অনুশীলনী : 4.1 (দ্বিঘাত সমীকৰণ চিনাক্তকৰণ আৰু গঠন)
দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আদৰ্শ আৰ্হি: ax2 + bx + c = 0, য'ত a ≠ 0 আৰু a, b, c বাস্তৱ সংখ্যা।
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ সমীকৰণবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা:
(i) (x + 1)2 = 2(x - 3) ⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6 ⇒ x2 + 7 = 0 → হয়
(ii) x2 - 2x = (-2)(3 - x) ⇒ x2 - 2x = -6 + 2x ⇒ x2 - 4x + 6 = 0 → হয়
(iii) (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) ⇒ x2 - x - 2 = x2 + 2x - 3 ⇒ 3x - 1 = 0 → নহয়
(iv) (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) ⇒ 2x2 - 5x - 3 = x2 + 5x ⇒ x2 - 10x - 3 = 0 → হয়
(v) (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) ⇒ 2x2 - 7x + 3 = x2 + 4x - 5 ⇒ x2 - 11x + 8 = 0 → হয়
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 ⇒ x2 + 3x + 1 = x2 - 4x + 4 ⇒ 7x - 3 = 0 → নহয়
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1) ⇒ x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 - 2x ⇒ -x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0 → নহয়
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3 ⇒ 2x2 - 13x + 9 = 0 → হয়
প্ৰশ্ন নং 2 : তলৰ পৰিস্থিতিবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আকাৰত প্ৰকাশ কৰা:
(i) এটুকুৰা আয়তাকাৰ মাটিৰ কালি 528 m2। মাটিডৰাৰ দীঘ ইয়াৰ প্ৰস্থৰ দুগুণতকৈ 1 মিটাৰ বেছি:
ধৰা হ'ল প্ৰস্থ = x মিটাৰ, গতিকে দীঘ = (2x + 1) মিটাৰ।
কালি = দীঘ × প্ৰস্থ ⇒ x(2x + 1) = 528 ⇒ 2x2 + x - 528 = 0
নিৰ্ণেয় সমীকৰণ: 2x2 + x - 528 = 0
ধৰা হ'ল প্ৰস্থ = x মিটাৰ, গতিকে দীঘ = (2x + 1) মিটাৰ।
নিৰ্ণেয় সমীকৰণ: 2x2 + x - 528 = 0
(ii) দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ গুণফল 306:
ধৰা সংখ্যা দুটা x আৰু x + 1।
x(x + 1) = 306 ⇒ x2 + x - 306 = 0
ধৰা সংখ্যা দুটা x আৰু x + 1।
x(x + 1) = 306 ⇒ x2 + x - 306 = 0
(iii) ৰোহনৰ মাকৰ বয়স তেওঁতকৈ 26 বছৰ বেছি। 3 বছৰ পিছত বয়সৰ গুণফল 360:
ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স = x। (x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 32x + 87 = 360 ⇒ x2 + 32x - 273 = 0
ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স = x। (x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 32x + 87 = 360 ⇒ x2 + 32x - 273 = 0
(iv) এখন ৰে'লগাড়ীয়ে 480 km দূৰত্ব সমদ্ৰুতিৰে ভ্ৰমণ কৰে। দ্ৰুতি 8 km/h কম হ'লে 3 ঘণ্টা বেছি সময় লয়:
ধৰা দ্ৰুতি = x km/h। সময়ৰ পাৰ্থক্য:
480/(x - 8) - 480/x = 3 ⇒ 480(8) = 3x(x - 8) ⇒ 3840 = 3x2 - 24x
⇒ x2 - 8x - 1280 = 0
ধৰা দ্ৰুতি = x km/h। সময়ৰ পাৰ্থক্য:
480/(x - 8) - 480/x = 3 ⇒ 480(8) = 3x(x - 8) ⇒ 3840 = 3x2 - 24x
