অনুশীলনী : 14.1 (মাধ্য নিৰ্ণয় / Mean)
মাধ্য নিৰ্ণয়ৰ তিনিটা পদ্ধতি:
1. প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি: x̄ = Σfixi / Σfi
2. বিবেচিত গড় পদ্ধতি: x̄ = a + (Σfidi / Σfi), য'ত di = xi - a
3. ঢাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি: x̄ = a + [(Σfiui / Σfi) × h], য'ত ui = (xi - a)/h
1. প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি: x̄ = Σfixi / Σfi
2. বিবেচিত গড় পদ্ধতি: x̄ = a + (Σfidi / Σfi), য'ত di = xi - a
3. ঢাপ বিচ্যুতি পদ্ধতি: x̄ = a + [(Σfiui / Σfi) × h], য'ত ui = (xi - a)/h
প্ৰশ্ন নং 1 :
এটা অঞ্চলৰ 20 টা ঘৰত থকা উদ্ভিদৰ সংখ্যা সংগ্ৰহ কৰা হ'ল। প্ৰতিটো ঘৰত থকা উদ্ভিদৰ মাধ্য উলিওৱা। কোনটো পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিবা আৰু কিয়?
| উদ্ভিদৰ সংখ্যা | ঘৰৰ সংখ্যা (fi) | শ্ৰেণীসূচক (xi) | fixi |
|---|---|---|---|
| 0 - 2 | 1 | 1 | 1 |
| 2 - 4 | 2 | 3 | 6 |
| 4 - 6 | 1 | 5 | 5 |
| 6 - 8 | 5 | 7 | 35 |
| 8 - 10 | 6 | 9 | 54 |
| 10 - 12 | 2 | 11 | 22 |
| 12 - 14 | 3 | 13 | 39 |
| মুঠ | Σfi = 20 | - | Σfixi = 162 |
উত্তৰ: মাধ্য = 8.1 জোপা উদ্ভিদ। (fi আৰু xi ৰ মান সৰু হোৱা বাবে প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হ'ল)
প্ৰশ্ন নং 2 :
এটা ফেক্টৰীৰ 50 জন শ্ৰমিকৰ দৈনিক পাৰিশ্ৰমিকৰ মাধ্য উপযুক্ত পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰা।
ধৰা হ'ল a = 150 আৰু শ্ৰেণীদৈৰ্ঘ্য h = 20।
Σfi = 50, Σfiui = -12
x̄ = a + [(Σfiui / Σfi) × h] = 150 + [(-12 / 50) × 20] = 150 - 4.8 = 145.20 টকা
উত্তৰ: শ্ৰমিকসকলৰ দৈনিক মাধ্য পাৰিশ্ৰমিক = 145.20 টকা
Σfi = 50, Σfiui = -12
x̄ = a + [(Σfiui / Σfi) × h] = 150 + [(-12 / 50) × 20] = 150 - 4.8 = 145.20 টকা
উত্তৰ: শ্ৰমিকসকলৰ দৈনিক মাধ্য পাৰিশ্ৰমিক = 145.20 টকা
প্ৰশ্ন নং 3 :
শিশুসকলৰ দৈনিক হাতখৰচৰ মাধ্য 18 টকা হ'লে হেৰোৱা বাৰংবাৰতা f নিৰ্ণয় কৰা।
বিবেচিত গড় a = 18 লৈ: Σfi = 44 + f আৰু Σfidi = 2f - 40
x̄ = a + (Σfidi / Σfi) ⇒ 18 = 18 + [(2f - 40) / (44 + f)]
⇒ 0 = (2f - 40) / (44 + f) ⇒ 2f - 40 = 0 ⇒ f = 20
উত্তৰ: হেৰোৱা বাৰংবাৰতা f = 20
x̄ = a + (Σfidi / Σfi) ⇒ 18 = 18 + [(2f - 40) / (44 + f)]
⇒ 0 = (2f - 40) / (44 + f) ⇒ 2f - 40 = 0 ⇒ f = 20
উত্তৰ: হেৰোৱা বাৰংবাৰতা f = 20
প্ৰশ্ন নং 4 :
30 গৰাকী মহিলাৰ প্ৰতি মিনিটত হৃৎপিণ্ডৰ কম্পনৰ মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
a = 75.5, h = 3, Σfi = 30, Σfiui = 4
x̄ = 75.5 + [(4 / 30) × 3] = 75.5 + 0.4 = 75.9
প্ৰতি মিনিটৰ মাধ্য কম্পন = 75.9 বাৰ
x̄ = 75.5 + [(4 / 30) × 3] = 75.5 + 0.4 = 75.9
প্ৰতি মিনিটৰ মাধ্য কম্পন = 75.9 বাৰ
প্ৰশ্ন নং 5 :
এটা বন্ধ বাকচত থকা আমৰ মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণী: 49.5-52.5, 52.5-55.5...
