অনুশীলনী : 13.1 (আয়তীয় ঘনক আৰু ঘনকৰ পৃষ্ঠকালি)
মূল সূত্ৰসমূহ:
• আয়তীয় ঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি: 2(lb + bh + hl) | পাৰ্শ্বপৃষ্ঠকালি: 2(l + b)h
• ঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি: 6a2 | পাৰ্শ্বপৃষ্ঠকালি: 4a2
• আয়তীয় ঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি: 2(lb + bh + hl) | পাৰ্শ্বপৃষ্ঠকালি: 2(l + b)h
• ঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি: 6a2 | পাৰ্শ্বপৃষ্ঠকালি: 4a2
প্ৰশ্ন নং 1 :
1.5 m দৈৰ্ঘ্য, 1.25 m প্ৰস্থ আৰু 65 cm গভীৰতাৰ এটা প্লাষ্টিকৰ বাকচ সাজিব লাগে। ওপৰৰ ফালটো খোলা। নিৰ্ণয় কৰা: (i) পাতৰ কালি, (ii) প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত 20 টকাকৈ খৰচ।
l = 1.5 m, b = 1.25 m, h = 65 cm = 0.65 m
(i) খোলা বাকচৰ পাতৰ কালি = 2(l + b)h + lb
= 2(1.5 + 1.25) × 0.65 + 1.5 × 1.25 = 2(2.75)(0.65) + 1.875 = 3.575 + 1.875 = 5.45 m2
(ii) মুঠ মূল্য = 5.45 × 20 = 109 টকা
(i) 5.45 m2 | (ii) 109 টকা(i) খোলা বাকচৰ পাতৰ কালি = 2(l + b)h + lb
= 2(1.5 + 1.25) × 0.65 + 1.5 × 1.25 = 2(2.75)(0.65) + 1.875 = 3.575 + 1.875 = 5.45 m2
(ii) মুঠ মূল্য = 5.45 × 20 = 109 টকা
প্ৰশ্ন নং 2 :
এটা কোঠাৰ দীঘ, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতা ক্ৰমে 5 m, 4 m আৰু 3 m। প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত 7.50 টকাকৈ চাৰি বেৰ আৰু চিলিঙত চুণ লগোৱাৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
চুণ লগাব লগা কালি = 2(l + b)h + lb = 2(5 + 4) × 3 + 5 × 4 = 54 + 20 = 74 m2
খৰচ = 74 × 7.50 = 555 টকা
মুঠ খৰচ = 555 টকাখৰচ = 74 × 7.50 = 555 টকা
প্ৰশ্ন নং 3 :
মজিয়াৰ পৰিসীমা 250 m আৰু প্ৰতি m2 ত 10 টকাকৈ চাৰি বেৰ ৰং কৰা খৰচ 15000 টকা হ'লে কোঠাটোৰ উচ্চতা কিমান?
চাৰি বেৰৰ কালি = 15000 / 10 = 1500 m2
2(l + b) × h = 1500 ⇒ 250 × h = 1500
∴ h = 1500 / 250 = 6 m
উচ্চতা = 6 মিটাৰ
2(l + b) × h = 1500 ⇒ 250 × h = 1500
∴ h = 1500 / 250 = 6 m
উচ্চতা = 6 মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 4 :
ৰঙেৰে 9.375 m2 ঠাই ৰং কৰিব পাৰি। 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm জোখৰ কিমানটা ইটা ৰং কৰিব পাৰি?
1 টা ইটাৰ কালি = 2(225 + 75 + 168.75) = 937.5 cm2
মুঠ ৰং = 9.375 m2 = 93,750 cm2
ইটাৰ সংখ্যা = 93750 / 937.5 = 100 টা
ইটাৰ সংখ্যা = 100 টা
মুঠ ৰং = 9.375 m2 = 93,750 cm2
ইটাৰ সংখ্যা = 93750 / 937.5 = 100 টা
ইটাৰ সংখ্যা = 100 টা
প্ৰশ্ন নং 5 :
ঘনকৰ কাষ 10 cm, আয়তীয় ঘনক 12.5 × 10 × 8 cm। কাৰ পাৰ্শ্বকালি বেছি আৰু কাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি কম?
