অনুশীলনী : 11 (বৃত্ত সম্বন্ধীয় কালি)
মূল সূত্ৰসমূহ (অন্যথা নিৰ্দেশ নথকালৈ π = 22/7):
• বৃত্তকলাৰ কালি: (θ / 360°) × πr2
• চাপৰ দৈৰ্ঘ্য: (θ / 360°) × 2πr
• গৌণ বৃত্তখণ্ডৰ কালি: বৃত্তকলাৰ কালি - অনুৰূপ ত্ৰিভুজৰ কালি
• মুখ্য বৃত্তকলাৰ কালি: πr2 - গৌণ বৃত্তকলাৰ কালি
• বৃত্তকলাৰ কালি: (θ / 360°) × πr2
• চাপৰ দৈৰ্ঘ্য: (θ / 360°) × 2πr
• গৌণ বৃত্তখণ্ডৰ কালি: বৃত্তকলাৰ কালি - অনুৰূপ ত্ৰিভুজৰ কালি
• মুখ্য বৃত্তকলাৰ কালি: πr2 - গৌণ বৃত্তকলাৰ কালি
প্ৰশ্ন নং 1 :
6 cm ব্যাসাৰ্ধযুক্ত এটা বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা, যদি বৃত্তকলাটোৰ কোণ 60° হয়।
r = 6 cm, θ = 60°
কালি = (θ / 360°) × πr2
= (60/360) × (22/7) × 6 × 6
= (1/6) × (22/7) × 36 = 132/7 cm2 (বা 18.86 cm2)
বৃত্তকলাৰ কালি = 132/7 cm2
কালি = (θ / 360°) × πr2
= (60/360) × (22/7) × 6 × 6
= (1/6) × (22/7) × 36 = 132/7 cm2 (বা 18.86 cm2)
বৃত্তকলাৰ কালি = 132/7 cm2
প্ৰশ্ন নং 2 :
22 cm পৰিধিযুক্ত এটা বৃত্তৰ এটা চোকৰ (Quadrant) কালি নিৰ্ণয় কৰা।
পৰিধি 2πr = 22 ⇒ 2 × (22/7) × r = 22 ⇒ r = 7/2 cm
চোকৰ কোণ θ = 90°
চোকৰ কালি = 1/4 × πr2
= 1/4 × (22/7) × (7/2) × (7/2) = 77/8 cm2 (বা 9.625 cm2)
চোকৰ কালি = 77/8 cm2
চোকৰ কোণ θ = 90°
চোকৰ কালি = 1/4 × πr2
= 1/4 × (22/7) × (7/2) × (7/2) = 77/8 cm2 (বা 9.625 cm2)
চোকৰ কালি = 77/8 cm2
প্ৰশ্ন নং 3 :
এটা ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটাডালৰ দৈৰ্ঘ্য 14 cm। 5 মিনিটত ঘড়ীৰ কাঁটাডালে আৱৰণ কৰা অঞ্চলৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
r = 14 cm
5 মিনিটত হোৱা কোণ θ = (360° / 60) × 5 = 30°
কালি = (30/360) × (22/7) × 14 × 14
= (1/12) × 22 × 28 = 154/3 cm2 (বা 51.33 cm2)
আৱৰণ কৰা কালি = 154/3 cm2
5 মিনিটত হোৱা কোণ θ = (360° / 60) × 5 = 30°
কালি = (30/360) × (22/7) × 14 × 14
= (1/12) × 22 × 28 = 154/3 cm2 (বা 51.33 cm2)
আৱৰণ কৰা কালি = 154/3 cm2
প্ৰশ্ন নং 4 :
10 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত সমকোণ কৰে। অনুৰূপ (i) গৌণ বৃত্তখণ্ড, (ii) মুখ্য বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (π = 3.14)
r = 10 cm, θ = 90°
বৃত্তকলাৰ কালি = (90/360) × 3.14 × 100 = 78.5 cm2
ΔOAB ৰ কালি = 1/2 × 10 × 10 = 50 cm2
(i) গৌণ বৃত্তখণ্ড = 78.5 - 50 = 28.5 cm2
(ii) মুখ্য বৃত্তকলা = (270/360) × 3.14 × 100 = 235.5 cm2
(i) 28.5 cm2 | (ii) 235.5 cm2
