অনুশীলনী : 6.1 (সদৃশ চিত্ৰৰ ধাৰণা)
প্ৰশ্ন নং 1 :
কাষৰ বন্ধনীত দিয়া শুদ্ধ শব্দৰ সহায়ত খালী ঠাই পূৰ কৰা:
(i) সকলোবোৰ বৃত্তই ______ (সৰ্বসম, সদৃশ)
(ii) সকলোবোৰ বৰ্গই ______ (সদৃশ, সৰ্বসম)
(iii) সকলো ______ ত্ৰিভুজ সদৃশ (সমদ্বিবাহু, সমবাহু)
(iv) সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ'ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক ______ আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহুবিলাক ______ (সমান, সমানুপাতিক)
(i) সকলোবোৰ বৃত্তই ______ (সৰ্বসম, সদৃশ)
(ii) সকলোবোৰ বৰ্গই ______ (সদৃশ, সৰ্বসম)
(iii) সকলো ______ ত্ৰিভুজ সদৃশ (সমদ্বিবাহু, সমবাহু)
(iv) সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ'ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক ______ আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহুবিলাক ______ (সমান, সমানুপাতিক)
(i) সকলোবোৰ বৃত্তই সদৃশ।
(ii) সকলোবোৰ বৰ্গই সদৃশ।
(iii) সকলো সমবাহু ত্ৰিভুজ সদৃশ।
(iv) (a) অনুৰূপ কোণবোৰ সমান আৰু (b) অনুৰূপ বাহুবোৰ সমানুপাতিক।
প্ৰশ্ন নং 2 :
তলত উল্লেখ কৰাবিলাকৰ দুটাকৈ ভিন্ন উদাহৰণ দিয়া: (i) এযোৰ সদৃশ চিত্ৰ, (ii) এযোৰ অসদৃশ চিত্ৰ।
(i) সদৃশ চিত্ৰৰ উদাহৰণ:
1. যিকোনো দুটা বৃত্ত। | 2. যিকোনো দুটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।
(ii) অসদৃশ চিত্ৰৰ উদাহৰণ:
1. এটা বৃত্ত আৰু এটা বৰ্গ। | 2. এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ আৰু এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
1. যিকোনো দুটা বৃত্ত। | 2. যিকোনো দুটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।
(ii) অসদৃশ চিত্ৰৰ উদাহৰণ:
1. এটা বৃত্ত আৰু এটা বৰ্গ। | 2. এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ আৰু এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
প্ৰশ্ন নং 3 :
তলত দিয়া চতুৰ্ভুজ দুটা সদৃশ হয়নে নহয় উল্লেখ কৰা (চিত্ৰ 6.8: এটা 1.5 cm বাহুৰ ৰম্বাছ আৰু আনটো 3 cm বাহুৰ বৰ্গ)।
বাহু দুটাৰ অনুপাত: 1.5/3 = 1/2 (সমানুপাতিক)।
কিন্তু ৰম্বাছৰ কোণবোৰ 90° নহয় আৰু বৰ্গৰ কোণবোৰ 90° (অনুৰূপ কোণবোৰ সমান নহয়)।
উত্তৰ: চতুৰ্ভুজ দুটা সদৃশ নহয়।
কিন্তু ৰম্বাছৰ কোণবোৰ 90° নহয় আৰু বৰ্গৰ কোণবোৰ 90° (অনুৰূপ কোণবোৰ সমান নহয়)।
উত্তৰ: চতুৰ্ভুজ দুটা সদৃশ নহয়।
অনুশীলনী : 6.2 (থেলেছৰ উপপাদ্য / BPT)
মৌলিক সমানুপাতিকতা উপপাদ্য (Thales Theorem):
ΔABC ত যদি DE ∥ BC হয়, তেন্তে AD / DB = AE / EC।
