অনুশীলনী : 4.1 (ৰৈখিক সমীকৰণৰ আদৰ্শ আৰ্হি)
দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ আদৰ্শ আৰ্হি: ax + by + c = 0, য'ত a, b, c বাস্তৱ সংখ্যা আৰু a, b একেসময়তে শূন্য নহয় (a2 + b2 ≠ 0)।
প্ৰশ্ন নং 1 :
এখন টোকাবহীৰ দাম এটা কলমৰ দামৰ দুগুণ। এই উক্তিটো প্ৰকাশ হোৱাকৈ দুটা চলকযুক্ত এটা ৰৈখিক সমীকৰণ গঠন কৰা। (টোকাবহীৰ দাম x টকা আৰু কলমৰ দাম y টকা ধৰি লোৱা)
ধৰা হ'ল এখন টোকাবহীৰ দাম = x টকা আৰু এটা কলমৰ দাম = y টকা।
প্ৰশ্নমতে:
x = 2 × y
⇒ x - 2y = 0 (বা x - 2y + 0 = 0)
নিৰ্ণেয় সমীকৰণ: x - 2y = 0
প্ৰশ্নমতে:
x = 2 × y
⇒ x - 2y = 0 (বা x - 2y + 0 = 0)
নিৰ্ণেয় সমীকৰণ: x - 2y = 0
প্ৰশ্ন নং 2 :
তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণবিলাক ax + by + c = 0 আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা আৰু প্ৰতি ক্ষেত্ৰতে a, b আৰু c ৰ মান উল্লেখ কৰা:
(i) 2x + 3y = 9.35̄:
2x + 3y - 9.35̄ = 0
a = 2, b = 3, c = -9.35̄
2x + 3y - 9.35̄ = 0
a = 2, b = 3, c = -9.35̄
(ii) x - y/5 - 10 = 0:
1.x + (-1/5)y + (-10) = 0
a = 1, b = -1/5, c = -10
1.x + (-1/5)y + (-10) = 0
a = 1, b = -1/5, c = -10
(iii) -2x + 3y = 6:
-2x + 3y - 6 = 0
a = -2, b = 3, c = -6
-2x + 3y - 6 = 0
a = -2, b = 3, c = -6
(iv) x = 3y:
1.x - 3y + 0 = 0
a = 1, b = -3, c = 0
1.x - 3y + 0 = 0
a = 1, b = -3, c = 0
(v) 2x = -5y:
2x + 5y + 0 = 0
a = 2, b = 5, c = 0
2x + 5y + 0 = 0
a = 2, b = 5, c = 0
(vi) 3x + 2 = 0:
3x + 0.y + 2 = 0
a = 3, b = 0, c = 2
3x + 0.y + 2 = 0
a = 3, b = 0, c = 2
(vii) y - 2 = 0:
0.x + 1.y - 2 = 0
a = 0, b = 1, c = -2
0.x + 1.y - 2 = 0
a = 0, b = 1, c = -2
(viii) 5 = 2x:
2x + 0.y - 5 = 0 (বা -2x + 0.y + 5 = 0)
a = 2, b = 0, c = -5
2x + 0.y - 5 = 0 (বা -2x + 0.y + 5 = 0)
a = 2, b = 0, c = -5
অনুশীলনী : 4.2 (ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধান)
সমাধানৰ বৈশিষ্ট্য: দুটা চলকযুক্ত প্ৰতিটো ৰৈখিক সমীকৰণৰ অসীম সংখ্যক সমাধান (Infinitely many solutions) থাকে।
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলত দিয়া সম্ভাব্য উত্তৰবোৰৰ মাজৰ কোনটো সত্য আৰু কিয়?