⇒ x2 - 8x - 1280 = 0
অনুশীলনী : 4.2 (উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে সমাধান)
প্ৰশ্ন নং 1 : উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে মূল নিৰ্ণয় কৰা:
(i) x2 - 3x - 10 = 0:
x2 - 5x + 2x - 10 = 0 ⇒ (x - 5)(x + 2) = 0
মূল দুটা: x = 5 আৰু x = -2
x2 - 5x + 2x - 10 = 0 ⇒ (x - 5)(x + 2) = 0
মূল দুটা: x = 5 আৰু x = -2
(ii) 2x2 + x - 6 = 0:
2x2 + 4x - 3x - 6 = 0 ⇒ (2x - 3)(x + 2) = 0
মূল দুটা: x = 3/2 আৰু x = -2
2x2 + 4x - 3x - 6 = 0 ⇒ (2x - 3)(x + 2) = 0
মূল দুটা: x = 3/2 আৰু x = -2
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0:
√2x2 + 2x + 5x + 5√2 = 0 ⇒ (√2x + 5)(x + √2) = 0
মূল দুটা: x = -5/√2 আৰু x = -√2
√2x2 + 2x + 5x + 5√2 = 0 ⇒ (√2x + 5)(x + √2) = 0
মূল দুটা: x = -5/√2 আৰু x = -√2
(iv) 2x2 - x + 1/8 = 0:
16x2 - 8x + 1 = 0 ⇒ (4x - 1)2 = 0
মূল দুটা: x = 1/4 আৰু x = 1/4
16x2 - 8x + 1 = 0 ⇒ (4x - 1)2 = 0
মূল দুটা: x = 1/4 আৰু x = 1/4
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0:
(10x - 1)2 = 0 ⇒ 10x - 1 = 0 ⇒ মূল দুটা: x = 1/10 আৰু x = 1/10
(10x - 1)2 = 0 ⇒ 10x - 1 = 0 ⇒ মূল দুটা: x = 1/10 আৰু x = 1/10
প্ৰশ্ন নং 2 : উদাহৰণ 1 ৰ সমস্যা সমাধান:
(i) জন আৰু জয়ন্তীৰ মাৰ্বল: x2 - 45x + 324 = 0 ⇒ (x - 36)(x - 9) = 0 → 36 টা আৰু 9 টা
(ii) পুতলা নিৰ্মাণ: x2 - 55x + 750 = 0 ⇒ (x - 30)(x - 25) = 0 → 30 টা বা 25 টা
(ii) পুতলা নিৰ্মাণ: x2 - 55x + 750 = 0 ⇒ (x - 30)(x - 25) = 0 → 30 টা বা 25 টা
প্ৰশ্ন নং 3 :
দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182।
ধৰা এটা x, আনটো 27 - x।
x(27 - x) = 182 ⇒ x2 - 27x + 182 = 0
(x - 14)(x - 13) = 0
সংখ্যা দুটা: 14 আৰু 13
x(27 - x) = 182 ⇒ x2 - 27x + 182 = 0
(x - 14)(x - 13) = 0
সংখ্যা দুটা: 14 আৰু 13
প্ৰশ্ন নং 4 :
দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 365।
x2 + (x + 1)2 = 365 ⇒ 2x2 + 2x - 364 = 0
x2 + x - 182 = 0 ⇒ (x + 14)(x - 13) = 0 ⇒ x = 13
সংখ্যা দুটা: 13 আৰু 14
x2 + x - 182 = 0 ⇒ (x + 14)(x - 13) = 0 ⇒ x = 13
সংখ্যা দুটা: 13 আৰু 14
প্ৰশ্ন নং 5 :
সমকোণী ত্ৰিভুজৰ উন্নতি ভূমিতকৈ 7 cm কম। অতিভুজ 13 cm হ'লে আন বাহু দুটা উলিওৱা।
ভূমি = x cm, উন্নতি = (x - 7) cm
x2 + (x - 7)2 = 132 ⇒ x2 - 7x - 60 = 0 ⇒ (x - 12)(x + 5) = 0 ⇒ x = 12
ভূমি = 12 cm, উন্নতি = 5 cm
ভূমি = 12 cm, উন্নতি = 5 cm
প্ৰশ্ন নং 6 :
এটা কুটিৰ উদ্যোগে নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক বাচন তৈয়াৰ কৰে। প্ৰতিটো বাচনৰ খৰচ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ 3 বেছি। মুঠ খৰচ 90 টকা হ'লে বাচনৰ সংখ্যা আৰু খৰচ উলিওৱা।
বাচনৰ সংখ্যা = x, প্ৰতিটোৰ খৰচ = 2x + 3
x(2x + 3) = 90 ⇒ 2x2 + 3x - 90 = 0 ⇒ (2x + 15)(x - 6) = 0 ⇒ x = 6