• পাৰ্শ্বকালি: ঘনক = 400 cm2, আয়তীয় ঘনক = 360 cm2 ⇒ ঘনকৰ 40 cm2 বেছি
• মুঠ পৃষ্ঠকালি: ঘনক = 600 cm2, আয়তীয় ঘনক = 610 cm2 ⇒ ঘনকৰ 10 cm2 কম
• মুঠ পৃষ্ঠকালি: ঘনক = 600 cm2, আয়তীয় ঘনক = 610 cm2 ⇒ ঘনকৰ 10 cm2 কম
প্ৰশ্ন নং 6 :
সেউজগৃহ 30 × 25 × 25 cm কাঁচৰ পাতেৰে নিৰ্মিত। (i) কাঁচৰ কালি, (ii) 12 টা দাঁতিত লগা টেপৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
(i) কাঁচৰ কালি = 2(750 + 625 + 750) = 4250 cm2
(ii) টেপৰ দৈৰ্ঘ্য = 4(30 + 25 + 25) = 320 cm
(ii) টেপৰ দৈৰ্ঘ্য = 4(30 + 25 + 25) = 320 cm
প্ৰশ্ন নং 7 :
মিঠাইৰ বাকচ: ডাঙৰ (25×20×5 cm) আৰু সৰু (15×12×5 cm)। 5% অতিৰিক্তসহ 250 টাকৈ বাকচ সজাৰ খৰচ (4 টকা/1000 cm2) কিমান?
মুঠ কাৰ্ডবৰ্ড = 250 × (1450 + 630) × 1.05 = 5,46,000 cm2
খৰচ = (546000 / 1000) × 4 = 2184 টকা
খৰচ = (546000 / 1000) × 4 = 2184 টকা
প্ৰশ্ন নং 8 :
গাড়ী থ'বলৈ 4 m × 3 m আৰু 2.5 m ওখ ত্ৰিপালৰ আৱৰণ সাজিবলৈ কিমান ত্ৰিপাল লাগিব?
ত্ৰিপালৰ কালি = 2(l + b)h + lb = 2(7)(2.5) + 12 = 35 + 12 = 47 m2
অনুশীলনী : 13.2 (লম্ব বৃত্তাকাৰ চুঙাৰ পৃষ্ঠকালি)
চুঙাৰ সূত্ৰসমূহ (π = 22/7):
• বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি: 2πrh | মুঠ পৃষ্ঠকালি: 2πr(r + h)
• বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি: 2πrh | মুঠ পৃষ্ঠকালি: 2πr(r + h)
প্ৰশ্ন নং 1 :
14 cm উচ্চতাৰ চুঙাৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি 88 cm2 হ'লে ভূমিৰ ব্যাস উলিওৱা।
∴ ব্যাস = 2r = 2 cm
প্ৰশ্ন নং 2 :
1 m ওখ আৰু 140 cm ব্যাসৰ বন্ধ চুঙাকৃতিৰ টেংকি তৈয়াৰ কৰিবলৈ কিমান পাত লাগিব?