a = 57, h = 3, Σfi = 400, Σfiui = 25
x̄ = 57 + [(25 / 400) × 3] = 57 + 0.19 = 57.19
আমৰ মাধ্য সংখ্যা = 57.19 টা
a = 57, h = 3, Σfi = 400, Σfiui = 25
x̄ = 57 + [(25 / 400) × 3] = 57 + 0.19 = 57.19
আমৰ মাধ্য সংখ্যা = 57.19 টা
প্ৰশ্ন নং 6 :
25 ঘৰ মানুহৰ খাদ্যত দৈনিক খৰচৰ মাধ্য উপযুক্ত নিয়মেৰে নিৰ্ণয় কৰা।
a = 225, h = 50, Σfi = 25, Σfiui = -7
x̄ = 225 + [(-7 / 25) × 50] = 225 - 14 = 211 টকা
দৈনিক মাধ্য খৰচ = 211 টকা
x̄ = 225 + [(-7 / 25) × 50] = 225 - 14 = 211 টকা
দৈনিক মাধ্য খৰচ = 211 টকা
প্ৰশ্ন নং 7 :
বায়ুত SO2 ৰ গাঢ়তাৰ (ppm ত) মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
Σfi = 30, Σfixi = 2.96
x̄ = 2.96 / 30 ≈ 0.099 ppm
SO2 ৰ মাধ্য গাঢ়তা = 0.099 ppm
x̄ = 2.96 / 30 ≈ 0.099 ppm
SO2 ৰ মাধ্য গাঢ়তা = 0.099 ppm
প্ৰশ্ন নং 8 :
40 জন ছাত্ৰৰ অনুপস্থিতিৰ মাধ্য দিন নিৰ্ণয় কৰা (অসমান শ্ৰেণীদৈৰ্ঘ্য)।
Σfi = 40, Σfixi = 499
x̄ = 499 / 40 = 12.48 দিন
অনুপস্থিতিৰ মাধ্য দিন = 12.48 দিন
x̄ = 499 / 40 = 12.48 দিন
অনুপস্থিতিৰ মাধ্য দিন = 12.48 দিন
প্ৰশ্ন নং 9 :
35 খন চহৰৰ সাক্ষৰতাৰ হাৰৰ (%) মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
a = 70, h = 10, Σfi = 35, Σfiui = -2
x̄ = 70 + [(-2 / 35) × 10] = 70 - 0.57 = 69.43%
মাধ্য সাক্ষৰতাৰ হাৰ = 69.43%
x̄ = 70 + [(-2 / 35) × 10] = 70 - 0.57 = 69.43%
মাধ্য সাক্ষৰতাৰ হাৰ = 69.43%
অনুশীলনী : 14.2 (বহুলক নিৰ্ণয় / Mode)
বহুলকৰ সূত্ৰ: বহুলক = l + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h
য'ত l = বহুলক শ্ৰেণীৰ নিম্নসীমা, f1 = বহুলক শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, f0 = পূৰ্ববৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, f2 = পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, h = শ্ৰেণীদৈৰ্ঘ্য
য'ত l = বহুলক শ্ৰেণীৰ নিম্নসীমা, f1 = বহুলক শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, f0 = পূৰ্ববৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, f2 = পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, h = শ্ৰেণীদৈৰ্ঘ্য
প্ৰশ্ন নং 1 :
