অনুশীলনী : 7.1 (দূৰত্ব সূত্ৰ / Distance Formula)
মূল সূত্ৰ:
• দুটা বিন্দু P(x1, y1) আৰু Q(x2, y2) ৰ মাজৰ দূৰত্ব: d = √[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]
• মূলবিন্দু (0, 0) ৰ পৰা P(x, y) ৰ দূৰত্ব = √(x2 + y2)
• দুটা বিন্দু P(x1, y1) আৰু Q(x2, y2) ৰ মাজৰ দূৰত্ব: d = √[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]
• মূলবিন্দু (0, 0) ৰ পৰা P(x, y) ৰ দূৰত্ব = √(x2 + y2)
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ প্ৰতিযোৰ বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা:
(i) (2, 3), (4, 1) | (ii) (-5, 7), (-1, 3) | (iii) (a, b), (-a, -b)
(i) (2, 3), (4, 1) | (ii) (-5, 7), (-1, 3) | (iii) (a, b), (-a, -b)
(i) (2, 3) আৰু (4, 1):
d = √[(4 - 2)2 + (1 - 3)2] = √[22 + (-2)2] = √(4 + 4) = 2√2 একক
d = √[(4 - 2)2 + (1 - 3)2] = √[22 + (-2)2] = √(4 + 4) = 2√2 একক
(ii) (-5, 7) আৰু (-1, 3):
d = √[(-1 - (-5))2 + (3 - 7)2] = √[42 + (-4)2] = √(16 + 16) = 4√2 একক
d = √[(-1 - (-5))2 + (3 - 7)2] = √[42 + (-4)2] = √(16 + 16) = 4√2 একক
(iii) (a, b) আৰু (-a, -b):
d = √[(-a - a)2 + (-b - b)2] = √[(-2a)2 + (-2b)2] = √(4a2 + 4b2) = 2√(a2 + b2) একক
d = √[(-a - a)2 + (-b - b)2] = √[(-2a)2 + (-2b)2] = √(4a2 + 4b2) = 2√(a2 + b2) একক
প্ৰশ্ন নং 2 :
(0, 0) আৰু (36, 15) ৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা। অনুচ্ছেদ 7.2 ত আলোচনা কৰা A আৰু B নগৰ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
d = √[(36 - 0)2 + (15 - 0)2] = √(1296 + 225) = √1521 = 39 km
উত্তৰ: A আৰু B নগৰ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব = 39 কি.মি.
প্ৰশ্ন নং 3 :
(1, 5), (2, 3) আৰু (-2, -11) বিন্দুকেইটা একৰেখীয় হয়নে নিৰ্ণয় কৰা।
AB = √5, BC = √212 = 2√53, AC = √265
যিহেতু AB + BC ≠ AC,
গতিকে বিন্দু তিনিটা একৰেখীয় নহয়।
যিহেতু AB + BC ≠ AC,
গতিকে বিন্দু তিনিটা একৰেখীয় নহয়।
প্ৰশ্ন নং 4 :
(5, -2), (6, 4) আৰু (7, -2) এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
AB = √(1 + 36) = √37
BC = √(1 + 36) = √37
CA = √(4 + 0) = 2
যিহেতু AB = BC = √37,
উত্তৰ: হয়, ই এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
BC = √(1 + 36) = √37
CA = √(4 + 0) = 2
যিহেতু AB = BC = √37,
উত্তৰ: হয়, ই এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
প্ৰশ্ন নং 5 :
চাৰিজন বন্ধু A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4), D(6, 1) স্থানত বহিছে (চিত্ৰ 7.8)। চম্পাই কয় ABCD এটা বৰ্গ, কিন্তু চামেলিয়ে অসন্মতি জনায়। কোন শুদ্ধ?