r = 70 cm = 0.7 m, h = 1 m
মুঠ পৃষ্ঠকালি = 2πr(r + h) = 2 × (22/7) × 0.7 × 1.7 = 7.48 m2
মুঠ পৃষ্ঠকালি = 2πr(r + h) = 2 × (22/7) × 0.7 × 1.7 = 7.48 m2
প্ৰশ্ন নং 3 :
77 cm দীঘল ধাতুৰ পাইপৰ অন্তঃব্যাস 4 cm আৰু বহিঃব্যাস 4.4 cm (চিত্ৰ 13.11)। নিৰ্ণয় কৰা: (i) ভিতৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ, (ii) বাহিৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ, (iii) মুঠ পৃষ্ঠকালি।
h = 77 cm, r1 = 2 cm, r2 = 2.2 cm
(i) ভিতৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ = 2πr1h = 2 × (22/7) × 2 × 77 = 968 cm2
(ii) বাহিৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ = 2πr2h = 2 × (22/7) × 2.2 × 77 = 1064.8 cm2
(iii) দুই মূৰৰ আঙুঠিৰ কালি = 2π(r22 - r12) = 5.28 cm2
∴ মুঠ পৃষ্ঠকালি = 968 + 1064.8 + 5.28 = 2038.08 cm2
(i) ভিতৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ = 2πr1h = 2 × (22/7) × 2 × 77 = 968 cm2
(ii) বাহিৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ = 2πr2h = 2 × (22/7) × 2.2 × 77 = 1064.8 cm2
(iii) দুই মূৰৰ আঙুঠিৰ কালি = 2π(r22 - r12) = 5.28 cm2
∴ মুঠ পৃষ্ঠকালি = 968 + 1064.8 + 5.28 = 2038.08 cm2
প্ৰশ্ন নং 4 আৰু 5 :
• 4. ৰোলাৰ (d=84 cm, h=120 cm, 500 পাক):
কালি = 500 × [2 × (22/7) × 0.42 × 1.2] = 1584 m2
• 5. স্তম্ভ (d=50 cm, h=3.5 m, 12.50 টকা/m2):
বক্ৰপৃষ্ঠ = 5.5 m2 ⇒ খৰচ = 5.5 × 12.50 = 68.75 টকা
কালি = 500 × [2 × (22/7) × 0.42 × 1.2] = 1584 m2
• 5. স্তম্ভ (d=50 cm, h=3.5 m, 12.50 টকা/m2):
বক্ৰপৃষ্ঠ = 5.5 m2 ⇒ খৰচ = 5.5 × 12.50 = 68.75 টকা
প্ৰশ্ন নং 6 আৰু 7 :
• 6. চুঙাৰ বক্ৰপৃষ্ঠ 4.4 m2, r = 0.7 m:
উচ্চতা h = 4.4 / (2π × 0.7) = 1 m
• 7. নাদ (d=3.5 m, h=10 m, 40 টকা/m2):
বক্ৰপৃষ্ঠ = 110 m2 ⇒ খৰচ = 110 × 40 = 4400 টকা
উচ্চতা h = 4.4 / (2π × 0.7) = 1 m
• 7. নাদ (d=3.5 m, h=10 m, 40 টকা/m2):
বক্ৰপৃষ্ঠ = 110 m2 ⇒ খৰচ = 110 × 40 = 4400 টকা
প্ৰশ্ন নং 8 আৰু 9 :
• 8. তাপ বিকিৰণ পাইপ (h=28 m, d=5 cm):
বিকিৰণকাৰী পৃষ্ঠ = 2πrh = 4.4 m2
• 9. পেট্ৰ'ল টেংকি (d=4.2 m, h=4.5 m):
(i) বক্ৰপৃষ্ঠ = 59.4 m2
(ii) মুঠ তীখা = 87.12 × (12/11) = 95.04 m2
বিকিৰণকাৰী পৃষ্ঠ = 2πrh = 4.4 m2
• 9. পেট্ৰ'ল টেংকি (d=4.2 m, h=4.5 m):
(i) বক্ৰপৃষ্ঠ = 59.4 m2
(ii) মুঠ তীখা = 87.12 × (12/11) = 95.04 m2
প্ৰশ্ন নং 10 আৰু 11 :
• 10. লেম্পশ্বেড (d=20 cm, h=30 cm, দাঁতি 2.5 cm):
মুঠ উচ্চতা = 35 cm ⇒ কাপোৰ = 2π(10)(35) = 2200 cm2
• 11. পেনহোল্ডাৰ (35 জন, r=3 cm, h=10.5 cm):
কাৰ্ডবৰ্ড = 35 × πr(2h + r) = 7920 cm2
মুঠ উচ্চতা = 35 cm ⇒ কাপোৰ = 2π(10)(35) = 2200 cm2
• 11. পেনহোল্ডাৰ (35 জন, r=3 cm, h=10.5 cm):
কাৰ্ডবৰ্ড = 35 × πr(2h + r) = 7920 cm2
অনুশীলনী : 13.3 (লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকুৰ পৃষ্ঠকালি)
শংকুৰ সূত্ৰসমূহ:
• নতি উচ্চতা: l = √(r2 + h2)
• বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = πrl | মুঠ পৃষ্ঠকালি = πr(l + r)
• নতি উচ্চতা: l = √(r2 + h2)
• বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = πrl | মুঠ পৃষ্ঠকালি = πr(l + r)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ভূমিৰ ব্যাস 10.5 cm আৰু নতি উচ্চতা 10 cm হ'লে শংকুৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি কিমান?