বৃত্তকলাৰ কালি = (90/360) × 3.14 × 100 = 78.5 cm2
ΔOAB ৰ কালি = 1/2 × 10 × 10 = 50 cm2
(i) গৌণ বৃত্তখণ্ড = 78.5 - 50 = 28.5 cm2
(ii) মুখ্য বৃত্তকলা = (270/360) × 3.14 × 100 = 235.5 cm2
(i) 28.5 cm2 | (ii) 235.5 cm2
প্ৰশ্ন নং 5 :
21 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তত এটা চাপে কেন্দ্ৰত 60° কোণ কৰে। নিৰ্ণয় কৰা: (i) চাপটোৰ দৈৰ্ঘ্য, (ii) চাপটোৱে কৰা বৃত্তকলাৰ কালি, (iii) অনুৰূপ জ্যাই কৰা বৃত্তখণ্ডৰ কালি।
r = 21 cm, θ = 60°
(i) চাপৰ দৈৰ্ঘ্য = (60/360) × 2 × (22/7) × 21 = (1/6) × 132 = 22 cm
(ii) বৃত্তকলাৰ কালি = (60/360) × (22/7) × 21 × 21 = 231 cm2
(iii) সমবাহু ΔOAB ৰ কালি = (√3 / 4) × 212 = (441√3)/4 cm2
∴ বৃত্তখণ্ডৰ কালি = (231 - 441√3 / 4) cm2 (বা ≈ 40.05 cm2)
(ii) বৃত্তকলাৰ কালি = (60/360) × (22/7) × 21 × 21 = 231 cm2
(iii) সমবাহু ΔOAB ৰ কালি = (√3 / 4) × 212 = (441√3)/4 cm2
∴ বৃত্তখণ্ডৰ কালি = (231 - 441√3 / 4) cm2 (বা ≈ 40.05 cm2)
প্ৰশ্ন নং 6 :
15 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ জ্যাই কেন্দ্ৰত 60° কোণ কৰে। গৌণ আৰু মুখ্য বৃত্তখণ্ডৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (π = 3.14, √3 = 1.73)
বৃত্তকলাৰ কালি = (60/360) × 3.14 × 225 = 117.75 cm2
ΔOAB ৰ কালি = (√3/4) × 225 = 97.3125 cm2
• গৌণ বৃত্তখণ্ড = 117.75 - 97.3125 = 20.44 cm2
• বৃত্তৰ কালি = 3.14 × 225 = 706.5 cm2
• মুখ্য বৃত্তখণ্ড = 706.5 - 20.44 = 686.06 cm2
ΔOAB ৰ কালি = (√3/4) × 225 = 97.3125 cm2
• গৌণ বৃত্তখণ্ড = 117.75 - 97.3125 = 20.44 cm2
• বৃত্তৰ কালি = 3.14 × 225 = 706.5 cm2
• মুখ্য বৃত্তখণ্ড = 706.5 - 20.44 = 686.06 cm2
প্ৰশ্ন নং 7 :
12 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ জ্যাই কেন্দ্ৰত 120° কোণ কৰে। অনুৰূপ বৃত্তখণ্ডৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (π = 3.14, √3 = 1.73)
বৃত্তকলাৰ কালি = (120/360) × 3.14 × 144 = 150.72 cm2
ΔOAB ৰ কালি = 1/2 × r2 × sin 120° = 1/2 × 144 × (√3/2) = 36 × 1.73 = 62.28 cm2
বৃত্তখণ্ডৰ কালি = 150.72 - 62.28 = 88.44 cm2
কালি = 88.44 cm2
ΔOAB ৰ কালি = 1/2 × r2 × sin 120° = 1/2 × 144 × (√3/2) = 36 × 1.73 = 62.28 cm2
বৃত্তখণ্ডৰ কালি = 150.72 - 62.28 = 88.44 cm2
কালি = 88.44 cm2
প্ৰশ্ন নং 8 :
15 m বাহুৰ বৰ্গক্ষেত্ৰাকাৰ ঘাঁহনি পথাৰৰ এচুকত 5 m দীঘল ৰছীৰে এটা ঘোঁৰা বান্ধি থোৱা হৈছে (চিত্ৰ 11.8):
(i) ঘোঁৰাটোৱে চৰিব পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