• কৰ্ণ দুডাল: AC = 6, BD = 6
যিহেতু চাৰিওটা বাহু আৰু দুয়োটা কৰ্ণ সমান, গতিকে ABCD এটা বৰ্গ।
উত্তৰ: চম্পাৰ যুক্তি শুদ্ধ।
প্ৰশ্ন নং 6 : চতুৰ্ভুজৰ স্বৰূপ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0) → বাহুবোৰ 2√2, কৰ্ণদ্বয় 4 → ই এটা বৰ্গ (Square)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4) → AC + BC = AB (একৰেখীয়) → কোনো চতুৰ্ভুজ নহয়
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) → বিপৰীত বাহু সমান কিন্তু কৰ্ণদ্বয় অসমান → ই এটা সামান্তৰিক (Parallelogram)
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8 :
7. (2, -5) আৰু (-2, 9) ৰ পৰা সমদূৰত্বৰ X-অক্ষৰ বিন্দু:
(x - 2)2 + 25 = (x + 2)2 + 81 ⇒ -8x = 56 ⇒ x = -7
বিন্দুটো: (-7, 0)
8. P(2, -3) আৰু Q(10, y) ৰ দূৰত্ব 10 হ'লে:
(10 - 2)2 + (y + 3)2 = 100 ⇒ (y + 3)2 = 36
y = 3 বা -9
(x - 2)2 + 25 = (x + 2)2 + 81 ⇒ -8x = 56 ⇒ x = -7
বিন্দুটো: (-7, 0)
8. P(2, -3) আৰু Q(10, y) ৰ দূৰত্ব 10 হ'লে:
(10 - 2)2 + (y + 3)2 = 100 ⇒ (y + 3)2 = 36
y = 3 বা -9
প্ৰশ্ন নং 9 আৰু 10 :
9. Q(0, 1) বিন্দুটো P(5, -3) আৰু R(x, 6) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী:
x2 + 25 = 25 + 16 ⇒ x = ±4
QR = √41; PR = √82 (যদি x = 4) বা 9√2 (যদি x = -4)
10. (x, y) বিন্দুটো (3, 6) আৰু (-3, 4) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হ'লে সম্পৰ্ক:
(x - 3)2 + (y - 6)2 = (x + 3)2 + (y - 4)2
3x + y - 5 = 0
x2 + 25 = 25 + 16 ⇒ x = ±4
QR = √41; PR = √82 (যদি x = 4) বা 9√2 (যদি x = -4)
10. (x, y) বিন্দুটো (3, 6) আৰু (-3, 4) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হ'লে সম্পৰ্ক:
(x - 3)2 + (y - 6)2 = (x + 3)2 + (y - 4)2
3x + y - 5 = 0
অনুশীলনী : 7.2 (বিভাজন সূত্ৰ / Section Formula)
বিভাজন সূত্ৰ: P(x, y) = [(m1x2 + m2x1)/(m1 + m2), (m1y2 + m2y1)/(m1 + m2)]
• মধ্যবিন্দুৰ স্থানাংক = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]
• মধ্যবিন্দুৰ স্থানাংক = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]
প্ৰশ্ন নং 1 :
(-1, 7) আৰু (4, -3) ৰ সংযোগী ৰেখাক 2 : 3 অনুপাতত ভগোৱা বিন্দুটোৰ স্থানাংক কি?
x = [2(4) + 3(-1)] / 5 = 5/5 = 1
y = [2(-3) + 3(7)] / 5 = 15/5 = 3
নিৰ্ণেয় বিন্দুটো: (1, 3)
y = [2(-3) + 3(7)] / 5 = 15/5 = 3
নিৰ্ণেয় বিন্দুটো: (1, 3)
প্ৰশ্ন নং 2 :
(4, -1) আৰু (-2, -3) ক সমত্ৰিখণ্ডিত কৰা বিন্দু দুটাৰ স্থানাংক উলিওৱা।
• 1 : 2 অনুপাতত: P = [(1(-2)+2(4))/3, (1(-3)+2(-1))/3] = (2, -5/3)
• 2 : 1 অনুপাতত: Q = [(2(-2)+1(4))/3, (2(-3)+1(-1))/3] = (0, -7/3)
বিন্দু দুটা: (2, -5/3) আৰু (0, -7/3)
• 2 : 1 অনুপাতত: Q = [(2(-2)+1(4))/3, (2(-3)+1(-1))/3] = (0, -7/3)