ΔABC ত যদি DE ∥ BC হয়, তেন্তে AD / DB = AE / EC।
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 6.17 ৰ (i) আৰু (ii) ত, DE ∥ BC। এতিয়া (i) ৰ পৰা EC আৰু (ii) ৰ পৰা AD উলিওৱা।
(i) EC নিৰ্ণয়:
AD/DB = AE/EC ⇒ 1.5 / 3 = 1 / EC
⇒ 1 / 2 = 1 / EC ⇒ EC = 2 cm
EC = 2 cm
AD/DB = AE/EC ⇒ 1.5 / 3 = 1 / EC
⇒ 1 / 2 = 1 / EC ⇒ EC = 2 cm
EC = 2 cm
(ii) AD নিৰ্ণয়:
AD/DB = AE/EC ⇒ AD / 7.2 = 1.8 / 5.4
⇒ AD / 7.2 = 1 / 3 ⇒ AD = 7.2 / 3 = 2.4 cm
AD = 2.4 cm
AD/DB = AE/EC ⇒ AD / 7.2 = 1.8 / 5.4
⇒ AD / 7.2 = 1 / 3 ⇒ AD = 7.2 / 3 = 2.4 cm
AD = 2.4 cm
প্ৰশ্ন নং 2 :
ΔPQR ৰ PQ আৰু PR বাহুৰ ওপৰত ক্ৰমে E আৰু F দুটা বিন্দু। তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে EF ∥ QR হয়নে উল্লেখ কৰা:
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm আৰু FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm আৰু RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm আৰু PF = 0.36 cm
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm আৰু FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm আৰু RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm আৰু PF = 0.36 cm
(i) PE/EQ = 3.9/3 = 1.3; PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5
যিহেতু PE/EQ ≠ PF/FR → EF ∥ QR নহয়
যিহেতু PE/EQ ≠ PF/FR → EF ∥ QR নহয়
(ii) PE/QE = 4/4.5 = 8/9; PF/RF = 8/9
যিহেতু PE/QE = PF/RF → EF ∥ QR হয়
যিহেতু PE/QE = PF/RF → EF ∥ QR হয়
(iii) PE/PQ = 0.18/1.28 = 9/64; PF/PR = 0.36/2.56 = 9/64 → EF ∥ QR হয়
প্ৰশ্ন নং 3 :
চিত্ৰ 6.18 ত, যদি LM ∥ CB আৰু LN ∥ CD, প্ৰমাণ কৰা যে AM/AB = AN/AD।
ΔABC ত, LM ∥ CB ⇒ AM/AB = AL/AC —— (1)
ΔADC ত, LN ∥ CD ⇒ AN/AD = AL/AC —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা: AM/AB = AN/AD (প্ৰমাণিত)
ΔADC ত, LN ∥ CD ⇒ AN/AD = AL/AC —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা: AM/AB = AN/AD (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 4 :
চিত্ৰ 6.19 ত, DE ∥ AC আৰু DF ∥ AE। প্ৰমাণ কৰা যে BF/FE = BE/EC।
ΔBAC ত, DE ∥ AC ⇒ BD/DA = BE/EC —— (1)
ΔBAE ত, DF ∥ AE ⇒ BD/DA = BF/FE —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা: BF/FE = BE/EC (প্ৰমাণিত)