(ii) ৰছীডাল 5 m ৰ সলনি 10 m হ'লে চৰণীয়া অঞ্চলৰ বৃদ্ধি কিমান হ'ব? (π = 3.14)
(i) ঘোঁৰাটোৱে চৰিব পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
(ii) ৰছীডাল 5 m ৰ সলনি 10 m হ'লে চৰণীয়া অঞ্চলৰ বৃদ্ধি কিমান হ'ব? (π = 3.14)
বৰ্গৰ চুকৰ কোণ θ = 90° (চোক / Quadrant)
(i) r = 5 m হ'লে চৰিব পৰা কালি = 1/4 × π × 52 = (3.14 × 25)/4 = 19.63 m2
(ii) r = 10 m হ'লে কালি = 1/4 × 3.14 × 100 = 78.5 m2
∴ চৰণীয়া অঞ্চলৰ বৃদ্ধি = 78.5 - 19.625 = 58.88 m2
(i) 19.63 m2 | (ii) বৃদ্ধি = 58.88 m2(ii) r = 10 m হ'লে কালি = 1/4 × 3.14 × 100 = 78.5 m2
∴ চৰণীয়া অঞ্চলৰ বৃদ্ধি = 78.5 - 19.625 = 58.88 m2
প্ৰশ্ন নং 9 :
35 mm ব্যাসৰ বৃত্তাকাৰ ব্ৰোচপিনত ৰূপৰ তাঁৰেৰে 5 ডাল ব্যাস বনাই 10 টা সমান বৃত্তকলা কৰা হৈছে (চিত্ৰ 11.9):
(i) প্ৰয়োজন হোৱা ৰূপৰ তাঁৰৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
(ii) ব্ৰোচপিনটোৰ প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
(i) প্ৰয়োজন হোৱা ৰূপৰ তাঁৰৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
(ii) ব্ৰোচপিনটোৰ প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
ব্যাস d = 35 mm ⇒ ব্যাসাৰ্ধ r = 35/2 mm
(i) পৰিধি = πd = (22/7) × 35 = 110 mm
5 ডাল ব্যাসৰ দৈৰ্ঘ্য = 5 × 35 = 175 mm
∴ মুঠ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য = 110 + 175 = 285 mm
(ii) 10 টা সমান বৃত্তকলাৰ প্ৰতিটোৰ কালি = (1/10) × πr2
= (1/10) × (22/7) × (35/2) × (35/2) = 385/4 mm2 (বা 96.25 mm2)
(i) 285 mm | (ii) 96.25 mm25 ডাল ব্যাসৰ দৈৰ্ঘ্য = 5 × 35 = 175 mm
∴ মুঠ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য = 110 + 175 = 285 mm
(ii) 10 টা সমান বৃত্তকলাৰ প্ৰতিটোৰ কালি = (1/10) × πr2
= (1/10) × (22/7) × (35/2) × (35/2) = 385/4 mm2 (বা 96.25 mm2)
প্ৰশ্ন নং 10 :
এটা ছাতিৰ 8 ডাল ৰিব আছে (চিত্ৰ 11.10)। ছাতিটো 45 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত হ'লে দুটা ক্ৰমিক ৰিবৰ মাজৰ কালি কিমান?
r = 45 cm, মুঠ ভাগ = 8 টা
প্ৰতিটো ভাগৰ কালি = 1/8 × πr2
= 1/8 × (22/7) × 45 × 45 = 22275 / 28 cm2 (বা 795.54 cm2)
কালি = 22275/28 cm2
প্ৰতিটো ভাগৰ কালি = 1/8 × πr2
= 1/8 × (22/7) × 45 × 45 = 22275 / 28 cm2 (বা 795.54 cm2)
কালি = 22275/28 cm2
প্ৰশ্ন নং 11 :
গাড়ীৰ দুডাল ৱাইপাৰৰ প্ৰতিডাল 25 cm দৈৰ্ঘ্যৰ আৰু 115° কোণত ঘূৰে। প্ৰতিটো ঘূৰণত পৰিষ্কাৰ হোৱা মুঠ কালি কিমান?