বক্ৰপৃষ্ঠ = πrl = (22/7) × 5.25 × 10 = 165 cm2
প্ৰশ্ন নং 2 :
নতি উচ্চতা 21 m আৰু ভূমিৰ ব্যাস 24 m হ'লে শংকুৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি কিমান?
r = 12 m, l = 21 m
মুঠ পৃষ্ঠকালি = πr(l + r) = (22/7) × 12 × 33 = 1244.57 m2
মুঠ পৃষ্ঠকালি = πr(l + r) = (22/7) × 12 × 33 = 1244.57 m2
প্ৰশ্ন নং 3 আৰু 4 :
• 3. বক্ৰপৃষ্ঠ 308 cm2, l = 14 cm:
(i) r = 308 / (22 × 2) = 7 cm
(ii) মুঠ পৃষ্ঠকালি = 22 × 21 = 462 cm2
• 4. তম্বু (h=10 m, r=24 m, 70 টকা/m2):
(i) l = √(102 + 242) = 26 m
(ii) খৰচ = [(22/7) × 24 × 26] × 70 = 1,37,280 টকা
(i) r = 308 / (22 × 2) = 7 cm
(ii) মুঠ পৃষ্ঠকালি = 22 × 21 = 462 cm2
• 4. তম্বু (h=10 m, r=24 m, 70 টকা/m2):
(i) l = √(102 + 242) = 26 m
(ii) খৰচ = [(22/7) × 24 × 26] × 70 = 1,37,280 টকা
প্ৰশ্ন নং 5 আৰু 6 :
• 5. তম্বু (h=8 m, r=6 m ⇒ l=10 m, প্ৰস্থ 3 m):
ত্ৰিপালৰ দৈৰ্ঘ্য = (3.14 × 6 × 10)/3 + 0.2 = 63 m
• 6. সমাধি (l=25 m, d=14 m, 210 টকা/100 m2):
বক্ৰপৃষ্ঠ = 550 m2 ⇒ খৰচ = 5.5 × 210 = 1155 টকা
ত্ৰিপালৰ দৈৰ্ঘ্য = (3.14 × 6 × 10)/3 + 0.2 = 63 m
• 6. সমাধি (l=25 m, d=14 m, 210 টকা/100 m2):
বক্ৰপৃষ্ঠ = 550 m2 ⇒ খৰচ = 5.5 × 210 = 1155 টকা
প্ৰশ্ন নং 7 :
টুপী (r=7 cm, h=24 cm) ৰ 10 টা সাজিবলৈ লগা কাপোৰ কিমান?
l = √(72 + 242) = 25 cm
10 টাৰ কালি = 10 × (22/7 × 7 × 25) = 5500 cm2
10 টাৰ কালি = 10 × (22/7 × 7 × 25) = 5500 cm2
প্ৰশ্ন নং 8 :
50 টা শংকু (d=40 cm, h=1 m) ৰং কৰাৰ খৰচ (12 টকা/m2) কিমান?