বিন্দু দুটা: (2, -5/3) আৰু (0, -7/3)
প্ৰশ্ন নং 3 :
খেলপথাৰত নীহাৰিকাই 2য় লাইনত AD ৰ 1/4 অংশ (100 টা টাব) আৰু পদ্মই 8ম লাইনত AD ৰ 1/5 অংশ দৌৰি পতাকা পুতিলে। পতাকা দুখনৰ দূৰত্ব আৰু সিহঁতৰ মধ্যস্থানত ৰশ্মিয়ে পোতা নীলা পতাকাৰ অৱস্থান নিৰ্ণয় কৰা। (চিত্ৰ 7.12)
নীহাৰিকাৰ স্থান = (2, 25), পদ্মৰ স্থান = (8, 20)
• দূৰত্ব = √[(8 - 2)2 + (20 - 25)2] = √(36 + 25) = √61 m
• মধ্যবিন্দু = [(2 + 8)/2, (25 + 20)/2] = (5, 22.5)
পতাকা দুখনৰ দূৰত্ব = √61 m; নীলা পতাকাৰ স্থান = 5ম শাৰীত 22.5 m উচ্চতাত
• দূৰত্ব = √[(8 - 2)2 + (20 - 25)2] = √(36 + 25) = √61 m
• মধ্যবিন্দু = [(2 + 8)/2, (25 + 20)/2] = (5, 22.5)
পতাকা দুখনৰ দূৰত্ব = √61 m; নীলা পতাকাৰ স্থান = 5ম শাৰীত 22.5 m উচ্চতাত
প্ৰশ্ন নং 4 আৰু 5 :
4. (-1, 6) য়ে (-3, 10) আৰু (6, -8) ক ভগোৱা অনুপাত:
-1 = (6k - 3)/(k + 1) ⇒ 7k = 2 ⇒ অনুপাত = 2 : 7
5. A(1, -5) আৰু B(-4, 5) ক X-অক্ষই ভগোৱা অনুপাত আৰু ছেদবিন্দু:
y = 0 ⇒ 0 = (5k - 5)/(k + 1) ⇒ k = 1
অনুপাত = 1 : 1, ছেদবিন্দু = (-3/2, 0)
-1 = (6k - 3)/(k + 1) ⇒ 7k = 2 ⇒ অনুপাত = 2 : 7
5. A(1, -5) আৰু B(-4, 5) ক X-অক্ষই ভগোৱা অনুপাত আৰু ছেদবিন্দু:
y = 0 ⇒ 0 = (5k - 5)/(k + 1) ⇒ k = 1
অনুপাত = 1 : 1, ছেদবিন্দু = (-3/2, 0)
প্ৰশ্ন নং 6 আৰু 7 :
6. সামান্তৰিকৰ শীৰ্ষবিন্দু (1, 2), (4, y), (x, 6), (3, 5):
(1 + x)/2 = (4 + 3)/2 ⇒ x = 6
(2 + 6)/2 = (y + 5)/2 ⇒ y = 3
7. ব্যাস AB, কেন্দ্ৰ (2, -3) আৰু B(1, 4) হ'লে A ৰ স্থানাংক:
(x + 1)/2 = 2 ⇒ x = 3; (y + 4)/2 = -3 ⇒ y = -10
A ৰ স্থানাংক = (3, -10)
(1 + x)/2 = (4 + 3)/2 ⇒ x = 6
(2 + 6)/2 = (y + 5)/2 ⇒ y = 3
7. ব্যাস AB, কেন্দ্ৰ (2, -3) আৰু B(1, 4) হ'লে A ৰ স্থানাংক:
(x + 1)/2 = 2 ⇒ x = 3; (y + 4)/2 = -3 ⇒ y = -10
A ৰ স্থানাংক = (3, -10)
প্ৰশ্ন নং 8 :
A(-2, -2), B(2, -4) আৰু AP = 3/7 AB হ'লে P ৰ স্থানাংক কি?
AP : PB = 3 : 4
x = [3(2) + 4(-2)] / 7 = -2/7
y = [3(-4) + 4(-2)] / 7 = -20/7
P ৰ স্থানাংক = (-2/7, -20/7)
x = [3(2) + 4(-2)] / 7 = -2/7
y = [3(-4) + 4(-2)] / 7 = -20/7
P ৰ স্থানাংক = (-2/7, -20/7)
প্ৰশ্ন নং 9 আৰু 10 :
9. A(-2, 2) আৰু B(2, 8) ক চাৰিভাগ কৰা বিন্দু তিনিটা:
P2 = (0, 5), P1 = (-1, 7/2), P3 = (1, 13/2)
10. ৰম্বাছ (3, 0), (4, 5), (-1, 4), (-2, -1) ৰ কালি:
কৰ্ণদ্বয় d1 = 4√2, d2 = 6√2
কালি = 1/2 × 4√2 × 6√2 = 24 বৰ্গ একক
P2 = (0, 5), P1 = (-1, 7/2), P3 = (1, 13/2)
10. ৰম্বাছ (3, 0), (4, 5), (-1, 4), (-2, -1) ৰ কালি:
কৰ্ণদ্বয় d1 = 4√2, d2 = 6√2
কালি = 1/2 × 4√2 × 6√2 = 24 বৰ্গ একক
অনুশীলনী : 7.3 (ত্ৰিভুজৰ কালি / Area of Triangle)
ত্ৰিভুজৰ কালি: 1/2 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) |