y = 3x + 5 সমীকৰণটোৰ— (i) এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে, (ii) মাত্ৰ দুটা সমাধান আছে, (iii) অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
y = 3x + 5 সমীকৰণটোৰ— (i) এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে, (ii) মাত্ৰ দুটা সমাধান আছে, (iii) অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
শুদ্ধ উত্তৰ: (iii) অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
কাৰণ: x ৰ প্ৰতিটো বাস্তৱ মানৰ বাবে y ৰ এটা সুকীয়া বাস্তৱ মান পোৱা যায় আৰু ৰৈখিক সমীকৰণৰ লেখডালত অসীম সংখ্যক বিন্দু থাকে।
কাৰণ: x ৰ প্ৰতিটো বাস্তৱ মানৰ বাবে y ৰ এটা সুকীয়া বাস্তৱ মান পোৱা যায় আৰু ৰৈখিক সমীকৰণৰ লেখডালত অসীম সংখ্যক বিন্দু থাকে।
প্ৰশ্ন নং 2 : তলৰ প্ৰতিটো সমীকৰণৰ চাৰিটাকৈ সমাধান উলিওৱা:
(i) 2x + y = 7 ⇒ y = 7 - 2x:
• x = 0 ⇒ y = 7 → (0, 7)
• x = 1 ⇒ y = 5 → (1, 5)
• x = 2 ⇒ y = 3 → (2, 3)
• x = 3 ⇒ y = 1 → (3, 1)
চাৰিটা সমাধান: (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)
• x = 0 ⇒ y = 7 → (0, 7)
• x = 1 ⇒ y = 5 → (1, 5)
• x = 2 ⇒ y = 3 → (2, 3)
• x = 3 ⇒ y = 1 → (3, 1)
চাৰিটা সমাধান: (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)
(ii) πx + y = 9 ⇒ y = 9 - πx:
• x = 0 ⇒ y = 9 → (0, 9)
• x = 1 ⇒ y = 9 - π → (1, 9 - π)
• x = 2 ⇒ y = 9 - 2π → (2, 9 - 2π)
• y = 0 ⇒ x = 9/π → (9/π, 0)
চাৰিটা সমাধান: (0, 9), (1, 9-π), (2, 9-2π), (9/π, 0)
• x = 0 ⇒ y = 9 → (0, 9)
• x = 1 ⇒ y = 9 - π → (1, 9 - π)
• x = 2 ⇒ y = 9 - 2π → (2, 9 - 2π)
• y = 0 ⇒ x = 9/π → (9/π, 0)
চাৰিটা সমাধান: (0, 9), (1, 9-π), (2, 9-2π), (9/π, 0)
(iii) x = 4y:
• y = 0 ⇒ x = 0 → (0, 0) | • y = 1 ⇒ x = 4 → (4, 1)
• y = 2 ⇒ x = 8 → (8, 2) | • y = -1 ⇒ x = -4 → (-4, -1)
চাৰিটা সমাধান: (0, 0), (4, 1), (8, 2), (-4, -1)
• y = 0 ⇒ x = 0 → (0, 0) | • y = 1 ⇒ x = 4 → (4, 1)
• y = 2 ⇒ x = 8 → (8, 2) | • y = -1 ⇒ x = -4 → (-4, -1)
চাৰিটা সমাধান: (0, 0), (4, 1), (8, 2), (-4, -1)
প্ৰশ্ন নং 3 :
তলৰ কোনবোৰ ক্ৰমিক যুগল x - 2y = 4 ৰ সমাধান হয় আৰু কোনবোৰ নহয় পৰীক্ষা কৰা:
(i) (0, 2) ⇒ 0 - 2(2) = -4 ≠ 4 → সমাধান নহয়
(ii) (2, 0) ⇒ 2 - 2(0) = 2 ≠ 4 → সমাধান নহয়
(iii) (4, 0) ⇒ 4 - 2(0) = 4 = 4 → সমাধান হয়
(iv) (√2, 4√2) ⇒ √2 - 8√2 = -7√2 ≠ 4 → সমাধান নহয়
(v) (1, 1) ⇒ 1 - 2(1) = -1 ≠ 4 → সমাধান নহয়
(ii) (2, 0) ⇒ 2 - 2(0) = 2 ≠ 4 → সমাধান নহয়