প্ৰতিটোৰ খৰচ = 2(6) + 3 = 15 টকা
বাচনৰ সংখ্যা = 6 টা, প্ৰতিটোৰ মূল্য = 15 টকা
x(2x + 3) = 90 ⇒ 2x2 + 3x - 90 = 0 ⇒ (2x + 15)(x - 6) = 0 ⇒ x = 6
প্ৰতিটোৰ খৰচ = 2(6) + 3 = 15 টকা
বাচনৰ সংখ্যা = 6 টা, প্ৰতিটোৰ মূল্য = 15 টকা
অনুশীলনী : 4.3 (দ্বিঘাত সূত্ৰ আৰু বাস্তৱ সমস্যা)
দ্বিঘাত সূত্ৰ (Quadratic Formula):
ax2 + bx + c = 0 ৰ বাবে, x = [-b ± √(b2 - 4ac)] / 2a, য'ত ভেদাংক D = b2 - 4ac ≥ 0
ax2 + bx + c = 0 ৰ বাবে, x = [-b ± √(b2 - 4ac)] / 2a, য'ত ভেদাংক D = b2 - 4ac ≥ 0
প্ৰশ্ন নং 1 আৰু 2 : দ্বিঘাত সূত্ৰ আৰু বৰ্গ সম্পূৰণ পদ্ধতিৰে মূল নিৰ্ণয়:
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0:
D = (-7)2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25
x = (7 ± 5) / 4 ⇒ x = 3 আৰু x = 1/2
D = (-7)2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25
x = (7 ± 5) / 4 ⇒ x = 3 আৰু x = 1/2
(ii) 2x2 + x - 4 = 0:
D = 12 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33
x = (-1 ± √33) / 4
D = 12 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33
x = (-1 ± √33) / 4
(iii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0:
D = (4√3)2 - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0
x = -4√3 / 8 ⇒ x = -√3/2, -√3/2
D = (4√3)2 - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0
x = -4√3 / 8 ⇒ x = -√3/2, -√3/2
(iv) 2x2 + x + 4 = 0:
D = 12 - 4(2)(4) = 1 - 32 = -31 < 0
বাস্তৱ মূল নাই
D = 12 - 4(2)(4) = 1 - 32 = -31 < 0
বাস্তৱ মূল নাই
প্ৰশ্ন নং 3 : সমীকৰণবোৰৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা:
(i) x - 1/x = 3: x2 - 3x - 1 = 0 ⇒ x = (3 ± √13) / 2
(ii) 1/(x + 4) - 1/(x - 7) = 11/30:
-11 / (x2 - 3x - 28) = 11/30 ⇒ x2 - 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1, 2
(ii) 1/(x + 4) - 1/(x - 7) = 11/30:
-11 / (x2 - 3x - 28) = 11/30 ⇒ x2 - 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1, 2
প্ৰশ্ন নং 4 :
ৰেহমানৰ 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছৰ বয়সৰ প্ৰতিক্ৰমৰ যোগফল 1/3 হ'লে বৰ্তমান বয়স কিমান?
1/(x - 3) + 1/(x + 5) = 1/3 ⇒ 3(2x + 2) = x2 + 2x - 15
x2 - 4x - 21 = 0 ⇒ (x - 7)(x + 3) = 0 ⇒ x = 7
ৰেহমানৰ বৰ্তমান বয়স = 7 বছৰ
x2 - 4x - 21 = 0 ⇒ (x - 7)(x + 3) = 0 ⇒ x = 7
ৰেহমানৰ বৰ্তমান বয়স = 7 বছৰ
প্ৰশ্ন নং 5 :
শেফালীৰ গণিত আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰৰ সমষ্টি 30। গণিতত 2 বেছি আৰু ইংৰাজীত 3 কম পালে গুণফল 210 হ'লহেঁতেন। নম্বৰ দুটা উলিওৱা।
গণিত = x, ইংৰাজী = 30 - x
(x + 2)(27 - x) = 210 ⇒ x2 - 25x + 156 = 0
(x - 12)(x - 13) = 0
গণিত = 12, ইংৰাজী = 18 (বা গণিত = 13, ইংৰাজী = 17)
(x + 2)(27 - x) = 210 ⇒ x2 - 25x + 156 = 0