ΔBAE ত, DF ∥ AE ⇒ BD/DA = BF/FE —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা: BF/FE = BE/EC (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
চিত্ৰ 6.20 ত, DE ∥ OQ আৰু DF ∥ OR। দেখুওৱা যে EF ∥ QR।
ΔPOQ ত: PE/EQ = PD/DO —— (1)
ΔPOR ত: PF/FR = PD/DO —— (2)
∴ PE/EQ = PF/FR ⇒ EF ∥ QR (প্ৰমাণিত)
ΔPOR ত: PF/FR = PD/DO —— (2)
∴ PE/EQ = PF/FR ⇒ EF ∥ QR (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
চিত্ৰ 6.21 ত, AB ∥ PQ আৰু AC ∥ PR। দেখুওৱা যে BC ∥ QR।
ΔOPQ ত: OA/AP = OB/BQ —— (1)
ΔOPR ত: OA/AP = OC/CR —— (2)
∴ OB/BQ = OC/CR ⇒ BC ∥ QR (প্ৰমাণিত)
ΔOPR ত: OA/AP = OC/CR —— (2)
∴ OB/BQ = OC/CR ⇒ BC ∥ QR (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8 :
মধ্যবিন্দু উপপাদ্য আৰু তাৰ বিপৰীতৰ প্ৰমাণ:
7. D, AB ৰ মধ্যবিন্দু (AD/DB = 1)। DE ∥ BC হ'লে BPT মতে AE/EC = AD/DB = 1 ⇒ AE = EC (E মধ্যবিন্দু)।
8. AD = DB আৰু AE = EC ⇒ AD/DB = 1 = AE/EC ⇒ BPT ৰ বিপৰীত উপপাদ্যমতে DE ∥ BC।
8. AD = DB আৰু AE = EC ⇒ AD/DB = 1 = AE/EC ⇒ BPT ৰ বিপৰীত উপপাদ্যমতে DE ∥ BC।
প্ৰশ্ন নং 9 আৰু 10 :
ট্ৰেপিজিয়ামৰ কৰ্ণদ্বয়ৰ সম্পৰ্ক:
9. ABCD ট্ৰেপিজিয়ামত AB ∥ DC। O ৰে OE ∥ AB আঁকি BPT প্ৰয়োগ কৰিলে: AO/BO = CO/DO প্ৰমাণিত হয়।
10. দিয়া আছে AO/BO = CO/DO ⇒ AO/CO = BO/DO। BPT ৰ বিপৰীত অনুসৰি AB ∥ DC, গতিকে ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম।
10. দিয়া আছে AO/BO = CO/DO ⇒ AO/CO = BO/DO। BPT ৰ বিপৰীত অনুসৰি AB ∥ DC, গতিকে ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম।
অনুশীলনী : 6.3 (ত্ৰিভুজৰ সাদৃশ্যৰ চৰ্ত)
প্ৰশ্ন নং 1 : সাদৃশ্য চৰ্ত নিৰ্ণয়:
(i) ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R → ΔABC ~ ΔPQR (AAA চৰ্ত)
(ii) AB/QR = BC/RP = CA/PQ = 1/2 → ΔABC ~ ΔQRP (SSS চৰ্ত)
(iii) LM/DE ≠ MP/EF → সদৃশ নহয়
(iv) MN/QP = ML/QR = 1/2 আৰু ∠M = ∠Q = 70° → ΔNML ~ ΔPQR (SAS চৰ্ত)
(v) কোণটো বাহু দুটাৰ অন্তৰ্গত নহয় → সদৃশ নহয়
(vi) ΔDEF ত ∠F = 30°; ΔPQR ত ∠P = 70° → ΔDEF ~ ΔPQR (AA চৰ্ত)
প্ৰশ্ন নং 2 :
চিত্ৰ 6.35 ত, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° আৰু ∠CDO = 70°। ∠DOC, ∠DCO আৰু ∠OAB নিৰ্ণয় কৰা।
• ΔDOC ত: ∠DCO = 180° - (70° + 55°) = 55°
• ΔODC ~ ΔOBA বাবে: ∠OAB = ∠OCD = 55°
∠DOC = 55°, ∠DCO = 55°, ∠OAB = 55°
প্ৰশ্ন নং 3 :
ট্ৰেপিজিয়ামৰ AB ∥ DC ৰ কৰ্ণৰ কটাকটি বিন্দুত সাদৃশ্যৰে প্ৰমাণ কৰা: OA/OC = OB/OD।