প্ৰশ্ন নং 1 : ত্ৰিভুজৰ কালি নিৰ্ণয়:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4):
1/2 | 2(4) + (-1)(-7) + 2(3) | = 21/2 = 10.5 বৰ্গ একক
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2):
1/2 | -5(-7) + 3(3) + 5(4) | = 64/2 = 32 বৰ্গ একক
1/2 | 2(4) + (-1)(-7) + 2(3) | = 21/2 = 10.5 বৰ্গ একক
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2):
1/2 | -5(-7) + 3(3) + 5(4) | = 64/2 = 32 বৰ্গ একক
প্ৰশ্ন নং 2 : একৰেখীয় হ'লে k উলিওৱা (কালি = 0):
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k):
7(1 - k) + 5(k + 2) + 3(-3) = 0 ⇒ -2k + 8 = 0 ⇒ k = 4
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5):
8(1) + k(-6) + 2(5) = 0 ⇒ 6k = 18 ⇒ k = 3
7(1 - k) + 5(k + 2) + 3(-3) = 0 ⇒ -2k + 8 = 0 ⇒ k = 4
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5):
8(1) + k(-6) + 2(5) = 0 ⇒ 6k = 18 ⇒ k = 3
প্ৰশ্ন নং 3 :
(0, -1), (2, 1) আৰু (0, 3) ৰ মধ্যবিন্দুৰ ত্ৰিভুজৰ কালি আৰু মূল ত্ৰিভুজৰ কালিৰ অনুপাত উলিওৱা।
মূল ত্ৰিভুজৰ কালি = 4 বৰ্গ একক
মধ্যবিন্দুসমূহ (1, 0), (1, 2), (0, 1) ৰ কালি = 1 বৰ্গ একক
অনুপাত = 1 : 4
মধ্যবিন্দুসমূহ (1, 0), (1, 2), (0, 1) ৰ কালি = 1 বৰ্গ একক
অনুপাত = 1 : 4
প্ৰশ্ন নং 4 :
চতুৰ্ভুজ (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) আৰু (2, 3) ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
কৰ্ণৰে বিভক্ত দুটা ত্ৰিভুজৰ কালি:
ΔABC = 21/2 বৰ্গ একক, ΔACD = 35/2 বৰ্গ একক
মুঠ কালি = 21/2 + 35/2 = 28 বৰ্গ একক
ΔABC = 21/2 বৰ্গ একক, ΔACD = 35/2 বৰ্গ একক
মুঠ কালি = 21/2 + 35/2 = 28 বৰ্গ একক
প্ৰশ্ন নং 5 :
A(4, -6), B(3, -2) আৰু C(5, 2) ত্ৰিভুজৰ মধ্যমাই ইয়াক সমান কালিৰ দুটা ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে বুলি সত্যাপন কৰা।
BC ৰ মধ্যবিন্দু D(4, 0)।
• ΔABD ৰ কালি = 1/2 | 4(-2) + 3(6) + 4(-4) | = 1/2 |-6| = 3 বৰ্গ একক
• ΔACD ৰ কালি = 1/2 | 4(2) + 5(6) + 4(-8) | = 1/2 |6| = 3 বৰ্গ একক
যিহেতু দুয়োটা ত্ৰিভুজৰ কালি 3 বৰ্গ একক (সমান), সেয়েহে মধ্যমাই সমান দুভাগ কৰে (সত্যাাপিত)।
• ΔABD ৰ কালি = 1/2 | 4(-2) + 3(6) + 4(-4) | = 1/2 |-6| = 3 বৰ্গ একক
• ΔACD ৰ কালি = 1/2 | 4(2) + 5(6) + 4(-8) | = 1/2 |6| = 3 বৰ্গ একক
যিহেতু দুয়োটা ত্ৰিভুজৰ কালি 3 বৰ্গ একক (সমান), সেয়েহে মধ্যমাই সমান দুভাগ কৰে (সত্যাাপিত)।
অনুশীলনী : 7.4 (ঐচ্ছিক / Optional)
প্ৰশ্ন নং 1 আৰু 2 :
1. 2x + y - 4 = 0 য়ে A(2, -2) আৰু B(3, 7) ক ভগোৱা অনুপাত:
2(3k + 2) + (7k - 2) - 4(k + 1) = 0 ⇒ 9k = 2 ⇒ অনুপাত = 2 : 9
2. (x, y), (1, 2), (7, 0) একৰেখীয় হ'লে সম্পৰ্ক:
x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2) = 0 ⇒ x + 3y - 7 = 0