চিকিৎসালয়ত ভৰ্তি হোৱা ৰোগীৰ বয়সৰ বহুলক আৰু মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
বহুলক শ্ৰেণী: 35-45 (সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা 23)
l = 35, f1 = 23, f0 = 21, f2 = 14, h = 10
বহুলক = 35 + [(23 - 21) / (46 - 21 - 14)] × 10 = 35 + 1.82 = 36.82 বছৰ
মাধ্য x̄ = 35.37 বছৰ
বহুলক = 36.82 বছৰ, মাধ্য = 35.37 বছৰ
l = 35, f1 = 23, f0 = 21, f2 = 14, h = 10
বহুলক = 35 + [(23 - 21) / (46 - 21 - 14)] × 10 = 35 + 1.82 = 36.82 বছৰ
মাধ্য x̄ = 35.37 বছৰ
বহুলক = 36.82 বছৰ, মাধ্য = 35.37 বছৰ
প্ৰশ্ন নং 2 :
225 টা বৈদ্যুতিক উপাদানৰ বহুলক আয়ুস নিৰ্ণয় কৰা।
বহুলক শ্ৰেণী: 60-80 (বাৰংবাৰতা 61)
l = 60, f1 = 61, f0 = 52, f2 = 38, h = 20
বহুলক = 60 + [(61 - 52) / (122 - 52 - 38)] × 20 = 60 + 5.625 = 65.625 ঘণ্টা
বহুলক আয়ুস = 65.625 ঘণ্টা
l = 60, f1 = 61, f0 = 52, f2 = 38, h = 20
বহুলক = 60 + [(61 - 52) / (122 - 52 - 38)] × 20 = 60 + 5.625 = 65.625 ঘণ্টা
বহুলক আয়ুস = 65.625 ঘণ্টা
প্ৰশ্ন নং 3 :
200 টা পৰিয়ালৰ মাহেকীয়া ঘৰুৱা খৰচৰ বহুলক আৰু মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
বহুলক শ্ৰেণী: 1500-2000 (বাৰংবাৰতা 40)
বহুলক = 1500 + [(40 - 24) / (80 - 24 - 33)] × 500 = 1847.83 টকা
মাধ্য = 2662.50 টকা
বহুলক = 1847.83 টকা, মাধ্য = 2662.50 টকা
বহুলক = 1500 + [(40 - 24) / (80 - 24 - 33)] × 500 = 1847.83 টকা
মাধ্য = 2662.50 টকা
বহুলক = 1847.83 টকা, মাধ্য = 2662.50 টকা
প্ৰশ্ন নং 4 :
শিক্ষক-ছাত্ৰৰ অনুপাতৰ বহুলক আৰু মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
বহুলক শ্ৰেণী: 30-35 (বাৰংবাৰতা 10)
বহুলক = 30 + [(10 - 9) / (20 - 9 - 3)] × 5 = 30 + 0.625 = 30.6
মাধ্য = 29.2
বহুলক = 30.6, মাধ্য = 29.2
বহুলক = 30 + [(10 - 9) / (20 - 9 - 3)] × 5 = 30 + 0.625 = 30.6
মাধ্য = 29.2
বহুলক = 30.6, মাধ্য = 29.2
প্ৰশ্ন নং 5 :
শীৰ্ষ ক্ৰিকেটাৰসকলে এদিনীয়া খেলত কৰা ৰানৰ বহুলক উলিওৱা।
বহুলক শ্ৰেণী: 4000-5000 (বাৰংবাৰতা 18)
বহুলক = 4000 + [(18 - 4) / (36 - 4 - 9)] × 1000 = 4000 + 608.7 = 4608.7 ৰান
ৰানৰ বহুলক = 4608.7 ৰান