(iii) (4, 0) ⇒ 4 - 2(0) = 4 = 4 → সমাধান হয়
(iv) (√2, 4√2) ⇒ √2 - 8√2 = -7√2 ≠ 4 → সমাধান নহয়
(v) (1, 1) ⇒ 1 - 2(1) = -1 ≠ 4 → সমাধান নহয়
প্ৰশ্ন নং 4 :
যদি x = 2, y = 1 সমীকৰণ 2x + 3y = k ৰ এটা সমাধান হয়, তেন্তে k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
সমীকৰণত x = 2 আৰু y = 1 পাতিলে:
2(2) + 3(1) = k
⇒ 4 + 3 = k
⇒ k = 7
উত্তৰ: k = 7
2(2) + 3(1) = k
⇒ 4 + 3 = k
⇒ k = 7
উত্তৰ: k = 7
অনুশীলনী : 4.3 (ৰৈখিক সমীকৰণৰ লেখচিত্ৰ আৰু প্ৰয়োগ)
প্ৰশ্ন নং 1 : তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণবোৰৰ লেখ অংকন কৰা:
(i) x + y = 4 | (ii) x - y = 2 | (iii) y = 3x | (iv) 3 = 2x + y
(i) x + y = 4:
বিন্দুবোৰ: (0, 4), (4, 0), (2, 2)
(ii) x - y = 2 ⇒ y = x - 2:
বিন্দুবোৰ: (0, -2), (2, 0), (4, 2)
বিন্দুবোৰ: (0, 4), (4, 0), (2, 2)
(ii) x - y = 2 ⇒ y = x - 2:
বিন্দুবোৰ: (0, -2), (2, 0), (4, 2)
(iii) y = 3x:
বিন্দুবোৰ: (0, 0), (1, 3), (-1, -3)
(iv) 3 = 2x + y ⇒ y = 3 - 2x:
বিন্দুবোৰ: (0, 3), (1, 1), (2, -1)
বিন্দুবোৰ: (0, 0), (1, 3), (-1, -3)
(iv) 3 = 2x + y ⇒ y = 3 - 2x:
বিন্দুবোৰ: (0, 3), (1, 1), (2, -1)
প্ৰশ্ন নং 2 :
(2, 14) বিন্দুৰে যোৱা দুডাল ৰেখাৰ সমীকৰণ লিখা। এনেকুৱা আৰু কিমান ৰেখা আছে আৰু কিয়?
দুডাল সমীকৰণ: 7x - y = 0 আৰু x + y = 16
এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ মাজেৰে অসীম সংখ্যক সৰলৰেখা যাব পাৰে বাবে এনেধৰণৰ অসীম সংখ্যক সমীকৰণ আছে।
এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ মাজেৰে অসীম সংখ্যক সৰলৰেখা যাব পাৰে বাবে এনেধৰণৰ অসীম সংখ্যক সমীকৰণ আছে।
প্ৰশ্ন নং 3 : অজ্ঞাত ৰাশিৰ মান আৰু চৰ্ত নিৰ্ণয়:
(i) (3, 4) বিন্দুটো 3y = ax + 7 ত বহালে: 3(4) = 3a + 7 ⇒ a = 5/3
(ii) (p, 4) বিন্দুটো 4x + y = 16 ত বহালে: 4p + 4 = 16 ⇒ p = 3
(iii) (1, 2) বিন্দুটো 2y = ax - 4 ত বহালে: 4 = a - 4 ⇒ a = 8
(iv) (2k - 3, k + 2) বিন্দুটো 2x + 3y + 15 = 0 ত বহালে: 7k + 15 = 0 ⇒ k = -15/7
(v) (1, -2) বিন্দুটো 3x - 2y = 7 ত: 3(1) - 2(-2) = 7 ⇒ হয়, ওপৰত থাকে
(vi) (-3, 2) বিন্দুটো 4x + 7y = 9 ত: -12 + 14 = 2 ≠ 9 ⇒ নাথাকে
(vii) ax + by + c = 0 মূলবিন্দু (0, 0) ৰে যাবলৈ চৰ্ত হ'ল: c = 0
(ii) (p, 4) বিন্দুটো 4x + y = 16 ত বহালে: 4p + 4 = 16 ⇒ p = 3
(iii) (1, 2) বিন্দুটো 2y = ax - 4 ত বহালে: 4 = a - 4 ⇒ a = 8
(iv) (2k - 3, k + 2) বিন্দুটো 2x + 3y + 15 = 0 ত বহালে: 7k + 15 = 0 ⇒ k = -15/7
(v) (1, -2) বিন্দুটো 3x - 2y = 7 ত: 3(1) - 2(-2) = 7 ⇒ হয়, ওপৰত থাকে