ΔOAB আৰু ΔOCD ত একান্তৰ কোণ সমান বাবে ΔOAB ~ ΔOCD (AA)।
অনুপাত সমানুপাতিক: OA/OC = OB/OD
অনুপাত সমানুপাতিক: OA/OC = OB/OD
প্ৰশ্ন নং 4 :
চিত্ৰ 6.36 ত, QR/QS = QT/PR আৰু ∠1 = ∠2। দেখুওৱা যে ΔPQS ~ ΔTQR।
∠1 = ∠2 ⇒ PR = PQ ⇒ QR/QS = QT/QP
আৰু ∠Q উমৈহতীয়া ⇒ ΔPQS ~ ΔTQR (SAS)
আৰু ∠Q উমৈহতীয়া ⇒ ΔPQS ~ ΔTQR (SAS)
প্ৰশ্ন নং 5 আৰু 6 :
5. ΔRPQ আৰু ΔRTS: ∠P = ∠RTS আৰু ∠R উমৈহতীয়া ⇒ ΔRPQ ~ ΔRTS (AA)।
6. ΔABE ≅ ΔACD: AB = AC আৰু AD = AE ⇒ AD/AB = AE/AC আৰু ∠A সাধাৰণ ⇒ ΔADE ~ ΔABC (SAS)।
6. ΔABE ≅ ΔACD: AB = AC আৰু AD = AE ⇒ AD/AB = AE/AC আৰু ∠A সাধাৰণ ⇒ ΔADE ~ ΔABC (SAS)।
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8 :
7. উন্নতি AD আৰু CE ৰ কটাকটি: প্ৰতিযোৰ ত্ৰিভুজত এটা কোণ 90° আৰু আন এটা কোণ উমৈহতীয়া বা বিপ্ৰতীপ ⇒ চাৰিওটা প্ৰমাণ AA চৰ্তমতে সিদ্ধ।
8. সামান্তৰিকৰ বাহু বৰ্ধিত কৰা: ∠A = ∠C আৰু ∠AEB = ∠CBF (একান্তৰ) ⇒ ΔABE ~ ΔCFB (AA)।
8. সামান্তৰিকৰ বাহু বৰ্ধিত কৰা: ∠A = ∠C আৰু ∠AEB = ∠CBF (একান্তৰ) ⇒ ΔABE ~ ΔCFB (AA)।
প্ৰশ্ন নং 9 :
সমকোণী ΔABC আৰু ΔAMP ত প্ৰমাণ: (i) ΔABC ~ ΔAMP, (ii) CA/PA = BC/MP।
∠B = ∠M = 90° আৰু ∠A উমৈহতীয়া ⇒ ΔABC ~ ΔAMP (AA)
সদৃশ ত্ৰিভুজৰ বাহু সমানুপাতিক ⇒ CA/PA = BC/MP
সদৃশ ত্ৰিভুজৰ বাহু সমানুপাতিক ⇒ CA/PA = BC/MP
প্ৰশ্ন নং 15 :
6 m ওখ উলম্ব খুঁটাৰ ছাঁ 4 m আৰু একে সময়তে এটা টাৱাৰৰ ছাঁ 28 m হ'লে টাৱাৰৰ উচ্চতা কিমান?
সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ একে বাবে ত্ৰিভুজ দুটা সদৃশ:
h / 6 = 28 / 4 ⇒ h = 6 × 7 = 42 m
টাৱাৰৰ উচ্চতা = 42 মিটাৰ
h / 6 = 28 / 4 ⇒ h = 6 × 7 = 42 m
টাৱাৰৰ উচ্চতা = 42 মিটাৰ
অনুশীলনী : 6.4 (সদৃশ ত্ৰিভুজৰ কালি)
উপপাদ্য 6.6: দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ কালিৰ অনুপাত সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহুবোৰৰ অনুপাতৰ বৰ্গৰ সমান।
ar(ABC) / ar(DEF) = (AB/DE)2 = (BC/EF)2 = (AC/DF)2
ar(ABC) / ar(DEF) = (AB/DE)2 = (BC/EF)2 = (AC/DF)2
প্ৰশ্ন নং 1 :
ΔABC ~ ΔDEF, কালি ক্ৰমে 64 cm2 আৰু 121 cm2। EF = 15.4 cm হ'লে BC কিমান?
ar(ABC)/ar(DEF) = (BC/EF)2 ⇒ 64/121 = (BC/15.4)2
8/11 = BC/15.4 ⇒ BC = (8 × 15.4)/11 = 8 × 1.4 = 11.2 cm
BC = 11.2 cm
8/11 = BC/15.4 ⇒ BC = (8 × 15.4)/11 = 8 × 1.4 = 11.2 cm
BC = 11.2 cm
প্ৰশ্ন নং 2 :
ট্ৰেপিজিয়াম ABCD ৰ AB ∥ DC আৰু AB = 2CD। AOB আৰু COD ত্ৰিভুজৰ কালিৰ অনুপাত কিমান?
