অনুশীলনী : 6.1 (ৰৈখিক যুৰীয়া কোণ আৰু বিপ্ৰতীপ কোণ)
মূল ধাৰণা:
• ৰৈখিক যোৰৰ স্বতঃসিদ্ধ: এডাল ৰেখাৰ ওপৰত এটা ৰশ্মি থিয় হৈ থাকিলে সৃষ্টি হোৱা সন্নিহিত কোণ দুটাৰ সমষ্টি 180°।
• বিপ্ৰতীপ শীৰ্ষক কোণ: দুডাল ৰেখাই পৰস্পৰ কটাকটি কৰিলে সৃষ্টি হোৱা বিপ্ৰতীপ কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান।
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 6.13 ত AB আৰু CD ৰেখাই O বিন্দুত কটাকটি কৰিছে। যদি ∠AOC + ∠BOE = 70° আৰু ∠BOD = 40°, তেন্তে ∠BOE আৰু প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠COE নিৰ্ণয় কৰা।
O A B C D E 40°
1. AB আৰু CD ৰেখা দুডালে O ত কটাকটি কৰা বাবে:
∠AOC = ∠BOD = 40° (বিপ্ৰতীপ শীৰ্ষক কোণ)

2. দিয়া আছে: ∠AOC + ∠BOE = 70°
⇒ 40° + ∠BOE = 70° ⇒ ∠BOE = 30°

3. AB সৰলৰেখাত: ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
⇒ 70° + ∠COE = 180° ⇒ ∠COE = 110°
∴ প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠COE = 360° - 110° = 250°
উত্তৰ: ∠BOE = 30° আৰু প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠COE = 250°
প্ৰশ্ন নং 2 :
চিত্ৰ 6.14 ত, XY আৰু MN ৰেখাই O বিন্দুত কটাকটি কৰিছে। যদি ∠POY = 90° আৰু a : b = 2 : 3 তেন্তে c নিৰ্ণয় কৰা।
XY P MN O a b c
1. XY সৰলৰেখাত: ∠POX + ∠POY = 180° ⇒ ∠POX = 180° - 90° = 90°
⇒ a + b = 90°

2. a : b = 2 : 3 ⇒ 2x + 3x = 90° ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18°
∴ b = 3 × 18° = 54°

3. MN সৰলৰেখাত b আৰু c ৰৈখিক যুৰীয়া কোণ:
b + c = 180° ⇒ 54° + c = 180° ⇒ c = 126°
উত্তৰ: c = 126°
প্ৰশ্ন নং 3 :
চিত্ৰ 6.15 ত, ∠PQR = ∠PRQ, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে ∠PQS = ∠PRT।
P Q R S T
S-Q-R-T এডাল সৰলৰেখা হোৱা বাবে:
• ∠PQS + ∠PQR = 180° —— (1)
• ∠PRT + ∠PRQ = 180° —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা:
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
যিহেতু ∠PQR = ∠PRQ, গতিকে দুয়োফালৰ পৰা সমান কোণ কাটি দিলে:
∠PQS = ∠PRT (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
চিত্ৰ 6.16 ত, যদি x + y = w + z, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে AOB এডাল ৰেখা।
O AB CD x y z w
O বিন্দুৰ চাৰিওফালৰ কোণৰ সমষ্টি 360°:
(x + y) + (w + z) = 360°
যিহেতু w + z = x + y, সেয়েহে:
(x + y) + (x + y) = 360° ⇒ 2(x + y) = 360°
⇒ x + y = 180°
যিহেতু সন্নিহিত কোণ দুটাৰ সমষ্টি 180°, সেয়ে ৰৈখিক যোৰৰ স্বতঃসিদ্ধৰ বিপৰীতমতে AOB এডাল সৰলৰেখা। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
চিত্ৰ 6.17 ত, POQ এডাল ৰেখা। OR ⊥ PQ আৰু OS এডাল মাজৰ ৰশ্মি। প্ৰমাণ কৰা যে: ∠ROS = 1/2(∠QOS - ∠POS)।
PQ RS O
যিহেতু OR ⊥ PQ, গতিকে ∠POR = ∠QOR = 90°।