(x - 12)(x - 13) = 0
গণিত = 12, ইংৰাজী = 18 (বা গণিত = 13, ইংৰাজী = 17)
প্ৰশ্ন নং 6 :
আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণ চুটি বাহুতকৈ 60 m বেছি আৰু দীঘল বাহু 30 m বেছি। বাহু দুটাৰ জোখ উলিওৱা।
চুটি বাহু = x, দীঘল = x + 30, কৰ্ণ = x + 60
(x + 60)2 = x2 + (x + 30)2 ⇒ x2 - 60x - 2700 = 0 ⇒ x = 90 m
চুটি বাহু = 90 m, দীঘল বাহু = 120 m
চুটি বাহু = 90 m, দীঘল বাহু = 120 m
প্ৰশ্ন নং 7 :
দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180। সৰুটোৰ বৰ্গ ডাঙৰটোৰ 8 গুণ। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
x2 - 8x = 180 ⇒ x2 - 8x - 180 = 0 ⇒ (x - 18)(x + 10) = 0
x = 18 ⇒ y2 = 8(18) = 144 ⇒ y = ±12
সংখ্যা দুটা: 18 আৰু 12 (বা 18 আৰু -12)
x = 18 ⇒ y2 = 8(18) = 144 ⇒ y = ±12
সংখ্যা দুটা: 18 আৰু 12 (বা 18 আৰু -12)
প্ৰশ্ন নং 8 :
ৰে'লগাড়ীয়ে 360 km সুষম দ্ৰুতিৰে যায়। দ্ৰুতি 5 km/h বৃদ্ধি কৰিলে 1 ঘণ্টা কম সময় লাগে। দ্ৰুতি কিমান?
360/x - 360/(x + 5) = 1 ⇒ x2 + 5x - 1800 = 0
(x + 45)(x - 40) = 0 ⇒ x = 40 km/h
ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = 40 km/h
(x + 45)(x - 40) = 0 ⇒ x = 40 km/h
ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = 40 km/h
প্ৰশ্ন নং 9 :
দুটা পানীৰ টেপে একেলগে চৌবাচ্চা এটা 9 ⅜ ঘণ্টাত পূৰ্ণ কৰে। ডাঙৰটোৱে 10 ঘণ্টা কম সময় লয়। প্ৰতিটোৰ সময় উলিওৱা।
1/x + 1/(x + 10) = 8/75 ⇒ 4x2 - 35x - 375 = 0
(4x + 25)(x - 15) = 0 ⇒ x = 15 ঘণ্টা
ডাঙৰ টেপ = 15 ঘণ্টা, সৰু টেপ = 25 ঘণ্টা
(4x + 25)(x - 15) = 0 ⇒ x = 15 ঘণ্টা
ডাঙৰ টেপ = 15 ঘণ্টা, সৰু টেপ = 25 ঘণ্টা
প্ৰশ্ন নং 10 :
132 km ভ্ৰমণত এক্সপ্ৰেছ ৰে'লৰ দ্ৰুতি পেচেঞ্জাৰতকৈ 11 km/h বেছি আৰু 1 ঘণ্টা কম সময় লয়। গড় দ্ৰুতি উলিওৱা।
132/x - 132/(x + 11) = 1 ⇒ x2 + 11x - 1452 = 0
(x + 44)(x - 33) = 0 ⇒ x = 33 km/h
পেচেঞ্জাৰ = 33 km/h, এক্সপ্ৰেছ = 44 km/h
(x + 44)(x - 33) = 0 ⇒ x = 33 km/h
পেচেঞ্জাৰ = 33 km/h, এক্সপ্ৰেছ = 44 km/h
প্ৰশ্ন নং 11 :
দুটা বৰ্গৰ কালিৰ যোগফল 468 m2। পৰিসীমাৰ পাৰ্থক্য 24 m হ'লে বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ জোখ উলিওৱা।
বাহু দুটা x আৰু y। 4x - 4y = 24 ⇒ x - y = 6 ⇒ x = y + 6
(y + 6)2 + y2 = 468 ⇒ 2y2 + 12y - 432 = 0 ⇒ y2 + 6y - 216 = 0
(y + 18)(y - 12) = 0 ⇒ y = 12 m, x = 18 m
বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য = 18 মিটাৰ আৰু 12 মিটাৰ
(y + 6)2 + y2 = 468 ⇒ 2y2 + 12y - 432 = 0 ⇒ y2 + 6y - 216 = 0
(y + 18)(y - 12) = 0 ⇒ y = 12 m, x = 18 m
বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য = 18 মিটাৰ আৰু 12 মিটাৰ
অনুশীলনী : 4.4 (মূলৰ প্ৰকৃতি আৰু সম্ভাৱ্যতা)
মূলৰ প্ৰকৃতি (Nature of Roots):
• D = b2 - 4ac > 0 → দুটা সুকীয়া বাস্তৱ মূল
• D = b2 - 4ac = 0 → দুটা সমান বাস্তৱ মূল (x = -b/2a)