ΔAOB ~ ΔCOD ⇒ ar(AOB)/ar(COD) = (AB/CD)2
= (2CD/CD)2 = 22/1 = 4 : 1
কালিৰ অনুপাত = 4 : 1
= (2CD/CD)2 = 22/1 = 4 : 1
কালিৰ অনুপাত = 4 : 1
প্ৰশ্ন নং 3 :
একে ভূমি BC ৰ ওপৰত ABC আৰু DBC দুটা ত্ৰিভুজ। AD য়ে BC ক O বিন্দুত কাটিলে দেখুওৱা যে ar(ABC)/ar(DBC) = AO/DO।
AM ⊥ BC আৰু DN ⊥ BC অংকন কৰা হ'ল।
ΔAMO আৰু ΔDNO ত ∠M = ∠N = 90°, ∠AOM = ∠DON (বিপ্ৰতীপ) ⇒ ΔAMO ~ ΔDNO (AA)
⇒ AM/DN = AO/DO
ar(ABC)/ar(DBC) = [1/2 × BC × AM] / [1/2 × BC × DN] = AM/DN = AO/DO (প্ৰমাণিত)।
ΔAMO আৰু ΔDNO ত ∠M = ∠N = 90°, ∠AOM = ∠DON (বিপ্ৰতীপ) ⇒ ΔAMO ~ ΔDNO (AA)
⇒ AM/DN = AO/DO
ar(ABC)/ar(DBC) = [1/2 × BC × AM] / [1/2 × BC × DN] = AM/DN = AO/DO (প্ৰমাণিত)।
প্ৰশ্ন নং 4 আৰু 5 :
4. কালি সমান হ'লে: ar(ABC)/ar(DEF) = 1 ⇒ বাহুবোৰ সমান ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF (সৰ্বসম)।
5. D, E, F বাহুবোৰৰ মধ্যবিন্দু হ'লে: ar(DEF)/ar(ABC) = (1/2)2 = 1 : 4।
5. D, E, F বাহুবোৰৰ মধ্যবিন্দু হ'লে: ar(DEF)/ar(ABC) = (1/2)2 = 1 : 4।
প্ৰশ্ন নং 8 আৰু 9 (MCQ) :
8. সমবাহু ΔABC আৰু ΔBDE, D মধ্যবিন্দু: কালিৰ অনুপাত = (2/1)2 = (C) 4 : 1
9. অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাত 4 : 9: কালিৰ অনুপাত = 42 : 92 = (D) 16 : 81
9. অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাত 4 : 9: কালিৰ অনুপাত = 42 : 92 = (D) 16 : 81
অনুশীলনী : 6.5 (পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য)
পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য: সমকোণী ত্ৰিভুজত, (অতিভুজ)2 = (ভূমি)2 + (উন্নতি)2
প্ৰশ্ন নং 1 : সমকোণী ত্ৰিভুজ চিনাক্তকৰণ আৰু অতিভুজৰ দৈৰ্ঘ্য:
(i) 7, 24, 25: 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252 → হয়, অতিভুজ = 25 cm
(ii) 3, 8, 6: 32 + 62 = 45 ≠ 64 → সমকোণী নহয়
(iii) 50, 80, 100: 502 + 802 = 8900 ≠ 10000 → সমকোণী নহয়
(iv) 13, 12, 5: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 → হয়, অতিভুজ = 13 cm
প্ৰশ্ন নং 4 আৰু 5 : সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ:
4. AC = BC, ∠C = 90° ⇒ AB2 = AC2 + BC2 = AC2 + AC2 = 2AC2 (প্ৰমাণিত)।
5. AC = BC আৰু AB2 = 2AC2 = AC2 + BC2 ⇒ পাইথাগোৰাছৰ বিপৰীতমতে ΔABC এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ।
5. AC = BC আৰু AB2 = 2AC2 = AC2 + BC2 ⇒ পাইথাগোৰাছৰ বিপৰীতমতে ΔABC এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ।
প্ৰশ্ন নং 6 আৰু 7 :
6. 2a বাহুৰ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ উন্নতি: h = √[(2a)2 - a2] = √(3a2) = a√3
7. ৰম্বাছৰ বাহু আৰু কৰ্ণ: ৰম্বাছৰ বাহু চাৰিটাৰ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ কৰ্ণ দুডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান: 4a2 = d12 + d22।
7. ৰম্বাছৰ বাহু আৰু কৰ্ণ: ৰম্বাছৰ বাহু চাৰিটাৰ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ কৰ্ণ দুডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান: 4a2 = d12 + d22।
প্ৰশ্ন নং 9 আৰু 10 :
9. 10 m জখলা, 8 m ওখ খিৰিকী:
দূৰত্ব = √(102 - 82) = √(100 - 64) = √36 = 6 m
10. 24 m তাঁৰ, 18 m ওখ খুঁটা:
দূৰত্ব = √(242 - 182) = √(576 - 324) = √252 = 6√7 m
দূৰত্ব = √(102 - 82) = √(100 - 64) = √36 = 6 m
10. 24 m তাঁৰ, 18 m ওখ খুঁটা:
দূৰত্ব = √(242 - 182) = √(576 - 324) = √252 = 6√7 m
প্ৰশ্ন নং 11 আৰু 12 :
11. উৰাজাহাজ দুখনৰ দূৰত্ব (উত্তৰলৈ 1500 km, পশ্চিমলৈ 1800 km):
দূৰত্ব = √(15002 + 18002) = 300√61 km
12. 6 m আৰু 11 m স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ দূৰত্ব (ব্যৱধান 12 m):
দূৰত্ব = √[122 + (11 - 6)2] = √(144 + 25) = √169 = 13 m
দূৰত্ব = √(15002 + 18002) = 300√61 km
12. 6 m আৰু 11 m স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ দূৰত্ব (ব্যৱধান 12 m):
দূৰত্ব = √[122 + (11 - 6)2] = √(144 + 25) = √169 = 13 m
প্ৰশ্ন নং 17 (MCQ) :
ΔABC ত AB = 6√3 cm, AC = 12 cm আৰু BC = 6 cm হ'লে B কোণ কিমান?