মুঠ কালি = 2 × [(115/360) × (22/7) × 252]
= 2 × (23/72) × (22/7) × 625 = 158125 / 126 cm2 (বা 1254.96 cm2)
মুঠ কালি = 158125/126 cm2
= 2 × (23/72) × (22/7) × 625 = 158125 / 126 cm2 (বা 1254.96 cm2)
মুঠ কালি = 158125/126 cm2
প্ৰশ্ন নং 12 :
লাইটহাউচে 80° কোণৰ বৃত্তকলাৰে 16.5 km দূৰত্বলৈ পোহৰ বিয়পায়। সতৰ্ক কৰা অঞ্চলটোৰ কালি কিমান? (π = 3.14)
r = 16.5 km, θ = 80°
কালি = (80/360) × 3.14 × (16.5)2
= (2/9) × 3.14 × 272.25 = 189.97 km2
সতৰ্ক অঞ্চলৰ কালি = 189.97 km2
কালি = (80/360) × 3.14 × (16.5)2
= (2/9) × 3.14 × 272.25 = 189.97 km2
সতৰ্ক অঞ্চলৰ কালি = 189.97 km2
প্ৰশ্ন নং 13 :
28 cm ব্যাসাৰ্ধৰ ঘূৰণীয়া টেবুল কভাৰত 6 টা সমান নক্সা আছে (চিত্ৰ 11.11)। প্ৰতি cm2 ত 0.35 টকা হাৰত নক্সা তৈয়াৰৰ খৰচ কিমান? (√3 = 1.7)
θ = 360° / 6 = 60°
1 টা নক্সাৰ কালি = (60/360 × 22/7 × 282) - (√3/4 × 282)
= 410.67 - 333.2 = 77.47 cm2
6 টা নক্সাৰ কালি = 6 × 77.47 = 464.8 cm2
খৰচ = 464.8 × 0.35 = 162.68 টকা
মুঠ খৰচ = 162.68 টকা
1 টা নক্সাৰ কালি = (60/360 × 22/7 × 282) - (√3/4 × 282)
= 410.67 - 333.2 = 77.47 cm2
6 টা নক্সাৰ কালি = 6 × 77.47 = 464.8 cm2
খৰচ = 464.8 × 0.35 = 162.68 টকা
মুঠ খৰচ = 162.68 টকা
প্ৰশ্ন নং 14 :
R ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ p° কোণৰ বৃত্তকলাৰ কালি:
কালি = (p / 360) × πR2 = (p / 720) × 2πR2
শুদ্ধ উত্তৰ: (D) (p / 720) × 2πR2
শুদ্ধ উত্তৰ: (D) (p / 720) × 2πR2
প্ৰশ্ন নং 15 :
ত্ৰিভুজৰ কালি সম্পৰ্কীয় উক্তি:
(i) ∠AOB = 60° → সমবাহু Δ ৰ কালি = (√3 / 4)r2 (সত্য)
(ii) ∠AOB = 90° → সমকোণী Δ ৰ কালি = 1/2 r2 (সত্য)
(iii) ∠AOB = 120° → কালি = (√3 / 4)r2 (অসত্য)
শুদ্ধ উত্তৰ: B) কেৱল (i) আৰু (ii) সত্য
(ii) ∠AOB = 90° → সমকোণী Δ ৰ কালি = 1/2 r2 (সত্য)
(iii) ∠AOB = 120° → কালি = (√3 / 4)r2 (অসত্য)
শুদ্ধ উত্তৰ: B) কেৱল (i) আৰু (ii) সত্য
প্ৰশ্ন নং 16 :
লম্বরূপে থকা AC আৰু BD ব্যাসৰ বৃত্তত ৰং কৰা অংশৰ কালি 308 cm2 (চিত্ৰ 11.13)। AC ৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
দুটা চোক মিলি এটা অৰ্ধবৃত্ত = 1/2 × (22/7) × r2 = 308
⇒ r2 = (308 × 7) / 11 = 196 ⇒ r = 14 cm
ব্যাস AC = 2r = 2 × 14 = 28 cm
শুদ্ধ উত্তৰ: C) 28 cm
⇒ r2 = (308 × 7) / 11 = 196 ⇒ r = 14 cm
ব্যাস AC = 2r = 2 × 14 = 28 cm
শুদ্ধ উত্তৰ: C) 28 cm
