক n ৰেখাডালে ছেদ কৰিছে।
• যদি একেফালৰ অন্তঃকোণ দুটাৰ সমষ্টি ঠিক দুই সমকোণৰ সমান হয়, অৰ্থাৎ ∠1 + ∠2 = 180° হয়,
• তেন্তে আনটো ফালৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টিও হ'ব: ∠3 + ∠4 = 360° - 180° = 180°।
যিহেতু কোনোফালেই অন্তঃকোণৰ সমষ্টি 180° তকৈ কম নহয়, গতিকে পঞ্চম স্বীকাৰ্যমতে ৰেখা দুডাল বাওঁফালে বা সোঁফালে ক'তোৱেই কেতিয়াও মিলিত হ'ব নোৱাৰে।
ফলস্বৰূপে, ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল (l ∥ m) হ'ব।
সিদ্ধান্ত: ইউক্লিডৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যই সমান্তৰাল ৰেখাৰ অস্তিত্ব নিশ্চিতভাৱে প্ৰতিপন্ন কৰে।• যদি একেফালৰ অন্তঃকোণ দুটাৰ সমষ্টি ঠিক দুই সমকোণৰ সমান হয়, অৰ্থাৎ ∠1 + ∠2 = 180° হয়,
• তেন্তে আনটো ফালৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টিও হ'ব: ∠3 + ∠4 = 360° - 180° = 180°।
যিহেতু কোনোফালেই অন্তঃকোণৰ সমষ্টি 180° তকৈ কম নহয়, গতিকে পঞ্চম স্বীকাৰ্যমতে ৰেখা দুডাল বাওঁফালে বা সোঁফালে ক'তোৱেই কেতিয়াও মিলিত হ'ব নোৱাৰে।
ফলস্বৰূপে, ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল (l ∥ m) হ'ব।