l = √1.04 = 1.02 m
মুঠ খৰচ = 50 × (3.14 × 0.2 × 1.02) × 12 ≈ 384.34 টকা
মুঠ খৰচ = 50 × (3.14 × 0.2 × 1.02) × 12 ≈ 384.34 টকা
অনুশীলনী : 13.4 (গোলক আৰু অৰ্ধগোলকৰ পৃষ্ঠকালি)
গোলক আৰু অৰ্ধগোলকৰ সূত্ৰ:
• গোলকৰ পৃষ্ঠকালি = 4πr2
• অৰ্ধগোলকৰ বক্ৰপৃষ্ঠ = 2πr2 | মুঠ পৃষ্ঠকালি = 3πr2
• গোলকৰ পৃষ্ঠকালি = 4πr2
• অৰ্ধগোলকৰ বক্ৰপৃষ্ঠ = 2πr2 | মুঠ পৃষ্ঠকালি = 3πr2
প্ৰশ্ন নং 1 : গোলকৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা (4πr2):
(i) r = 10.5 cm ⇒ 4 × (22/7) × (10.5)2 = 1386 cm2
(ii) r = 5.6 cm ⇒ 4 × (22/7) × (5.6)2 = 394.24 cm2
(iii) r = 14 cm ⇒ 4 × (22/7) × 142 = 2464 cm2
(ii) r = 5.6 cm ⇒ 4 × (22/7) × (5.6)2 = 394.24 cm2
(iii) r = 14 cm ⇒ 4 × (22/7) × 142 = 2464 cm2
প্ৰশ্ন নং 2 : ব্যাস দিয়া থাকিলে গোলকৰ পৃষ্ঠকালি:
(i) d = 14 cm (r = 7) ⇒ 616 cm2
(ii) d = 21 cm (r = 10.5) ⇒ 1386 cm2
(iii) d = 3.5 m (r = 1.75) ⇒ 38.5 m2
(ii) d = 21 cm (r = 10.5) ⇒ 1386 cm2
(iii) d = 3.5 m (r = 1.75) ⇒ 38.5 m2
প্ৰশ্ন নং 3 আৰু 4 :
• 3. 10 cm ব্যাসাৰ্ধৰ অৰ্ধগোলকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি:
3πr2 = 3 × 3.14 × 100 = 942 cm2
• 4. বেলুনৰ ব্যাসাৰ্ধ 7 cm ৰ পৰা 14 cm লৈ বৃদ্ধি:
পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত = (7/14)2 = 1 : 4
3πr2 = 3 × 3.14 × 100 = 942 cm2
• 4. বেলুনৰ ব্যাসাৰ্ধ 7 cm ৰ পৰা 14 cm লৈ বৃদ্ধি:
পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত = (7/14)2 = 1 : 4
প্ৰশ্ন নং 5 আৰু 6 :
• 5. বাটি (d=10.5 cm, 16 টকা/100 cm2):
খৰচ = (2π × 5.252 / 100) × 16 = 27.72 টকা
• 6. গোলকৰ পৃষ্ঠকালি 154 cm2:
4πr2 = 154 ⇒ r2 = 49/4 ⇒ r = 3.5 cm
খৰচ = (2π × 5.252 / 100) × 16 = 27.72 টকা
• 6. গোলকৰ পৃষ্ঠকালি 154 cm2:
4πr2 = 154 ⇒ r2 = 49/4 ⇒ r = 3.5 cm
প্ৰশ্ন নং 7 আৰু 8 :
• 7. চন্দ্ৰ আৰু পৃথিৱীৰ পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত:
rm = 1/4 re ⇒ অনুপাত = (1/4)2 = 1 : 16
• 8. অৰ্ধগোলকৰ বাহিৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ (R = 5.25 cm):
2πR2 = 2 × (22/7) × (5.25)2 = 173.25 cm2
rm = 1/4 re ⇒ অনুপাত = (1/4)2 = 1 : 16
• 8. অৰ্ধগোলকৰ বাহিৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ (R = 5.25 cm):
2πR2 = 2 × (22/7) × (5.25)2 = 173.25 cm2
প্ৰশ্ন নং 9 :
r ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটা চুঙাই আবৰি ৰাখিছে (চিত্ৰ 13.22):
(i) গোলকৰ পৃষ্ঠকালি = 4πr2
(ii) চুঙাৰ বক্ৰপৃষ্ঠ (h = 2r) = 2πr(2r) = 4πr2
(iii) দুয়োৰে অনুপাত = 4πr2 : 4πr2 = 1 : 1
(ii) চুঙাৰ বক্ৰপৃষ্ঠ (h = 2r) = 2πr(2r) = 4πr2
(iii) দুয়োৰে অনুপাত = 4πr2 : 4πr2 = 1 : 1