বহুলক = 4000 + [(18 - 4) / (36 - 4 - 9)] × 1000 = 4000 + 608.7 = 4608.7 ৰান
ৰানৰ বহুলক = 4608.7 ৰান
প্ৰশ্ন নং 6 :
ৰাস্তাৰে পাৰ হোৱা গাড়ীৰ সংখ্যাৰ বহুলক নিৰ্ণয় কৰা।
বহুলক শ্ৰেণী: 40-50 (বাৰংবাৰতা 20)
বহুলক = 40 + [(20 - 12) / (40 - 12 - 11)] × 10 = 40 + 4.7 = 44.7 খন গাড়ী
গাড়ীৰ বহুলক = 44.7 খন
বহুলক = 40 + [(20 - 12) / (40 - 12 - 11)] × 10 = 40 + 4.7 = 44.7 খন গাড়ী
গাড়ীৰ বহুলক = 44.7 খন
অনুশীলনী : 14.3 (মধ্যমা নিৰ্ণয় / Median)
মধ্যমাৰ সূত্ৰ: মধ্যমা = l + [(n/2 - cf) / f] × h
• তিনিটা কেন্দ্ৰীয় মাপৰ সম্বন্ধ: 3 মধ্যমা = বহুলক + 2 মাধ্য
• তিনিটা কেন্দ্ৰীয় মাপৰ সম্বন্ধ: 3 মধ্যমা = বহুলক + 2 মাধ্য
প্ৰশ্ন নং 1 :
68 জন গ্ৰাহকৰ মাহেকীয়া বিদ্যুৎ খৰচৰ মধ্যমা, মাধ্য আৰু বহুলক নিৰ্ণয় কৰা।
n = 68 ⇒ n/2 = 34। মধ্যমা শ্ৰেণী: 125-145
মধ্যমা = 125 + [(34 - 22) / 20] × 20 = 137 ইউনিট
মাধ্য = 137.05 ইউনিট, বহুলক = 135.76 ইউনিট
মধ্যমা = 137, মাধ্য = 137.05, বহুলক = 135.76
মধ্যমা = 125 + [(34 - 22) / 20] × 20 = 137 ইউনিট
মাধ্য = 137.05 ইউনিট, বহুলক = 135.76 ইউনিট
মধ্যমা = 137, মাধ্য = 137.05, বহুলক = 135.76
প্ৰশ্ন নং 2 :
মুঠ বাৰংবাৰতা 60 আৰু মধ্যমা 28.5 হ'লে x আৰু y ৰ মান উলিওৱা।
x + y = 60 - 45 = 15
মধ্যমা 28.5 শ্ৰেণী 20-30 ত পৰে:
28.5 = 20 + [(30 - (5 + x)) / 20] × 10 ⇒ 8.5 = (25 - x)/2 ⇒ x = 8
y = 15 - 8 = 7
x = 8 আৰু y = 7
মধ্যমা 28.5 শ্ৰেণী 20-30 ত পৰে:
28.5 = 20 + [(30 - (5 + x)) / 20] × 10 ⇒ 8.5 = (25 - x)/2 ⇒ x = 8
y = 15 - 8 = 7
x = 8 আৰু y = 7
প্ৰশ্ন নং 3 :
100 জন পলিছি গ্ৰাহকৰ বয়সৰ তথ্যৰ পৰা মধ্যমা বয়স উলিওৱা।
n = 100 ⇒ n/2 = 50। মধ্যমা শ্ৰেণী: 35-40 (cf = 45, f = 33)
মধ্যমা = 35 + [(50 - 45) / 33] × 5 = 35 + 0.76 = 35.76 বছৰ
মধ্যমা বয়স = 35.76 বছৰ
মধ্যমা = 35 + [(50 - 45) / 33] × 5 = 35 + 0.76 = 35.76 বছৰ
মধ্যমা বয়স = 35.76 বছৰ
প্ৰশ্ন নং 4 :
40 টা পাতৰ দৈৰ্ঘ্যৰ মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰা (অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণীত পৰিৱৰ্তন কৰি)।
অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণী: 117.5-126.5, 126.5-135.5...