• ∠ROS = ∠QOS - ∠QOR = ∠QOS - 90° —— (1)
• ∠ROS = ∠POR - ∠POS = 90° - ∠POS —— (2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰি:
2∠ROS = ∠QOS - ∠POS
⇒ ∠ROS = 1/2(∠QOS - ∠POS) (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
∠XYZ = 64° আৰু XY ক P লৈ বঢ়োৱা হ'ল। YQ ৰশ্মিয়ে ∠ZYP ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে ∠XYQ আৰু প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠QYP নিৰ্ণয় কৰা।
XYP ZQ 64°
1. XYP সৰলৰেখাত: ∠XYZ + ∠ZYP = 180° ⇒ 64° + ∠ZYP = 180° ⇒ ∠ZYP = 116°
2. YQ ৰশ্মিয়ে ∠ZYP ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে:
∠ZYQ = ∠QYP = 116° / 2 = 58°
3. ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64° + 58° = 122°
4. প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠QYP = 360° - 58° = 302°
∠XYQ = 122°, প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠QYP = 302°
অনুশীলনী : 6.2 (সমান্তৰাল ৰেখা আৰু তিৰ্যক ৰেখা)
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 6.28 ত x আৰু y ৰ মান উলিওৱা আৰু দেখুওৱা যে AB ∥ CD।
AB CD 50° x y 130°
• ৰৈখিক যোৰৰ পৰা: 50° + x = 180° ⇒ x = 130°
• বিপ্ৰতীপ কোণৰ পৰা: y = 130°
যিহেতু x = y = 130° (একান্তৰ অন্তঃকোণ সমান),
গতিকে AB ∥ CD (প্ৰমাণিত)।
প্ৰশ্ন নং 2 :
চিত্ৰ 6.29 ত যদি AB ∥ CD, CD ∥ EF আৰু y : z = 3 : 7, তেন্তে x নিৰ্ণয় কৰা।
A-B C-D E-F x y z
AB ∥ CD আৰু CD ∥ EF ⇒ AB ∥ EF
∴ x = z (একান্তৰ অন্তঃকোণ)
CD ∥ EF ত তিৰ্যকৰ একেফালৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি: y + z = 180°
y : z = 3 : 7 ⇒ 3k + 7k = 180° ⇒ 10k = 180° ⇒ k = 18°
∴ z = 7 × 18° = 126°
x = z = 126°
প্ৰশ্ন নং 3 :
চিত্ৰ 6.30 ত, AB ∥ CD, EF ⊥ CD আৰু ∠GED = 126°। ∠AGE, ∠GEF আৰু ∠FGE উলিওৱা।
AB CD G E F
1. AB ∥ CD আৰু GE তিৰ্যক: ∠AGE = ∠GED = 126° (একান্তৰ কোণ)
2. ∠GEF = ∠GED - ∠FED = 126° - 90° = 36°
3. ∠FGE = 180° - ∠AGE = 180° - 126° = 54° (ৰৈখিক যোৰ)
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36°, ∠FGE = 54°
প্ৰশ্ন নং 4 :
চিত্ৰ 6.31 ত, PQ ∥ ST, ∠PQR = 110° আৰু ∠RST = 130°। ∠QRS নিৰ্ণয় কৰা।
PQ RST 110° 130°
R বিন্দুৰে ST ৰ সমান্তৰালকৈ ৰেখা টনা হ'ল:
• 110° + ∠1 = 180° ⇒ ∠1 = 70°
• 130° + ∠2 = 180° ⇒ ∠2 = 50°
∴ ∠QRS = 180° - (70° + 50°) = 180° - 120° = 60°
∠QRS = 60°
প্ৰশ্ন নং 5 :
চিত্ৰ 6.32 ত, AB ∥ CD, ∠APQ = 50° আৰু ∠PRD = 127°। x আৰু y উলিওৱা।
AB CD P QR 50° y x 127°
• AB ∥ CD আৰু PQ তিৰ্যক: x = ∠APQ = 50° (একান্তৰ কোণ)
• AB ∥ CD আৰু PR তিৰ্যক: ∠APR = ∠PRD = 127°
⇒ 50° + y = 127° ⇒ y = 77°
x = 50°, y = 77°
প্ৰশ্ন নং 6 :