• D = b2 - 4ac < 0 → কোনো বাস্তৱ মূল নাই
• D = b2 - 4ac > 0 → দুটা সুকীয়া বাস্তৱ মূল
• D = b2 - 4ac = 0 → দুটা সমান বাস্তৱ মূল (x = -b/2a)
• D = b2 - 4ac < 0 → কোনো বাস্তৱ মূল নাই
প্ৰশ্ন নং 1 : মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা আৰু বাস্তৱ মূল থাকিলে উলিওৱা:
(i) 2x2 - 3x + 5 = 0:
D = (-3)2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 < 0
কোনো বাস্তৱ মূল নাই
D = (-3)2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 < 0
কোনো বাস্তৱ মূল নাই
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0:
D = (-4√3)2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0
সমান বাস্তৱ মূল: 2/√3 আৰু 2/√3
D = (-4√3)2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0
সমান বাস্তৱ মূল: 2/√3 আৰু 2/√3
(iii) 2x2 - 6x + 3 = 0:
D = (-6)2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12 > 0
সুকীয়া বাস্তৱ মূল: (3 ± √3) / 2
D = (-6)2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12 > 0
সুকীয়া বাস্তৱ মূল: (3 ± √3) / 2
প্ৰশ্ন নং 2 : সমীকৰণ দুটাৰ দুটা সমান মূল থাকিলে k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 2x2 + kx + 3 = 0:
D = 0 ⇒ k2 - 4(2)(3) = 0 ⇒ k2 = 24
k = ±2√6
D = 0 ⇒ k2 - 4(2)(3) = 0 ⇒ k2 = 24
k = ±2√6
(ii) kx(x - 2) + 6 = 0 ⇒ kx2 - 2kx + 6 = 0:
D = 0 ⇒ (-2k)2 - 4(k)(6) = 0 ⇒ 4k2 - 24k = 0
4k(k - 6) = 0 (যিহেতু k ≠ 0)
k = 6
D = 0 ⇒ (-2k)2 - 4(k)(6) = 0 ⇒ 4k2 - 24k = 0
4k(k - 6) = 0 (যিহেতু k ≠ 0)
k = 6
প্ৰশ্ন নং 3 :
দীঘ প্ৰস্থৰ দুগুণ আৰু কালি 800 m2 হোৱাকৈ এখন আমবাগান তৈয়াৰ কৰা সম্ভৱনে?
প্ৰস্থ = x, দীঘ = 2x। x(2x) = 800 ⇒ 2x2 = 800 ⇒ x2 = 400 ⇒ x = 20 m
হয় সম্ভৱ; প্ৰস্থ = 20 m, দীঘ = 40 m
হয় সম্ভৱ; প্ৰস্থ = 20 m, দীঘ = 40 m
প্ৰশ্ন নং 4 :
দুই বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ। 4 বছৰ আগতে বয়সৰ গুণফল 48 আছিল। এইটো সম্ভৱনে?
(x - 4)(16 - x) = 48 ⇒ x2 - 20x + 112 = 0
D = (-20)2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48 < 0
অসম্ভৱ (কোনো বাস্তৱ সমাধান নাই)
D = (-20)2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48 < 0
অসম্ভৱ (কোনো বাস্তৱ সমাধান নাই)
প্ৰশ্ন নং 5 :
পৰিসীমা 80 m আৰু কালি 400 m2 যুক্ত এখন আয়তাকাৰ পাৰ্ক তৈয়াৰ কৰা সম্ভৱনে?
2(l + b) = 80 ⇒ l + b = 40 ⇒ b = 40 - l
l(40 - l) = 400 ⇒ l2 - 40l + 400 = 0 ⇒ (l - 20)2 = 0 ⇒ l = 20 m, b = 20 m
হয় সম্ভৱ; ই 20 m বাহুৰ এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ (দীঘ = 20 m, প্ৰস্থ = 20 m)।
l(40 - l) = 400 ⇒ l2 - 40l + 400 = 0 ⇒ (l - 20)2 = 0 ⇒ l = 20 m, b = 20 m
হয় সম্ভৱ; ই 20 m বাহুৰ এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ (দীঘ = 20 m, প্ৰস্থ = 20 m)।