n = 40 ⇒ n/2 = 20। মধ্যমা শ্ৰেণী: 144.5-153.5
মধ্যমা = 144.5 + [(20 - 17) / 12] × 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75 mm
পাতৰ মধ্যমা দৈৰ্ঘ্য = 146.75 mm
n = 40 ⇒ n/2 = 20। মধ্যমা শ্ৰেণী: 144.5-153.5
মধ্যমা = 144.5 + [(20 - 17) / 12] × 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75 mm
পাতৰ মধ্যমা দৈৰ্ঘ্য = 146.75 mm
প্ৰশ্ন নং 5, 6 আৰু 7 :
5. 400 টা নিয়ন লেম্পৰ মধ্যমা আয়ুস:
n/2 = 200, মধ্যমা শ্ৰেণী: 3000-3500
মধ্যমা = 3000 + [(200 - 130)/86] × 500 = 3406.98 ঘণ্টা
n/2 = 200, মধ্যমা শ্ৰেণী: 3000-3500
মধ্যমা = 3000 + [(200 - 130)/86] × 500 = 3406.98 ঘণ্টা
6. টেলিফোন উপাধিৰ তিনিটা মাপ:
মধ্যমা = 8.05, মাধ্য = 8.32, বহুলক = 7.88
মধ্যমা = 8.05, মাধ্য = 8.32, বহুলক = 7.88
7. 30 জন ছাত্ৰৰ মধ্যমা ওজন:
n/2 = 15, মধ্যমা শ্ৰেণী: 55-60 ⇒ মধ্যমা = 55 + [(15 - 13)/6] × 5 = 56.67 kg
n/2 = 15, মধ্যমা শ্ৰেণী: 55-60 ⇒ মধ্যমা = 55 + [(15 - 13)/6] × 5 = 56.67 kg
অনুশীলনী : 14.4 (সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা লেখ / Ogive)
প্ৰশ্ন নং 1 :
50 জন শ্ৰমিকৰ দৈনিক আয়ৰ বিভাজনটোক 'তাতকৈ কম প্ৰকাৰৰ' সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা বিভাজনলৈ পৰিৱৰ্তন কৰা আৰু ইয়াৰ অ'জিভ অংকন কৰা।
বিন্দুবোৰ: (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40), (200, 50)
'তাতকৈ কম প্ৰকাৰৰ' অ'জিভ লেখচিত্ৰ সম্পূৰ্ণ হ'ল।
প্ৰশ্ন নং 2 :
35 জন ছাত্ৰৰ ওজনৰ 'তাতকৈ কম প্ৰকাৰৰ' অ'জিভ অংকন কৰা আৰু ইয়াৰ পৰা মধ্যমা নিৰূপণ কৰি সূত্ৰৰে সত্যাপন কৰা।
বিন্দুবোৰ: (38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32), (52, 35)
n/2 = 35/2 = 17.5। উলম্ব অক্ষৰ 17.5 ৰ পৰা বক্ৰলৈ টানি X-অক্ষত মধ্যমা পোৱা যায় ≈ 46.5 kg।
সূত্ৰৰে সত্যাপন:
শ্ৰেণী 46-48 ত l = 46, cf = 14, f = 14, h = 2
মধ্যমা = 46 + [(17.5 - 14) / 14] × 2 = 46 + 0.5 = 46.5 kg (সত্যাাপিত)।
n/2 = 35/2 = 17.5। উলম্ব অক্ষৰ 17.5 ৰ পৰা বক্ৰলৈ টানি X-অক্ষত মধ্যমা পোৱা যায় ≈ 46.5 kg।
শ্ৰেণী 46-48 ত l = 46, cf = 14, f = 14, h = 2
মধ্যমা = 46 + [(17.5 - 14) / 14] × 2 = 46 + 0.5 = 46.5 kg (সত্যাাপিত)।
প্ৰশ্ন নং 3 :
100 খন কৃষিক্ষেত্ৰত ঘেঁহুৰ উৎপাদনৰ বিভাজনটোক 'তাতকৈ বেছি প্ৰকাৰৰ' বিভাজনলৈ পৰিৱৰ্তন কৰা আৰু অ'জিভ অংকন কৰা।
বিন্দুবোৰ: (50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)
'তাতকৈ বেছি প্ৰকাৰৰ' অ'জিভ লেখচিত্ৰ সম্পূৰ্ণ হ'ল।