চিত্ৰ 6.33 ত সমান্তৰাল দাপোণ PQ আৰু RS ত পোহৰৰ ৰশ্মি প্ৰতিফলিত হৈছে। প্ৰমাণ কৰা যে AB ∥ CD।
PQ RS A B C D
B আৰু C বিন্দুত টনা অভিলম্ব দুডাল BM ⊥ PQ আৰু CN ⊥ RS।
যিহেতু PQ ∥ RS, গতিকে অভিলম্বদ্বয়ো সমান্তৰাল (BM ∥ CN)।
প্ৰতিফলনৰ সূত্ৰমতে: ∠1 = ∠2 আৰু ∠3 = ∠4।
আকৌ, BM ∥ CN বাবে ∠2 = ∠3 (একান্তৰ কোণ)
⇒ 2∠2 = 2∠3 ⇒ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 ⇒ ∠ABC = ∠BCD
যিহেতু একান্তৰ কোণ সমান, গতিকে AB ∥ CD। (প্ৰমাণিত)
অনুশীলনী : 6.3 (ত্ৰিভুজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্ম)
ত্ৰিভুজৰ কোণৰ ধৰ্ম:
• ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ যোগফল 180°।
• ত্ৰিভুজৰ এটা বাহু বঢ়াই দিলে উৎপন্ন হোৱা বহিঃকোণটো বিপৰীত অন্তঃকোণ দুটাৰ সমষ্টিৰ সমান।
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 6.39 ত, ΔPQR ৰ ∠SPR = 135° আৰু ∠PQT = 110°। ∠PRQ নিৰ্ণয় কৰা।
PQR TS 110° 135°
• ∠QPR = 180° - 135° = 45° (ৰৈখিক যোৰ)
• ∠PQR = 180° - 110° = 70° (ৰৈখিক যোৰ)
ΔPQR ত: ∠PRQ = 180° - (45° + 70°) = 180° - 115° = 65°
∠PRQ = 65°
প্ৰশ্ন নং 2 :
চিত্ৰ 6.40 ত, ∠X = 62°, ∠XYZ = 54° আৰু YO, ZO সমদ্বিখণ্ডক হ'লে ∠OZY আৰু ∠YOZ উলিওৱা।
XYZ O 62° 54°
ΔXYZ ত: ∠XZY = 180° - (62° + 54°) = 180° - 116° = 64°
• ∠OZY = 64° / 2 = 32°
• ∠OYZ = 54° / 2 = 27°
ΔOYZ ত: ∠YOZ = 180° - (27° + 32°) = 180° - 59° = 121°
∠OZY = 32°, ∠YOZ = 121°
প্ৰশ্ন নং 3 :
চিত্ৰ 6.41 ত, AB ∥ DE, ∠BAC = 35° আৰু ∠CDE = 53°। ∠DCE উলিওৱা।
AB DE C 35° 53°
AB ∥ DE আৰু AE তিৰ্যক: ∠CED = ∠BAC = 35° (একান্তৰ কোণ)
ΔCDE ত: ∠DCE = 180° - (53° + 35°) = 180° - 88° = 92°
∠DCE = 92°
প্ৰশ্ন নং 4 :
চিত্ৰ 6.42 ত, ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° আৰু ∠TSQ = 75°। ∠SQT উলিওৱা।
RP TSQ 40° 95° 75°
ΔPRT ত: ∠PTR = 180° - (95° + 40°) = 45°
বিপ্ৰতীপ কোণ: ∠STQ = ∠PTR = 45°
ΔTSQ ত: ∠SQT = 180° - (75° + 45°) = 180° - 120° = 60°
∠SQT = 60°
প্ৰশ্ন নং 5 :
চিত্ৰ 6.43 ত, PQ ⊥ PS, PQ ∥ SR, ∠SQR = 28° আৰু ∠QRT = 65°। x আৰু y উলিওৱা।
PQ SRT x 28° y 65°
• PQ ∥ SR বাবে: ∠PQR = ∠QRT ⇒ x + 28° = 65° ⇒ x = 37°
• সমকোণী ΔPQS ত: 90° + x + y = 180° ⇒ 90° + 37° + y = 180°
⇒ y = 53°
x = 37°, y = 53°
প্ৰশ্ন নং 6 :
চিত্ৰ 6.44 ত, ΔPQR ৰ QR বাহুক বঢ়োৱা হ'ল আৰু ∠PQR আৰু ∠PRS ৰ সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় T ত মিলিত হ'ল। প্ৰমাণ কৰা যে ∠QTR = 1/2 ∠QPR।
PQR TS
• ΔTQR ত বহিঃকোণ: ∠TRS = ∠T + ∠TQR —— (1)
• ΔPQR ত বহিঃকোণ: ∠PRS = ∠P + ∠PQR
যিহেতু সমদ্বিখণ্ডক, সেয়ে 2∠TRS = ∠P + 2∠TQR
(1) ৰ পৰা মান বহালে: 2(∠T + ∠TQR) = ∠P + 2∠TQR
⇒ 2∠T + 2∠TQR = ∠P + 2∠TQR ⇒ 2∠T = ∠P
⇒ ∠QTR = 1/2 ∠QPR (প্ৰমাণিত)
Scroll to Top