প্ৰশ্ন নং 17 আৰু 18 :
17. উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R):
উক্তি (A) ত বৃত্তখণ্ডৰ কালি 8(π - 2) হ'ব লাগে, গতিকে (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
শুদ্ধ উত্তৰ: D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
18. সত্য/অসত্য নিৰূপণ:
P আৰু Q দুয়োটা উক্তি শুদ্ধ।
শুদ্ধ উত্তৰ: C) P আৰু Q উভয়েই সত্য
উক্তি (A) ত বৃত্তখণ্ডৰ কালি 8(π - 2) হ'ব লাগে, গতিকে (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
শুদ্ধ উত্তৰ: D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
18. সত্য/অসত্য নিৰূপণ:
P আৰু Q দুয়োটা উক্তি শুদ্ধ।
শুদ্ধ উত্তৰ: C) P আৰু Q উভয়েই সত্য
প্ৰশ্ন নং 19 : স্তম্ভ মিলোৱা (চিত্ৰ 11.14):
• P) চাপ 42 cm আৰু 14 cm, কোণ 30° → 3) 410.67 cm2
• Q) θ = 120°, r = 14 cm ৰ বৃত্তকলাৰ কালি → (1/3) × 616 = 4) 205.33 cm2
• R) θ = 90°, r = 14 cm ৰ বৃত্তখণ্ডৰ কালি → 154 - 98 = 1) 56 cm2
• S) r = 3.5 cm ৰ চোকৰ পৰা OD = 2 cm ত্ৰিভুজ বাদ দিলে → 9.625 - 3.5 = 2) 6.125 cm2
শুদ্ধ বিকল্প: B) P-3, Q-4, R-1, S-2
• Q) θ = 120°, r = 14 cm ৰ বৃত্তকলাৰ কালি → (1/3) × 616 = 4) 205.33 cm2
• R) θ = 90°, r = 14 cm ৰ বৃত্তখণ্ডৰ কালি → 154 - 98 = 1) 56 cm2
• S) r = 3.5 cm ৰ চোকৰ পৰা OD = 2 cm ত্ৰিভুজ বাদ দিলে → 9.625 - 3.5 = 2) 6.125 cm2
শুদ্ধ বিকল্প: B) P-3, Q-4, R-1, S-2
প্ৰশ্ন নং 20 :
28 m ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তাকাৰ স্বাস্থ্য পৰিচৰ্যা অঞ্চল 4 টা বৃত্তকলাত বিভক্ত: খেলা-ধূলা (120°), বাগিছা (30°), ব্যায়াম (90°) আৰু বয়োবৃদ্ধ বহা + খোজকঢ়া (120°)। (চিত্ৰ 11.15)
মুঠ কালি = πr2 = (22/7) × 28 × 28 = 2464 m2
(i) খেলা-ধূলা অঞ্চল (120°) = (120/360) × 2464 = 821.33 m2
(ii) খোজকঢ়া অঞ্চল (চতুৰ্থ অংশৰ আধা অৰ্থাৎ 60°) = (60/360) × 2464 = 410.67 m2
(iii) বয়োবৃদ্ধ বহা (60°) আৰু ব্যায়াম (90°) ৰ মুঠ কালি (150°) = (150/360) × 2464 = 1026.67 m2
(iv) বাগিছা (30°) আৰু ব্যায়াম (90°) ৰ মুঠ কালি (120°) = (120/360) × 2464 = 821.33 m2
(ii) খোজকঢ়া অঞ্চল (চতুৰ্থ অংশৰ আধা অৰ্থাৎ 60°) = (60/360) × 2464 = 410.67 m2
(iii) বয়োবৃদ্ধ বহা (60°) আৰু ব্যায়াম (90°) ৰ মুঠ কালি (150°) = (150/360) × 2464 = 1026.67 m2
(iv) বাগিছা (30°) আৰু ব্যায়াম (90°) ৰ মুঠ কালি (120°) = (120/360) × 2464 = 821.33 m2