AB2 + BC2 = (6√3)2 + 62 = 108 + 36 = 144 = 122 = AC2
পাইথাগোৰাছৰ বিপৰীত উপপাদ্যমতে ∠B = 90°।
শুদ্ধ উত্তৰ: (C) 90°
পাইথাগোৰাছৰ বিপৰীত উপপাদ্যমতে ∠B = 90°।
শুদ্ধ উত্তৰ: (C) 90°
অনুশীলনী : 6.6 (ঐচ্ছিক / Optional)
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিত্ৰ 6.56 ত, ∠QPR ৰ সমদ্বিখণ্ডক PS। প্ৰমাণ কৰা যে QS/SR = PQ/PR।
কোণ সমদ্বিখণ্ডক উপপাদ্য: RT ∥ PS অংকন কৰি প্ৰমাণ কৰা হয় যে QS/SR = PQ/PR।
প্ৰশ্ন নং 6 :
প্ৰমাণ কৰা যে সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডালৰ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ বাহুকেইডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
ABCD সামান্তৰিকত: AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 (প্ৰমাণিত)।
প্ৰশ্ন নং 10 :
নাজমাৰ বৰশীৰ চিপৰ আগ পানীৰ পৰা 1.8 m ওপৰত আৰু পুঙাটো পানীৰ তলৰ বিন্দুৰ পৰা 2.4 m আঁতৰত আছে। 12 ছেকেণ্ডত 5 cm/s হাৰত সূতা টানিলে পুঙাটোৰ অনুভূমিক দূৰত্ব তাইৰ পৰা কিমান হ'ব? (চিত্ৰ 6.64)
• প্ৰাৰম্ভিক সূতাৰ দৈৰ্ঘ্য = √(1.82 + 2.42) = √(3.24 + 5.76) = √9 = 3 m
• 12 ছেকেণ্ডত টানি অনা সূতা = 12 × 5 cm = 60 cm = 0.6 m
• এতিয়া সূতাৰ দৈৰ্ঘ্য = 3 - 0.6 = 2.4 m
• নতুন অনুভূমিক দূৰত্ব (চিপৰ পৰা) = √(2.42 - 1.82) = √(5.76 - 3.24) = √2.52 ≈ 1.59 m
• নাজমাৰ পৰা মুঠ অনুভূমিক দূৰত্ব = 1.59 + 1.2 = 2.79 m
উত্তৰ: সূতা ওলাই থকা দৈৰ্ঘ্য = 3 m; 12 ছেকেণ্ড পিছত মুঠ দূৰত্ব ≈ 2.79 m
• 12 ছেকেণ্ডত টানি অনা সূতা = 12 × 5 cm = 60 cm = 0.6 m
• এতিয়া সূতাৰ দৈৰ্ঘ্য = 3 - 0.6 = 2.4 m
• নতুন অনুভূমিক দূৰত্ব (চিপৰ পৰা) = √(2.42 - 1.82) = √(5.76 - 3.24) = √2.52 ≈ 1.59 m
• নাজমাৰ পৰা মুঠ অনুভূমিক দূৰত্ব = 1.59 + 1.2 = 2.79 m
উত্তৰ: সূতা ওলাই থকা দৈৰ্ঘ্য = 3 m; 12 ছেকেণ্ড পিছত মুঠ দূৰত্ব ≈ 2.79 m