(vi) (-3, 2) বিন্দুটো 4x + 7y = 9 ত: -12 + 14 = 2 ≠ 9 ⇒ নাথাকে
(vii) ax + by + c = 0 মূলবিন্দু (0, 0) ৰে যাবলৈ চৰ্ত হ'ল: c = 0
প্ৰশ্ন নং 4 :
মহানগৰত টেক্সিৰ ভাড়া প্ৰথম কি.মি. ত 8 টকা আৰু পৰৱৰ্তী প্ৰতি কি.মি. ত 5 টকা। দূৰত্ব x আৰু মুঠ ভাড়া y ধৰি সমীকৰণ লিখা আৰু লেখ আঁকা।
y = 8 + 5(x - 1) = 8 + 5x - 5
⇒ y = 5x + 3 (বা 5x - y + 3 = 0)
বিন্দুবোৰ: (0, 3), (1, 8), (2, 13)
সমীকৰণ: y = 5x + 3
⇒ y = 5x + 3 (বা 5x - y + 3 = 0)
বিন্দুবোৰ: (0, 3), (1, 8), (2, 13)
সমীকৰণ: y = 5x + 3
প্ৰশ্ন নং 5 : চিত্ৰ 4.6 আৰু 4.7 ৰ সঠিক সমীকৰণ বাছনি:
• চিত্ৰ 4.6 ৰ বাবে: বিন্দুসমূহ (-1, 1), (0, 0), (1, -1)
ইহঁতে x + y = 0 সিদ্ধ কৰে ⇒ শুদ্ধ উত্তৰ: (ii) x + y = 0
• চিত্ৰ 4.7 ৰ বাবে: বিন্দুসমূহ (-1, 3), (0, 2), (2, 0)
ইহঁতে y = -x + 2 সিদ্ধ কৰে ⇒ শুদ্ধ উত্তৰ: (iii) y = -x + 2
ইহঁতে x + y = 0 সিদ্ধ কৰে ⇒ শুদ্ধ উত্তৰ: (ii) x + y = 0
• চিত্ৰ 4.7 ৰ বাবে: বিন্দুসমূহ (-1, 3), (0, 2), (2, 0)
ইহঁতে y = -x + 2 সিদ্ধ কৰে ⇒ শুদ্ধ উত্তৰ: (iii) y = -x + 2
প্ৰশ্ন নং 6 :
স্থিৰ বল প্ৰয়োগত কাৰ্য (y) দূৰত্বৰ (x) সমানুপাতিক। স্থিৰ বল 5 একক ধৰি সমীকৰণ গঠন কৰা আৰু দূৰত্ব (i) 2 একক, (ii) 0 একক হ'লে কাৰ্য উলিওৱা।
কাৰ্য = বল × দূৰত্ব ⇒ y = 5x
(i) x = 2 হ'লে কাৰ্য y = 5(2) = 10 একক
(ii) x = 0 হ'লে কাৰ্য y = 5(0) = 0 একক
কাৰ্য: (i) 10 একক, (ii) 0 একক
(i) x = 2 হ'লে কাৰ্য y = 5(2) = 10 একক
(ii) x = 0 হ'লে কাৰ্য y = 5(0) = 0 একক
কাৰ্য: (i) 10 একক, (ii) 0 একক
প্ৰশ্ন নং 7 : বিভিন্ন পৰিস্থিতিৰ ৰৈখিক সমীকৰণ:
(i) যামিনী আৰু ফাতিমাৰ বৰঙণি 100 টকা → x + y = 100
(ii) 10 বছৰ পিছত বাপেকৰ বয়স (y) পুতেকৰ (x) দুগুণ → y + 10 = 2(x + 10) ⇒ 2x - y + 10 = 0
(iii) 5 মেজৰ দাম 8 চকীৰ দামতকৈ 150 টকা বেছি → 5y - 8x = 150
(iv) হৰ x ৰ লগত 7 যোগ, লব y ৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে 3/2 হয় → 3x - 2y + 23 = 0
(v) আয়তাকাৰ মাটিৰ পৰিসীমা 66 m → 2(x + y) = 66 ⇒ x + y = 33
(ii) 10 বছৰ পিছত বাপেকৰ বয়স (y) পুতেকৰ (x) দুগুণ → y + 10 = 2(x + 10) ⇒ 2x - y + 10 = 0
(iii) 5 মেজৰ দাম 8 চকীৰ দামতকৈ 150 টকা বেছি → 5y - 8x = 150
(iv) হৰ x ৰ লগত 7 যোগ, লব y ৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে 3/2 হয় → 3x - 2y + 23 = 0
(v) আয়তাকাৰ মাটিৰ পৰিসীমা 66 m → 2(x + y) = 66 ⇒ x + y = 33
প্ৰশ্ন নং 8 : চেলচিয়াছ আৰু ফাৰেনহাইটৰ সম্পৰ্ক: F = (9/5)C + 32
(i) লেখৰ বাবে বিন্দুবোৰ: (0, 32), (10, 50), (-40, -40)