2(3k + 2) + (7k - 2) - 4(k + 1) = 0 ⇒ 9k = 2 ⇒ অনুপাত = 2 : 9
2. (x, y), (1, 2), (7, 0) একৰেখীয় হ'লে সম্পৰ্ক:
x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2) = 0 ⇒ x + 3y - 7 = 0
প্ৰশ্ন নং 3 আৰু 4 :
3. (6, -6), (3, -7), (3, 3) বিন্দুৰে যোৱা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ:
OA2 = OB2 = OC2 সমাধান কৰিলে পোৱা যায়: কেন্দ্ৰ = (3, -2)
4. বৰ্গৰ বিপৰীত শীৰ্ষ (-1, 2) আৰু (3, 2) হ'লে আন দুটা শীৰ্ষবিন্দু:
কৰ্ণৰ কেন্দ্ৰ (1, 2) ৰ পৰা উলম্ব দূৰত্ব 2 লৈ: (1, 0) আৰু (1, 4)
OA2 = OB2 = OC2 সমাধান কৰিলে পোৱা যায়: কেন্দ্ৰ = (3, -2)
4. বৰ্গৰ বিপৰীত শীৰ্ষ (-1, 2) আৰু (3, 2) হ'লে আন দুটা শীৰ্ষবিন্দু:
কৰ্ণৰ কেন্দ্ৰ (1, 2) ৰ পৰা উলম্ব দূৰত্ব 2 লৈ: (1, 0) আৰু (1, 4)
প্ৰশ্ন নং 5 :
কৃষ্ণনগৰৰ বিদ্যালয়ৰ আয়তাকাৰ মাটিত ত্ৰিভুজাকাৰ ঘাঁহনি PQR আছে (চিত্ৰ 7.14):
(i) A ক মূলবিন্দু ধৰি শীৰ্ষবিন্দুৰ স্থানাংক আৰু কালি উলিওৱা। (ii) C ক মূলবিন্দু ধৰিলে স্থানাংক আৰু কালি কি হ'ব? কি লক্ষ্য কৰিলা?
(i) A ক মূলবিন্দু ধৰি শীৰ্ষবিন্দুৰ স্থানাংক আৰু কালি উলিওৱা। (ii) C ক মূলবিন্দু ধৰিলে স্থানাংক আৰু কালি কি হ'ব? কি লক্ষ্য কৰিলা?
(i) A ক মূলবিন্দু ধৰিলে: P(4, 6), Q(3, 2), R(6, 5) ⇒ কালি = 4.5 বৰ্গ একক
(ii) C ক মূলবিন্দু ধৰিলে: P(12, 2), Q(13, 6), R(10, 3) ⇒ কালি = 4.5 বৰ্গ একক
সিদ্ধান্ত: মূলবিন্দু সলনি হ'লেও জ্যামিতিক ক্ষেত্ৰখনৰ কালি একে থাকে।
(ii) C ক মূলবিন্দু ধৰিলে: P(12, 2), Q(13, 6), R(10, 3) ⇒ কালি = 4.5 বৰ্গ একক
সিদ্ধান্ত: মূলবিন্দু সলনি হ'লেও জ্যামিতিক ক্ষেত্ৰখনৰ কালি একে থাকে।
প্ৰশ্ন নং 6 :
ΔABC ৰ A(4, 6), B(1, 5), C(7, 2)। AD/AB = AE/AC = 1/4 হ'লে ΔADE ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰি ΔABC ৰ সৈতে তুলনা কৰা।
ar(ADE) / ar(ABC) = (1/4)2 = 1/16
ar(ABC) = 15/2 ⇒ ar(ADE) = 15/32 বৰ্গ একক
অনুপাত = 1 : 16
ar(ABC) = 15/2 ⇒ ar(ADE) = 15/32 বৰ্গ একক
অনুপাত = 1 : 16
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8 :
7. ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা আৰু ভাৰকেন্দ্ৰ:
মধ্যবিন্দু D = (7/2, 9/2)। ভাৰকেন্দ্ৰ P = Q = R = (11/3, 11/3)। সাধাৰণ স্থানাংক = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
8. আয়তৰ মধ্যবিন্দু P, Q, R, S ৰে গঠিত চতুৰ্ভুজ:
চাৰিওটা বাহু সমান (√61/2) কিন্তু কৰ্ণদ্বয় অসমান (6 আৰু 5)।
PQRS এটা ৰম্বাছ (Rhombus)।
মধ্যবিন্দু D = (7/2, 9/2)। ভাৰকেন্দ্ৰ P = Q = R = (11/3, 11/3)। সাধাৰণ স্থানাংক = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
8. আয়তৰ মধ্যবিন্দু P, Q, R, S ৰে গঠিত চতুৰ্ভুজ:
চাৰিওটা বাহু সমান (√61/2) কিন্তু কৰ্ণদ্বয় অসমান (6 আৰু 5)।
PQRS এটা ৰম্বাছ (Rhombus)।