(ii) C = 30°C হ'লে: F = (9/5)(30) + 32 = 54 + 32 = 86°F
(iii) F = 95°F হ'লে: 95 - 32 = (9/5)C ⇒ C = 63 × 5/9 = 35°C
(iv) C = 0°C হ'লে F = 32°F; আৰু F = 0°F হ'লে C = -32 × 5/9 = -17.8°C
(v) দুয়োটাতে সাংখ্যিকভাৱে একে উষ্ণতা আছেনে? হয়, -40° ত F = C = -40°।
(ii) C = 30°C হ'লে: F = (9/5)(30) + 32 = 54 + 32 = 86°F
(iii) F = 95°F হ'লে: 95 - 32 = (9/5)C ⇒ C = 63 × 5/9 = 35°C
(iv) C = 0°C হ'লে F = 32°F; আৰু F = 0°F হ'লে C = -32 × 5/9 = -17.8°C
(v) দুয়োটাতে সাংখ্যিকভাৱে একে উষ্ণতা আছেনে? হয়, -40° ত F = C = -40°।
অনুশীলনী : 4.4 (অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখাৰ জ্যামিতিক উপস্থাপন)
প্ৰশ্ন নং 1 :
y = 3 ৰ জ্যামিতিক উপস্থাপন উল্লেখ কৰা: (i) এটা চলকযুক্ত, (ii) দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে।
(i) এটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে:
ই সংখ্যাৰেখাৰ ওপৰত 3 একক দূৰত্বত থকা এটা বিন্দু প্ৰদৰ্শন কৰে।
(ii) দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে (0.x + 1.y = 3):
ই কাৰ্টীয় সমতলত X-অক্ষৰ সমান্তৰাল আৰু Y-অক্ষক (0, 3) বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল সৰলৰেখা।
ই সংখ্যাৰেখাৰ ওপৰত 3 একক দূৰত্বত থকা এটা বিন্দু প্ৰদৰ্শন কৰে।
(ii) দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে (0.x + 1.y = 3):
ই কাৰ্টীয় সমতলত X-অক্ষৰ সমান্তৰাল আৰু Y-অক্ষক (0, 3) বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল সৰলৰেখা।
প্ৰশ্ন নং 2 :
2x + 9 = 0 ৰ জ্যামিতিক উপস্থাপন উল্লেখ কৰা: (i) এটা চলকযুক্ত, (ii) দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে।
2x + 9 = 0 ⇒ 2x = -9 ⇒ x = -4.5
(i) এটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে:
ই সংখ্যাৰেখাৰ ঋণাত্মক দিশত -4 আৰু -5 ৰ ঠিক মাজত থকা -4.5 বিন্দুটোক বুজায়।
(ii) দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে (2x + 0.y + 9 = 0):
ই কাৰ্টীয় সমতলত Y-অক্ষৰ সমান্তৰাল আৰু X-অক্ষক (-4.5, 0) বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল উলম্ব সৰলৰেখা।
(i) এটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে:
ই সংখ্যাৰেখাৰ ঋণাত্মক দিশত -4 আৰু -5 ৰ ঠিক মাজত থকা -4.5 বিন্দুটোক বুজায়।
(ii) দুটা চলকযুক্ত সমীকৰণ হিচাপে (2x + 0.y + 9 = 0):
ই কাৰ্টীয় সমতলত Y-অক্ষৰ সমান্তৰাল আৰু X-অক্ষক (-4.5, 0) বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল উলম্ব সৰলৰেখা।