অনুশীলনী : 12.1 (ত্ৰিভুজৰ কালি নিৰ্ণয়ত হিৰ'ণৰ সূত্ৰ)
হিৰ'ণৰ সূত্ৰ (Heron's Formula):
ত্ৰিভুজৰ কালি = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]
য'ত a, b, c হ'ল ত্ৰিভুজৰ তিনিটা বাহু আৰু অৰ্ধ-পৰিসীমা s = (a + b + c) / 2।
ত্ৰিভুজৰ কালি = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]
য'ত a, b, c হ'ল ত্ৰিভুজৰ তিনিটা বাহু আৰু অৰ্ধ-পৰিসীমা s = (a + b + c) / 2।
প্ৰশ্ন নং 1 :
"আগত বিদ্যালয় আছে" বুলি লিখা থকা যানবাহনৰ সংকেত ফলক এখন সমবাহু ত্ৰিভুজ আকাৰৰ যাৰ বাহুৰ দীঘ 'a'। হিৰ'ণৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি সংকেত ফলকখনৰ কালি উলিওৱা। যদি ইয়াৰ পৰিসীমা 180 cm, সংকেত ফলকখনৰ কালি কিমান হ'ব?
1. সমবাহু ত্ৰিভুজৰ তিনিটা বাহু = a। s = (a + a + a)/2 = 3a/2
কালি = √[(3a/2)(3a/2 - a)(3a/2 - a)(3a/2 - a)] = √[(3a/2)(a/2)3] = (√3 / 4)a2
2. পৰিসীমা = 180 cm ⇒ 3a = 180 ⇒ a = 60 cm
∴ কালি = (√3 / 4) × 602 = (√3 / 4) × 3600 = 900√3 cm2
কালি = 900√3 cm2কালি = √[(3a/2)(3a/2 - a)(3a/2 - a)(3a/2 - a)] = √[(3a/2)(a/2)3] = (√3 / 4)a2
2. পৰিসীমা = 180 cm ⇒ 3a = 180 ⇒ a = 60 cm
∴ কালি = (√3 / 4) × 602 = (√3 / 4) × 3600 = 900√3 cm2
প্ৰশ্ন নং 2 :
এখন উৰণীয়া সেতুৰ ত্ৰিভুজাকাৰ বেৰৰ দাঁতিকেইটা 122 m, 22 m আৰু 120 m (চিত্ৰ 12.9)। বিজ্ঞাপনৰ বাবে প্ৰতি বছৰে প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত 5000 টকা উপাৰ্জন হয়। এটা কোম্পানীয়ে এখন বেৰ 3 মাহৰ বাবে ভাড়া ল'লে কিমান ভাড়া দিব লাগিব?
a = 122 m, b = 22 m, c = 120 m
s = (122 + 22 + 120)/2 = 264/2 = 132 m
কালি = √[132(132 - 122)(132 - 22)(132 - 120)]
= √[132 × 10 × 110 × 12] = √[12 × 11 × 10 × 11 × 10 × 12] = 12 × 11 × 10 = 1320 m2
3 মাহৰ ভাড়া = 1320 × 5000 × (3/12) = 1320 × 1250 = 16,50,000 টকা
মুঠ ভাড়া = 16,50,000 টকাs = (122 + 22 + 120)/2 = 264/2 = 132 m
কালি = √[132(132 - 122)(132 - 22)(132 - 120)]
= √[132 × 10 × 110 × 12] = √[12 × 11 × 10 × 11 × 10 × 12] = 12 × 11 × 10 = 1320 m2
3 মাহৰ ভাড়া = 1320 × 5000 × (3/12) = 1320 × 1250 = 16,50,000 টকা
প্ৰশ্ন নং 3 :
উদ্যানৰ এখন চোঁচৰা সেতুৰ বেৰত "উদ্যানখন সেউজ আৰু নিকা কৰি ৰাখা" বুলি ৰং কৰা আছে (চিত্ৰ 12.10)। বেৰখনৰ দাঁতিকেইটা 15 m, 11 m আৰু 6 m হ'লে ৰঙীন ঠাইখিনিৰ কালি উলিওৱা।
a = 15 m, b = 11 m, c = 6 m
s = (15 + 11 + 6)/2 = 32/2 = 16 m
কালি = √[16(16 - 15)(16 - 11)(16 - 6)] = √[16 × 1 × 5 × 10] = √800 = 20√2 m2
ৰঙীন অংশৰ কালি = 20√2 m2s = (15 + 11 + 6)/2 = 32/2 = 16 m
কালি = √[16(16 - 15)(16 - 11)(16 - 6)] = √[16 × 1 × 5 × 10] = √800 = 20√2 m2
প্ৰশ্ন নং 4 :
এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহু 18 cm আৰু 10 cm আৰু পৰিসীমা 42 cm। ত্ৰিভুজৰ কালি উলিওৱা।
তৃতীয় বাহু c = 42 - (18 + 10) = 42 - 28 = 14 cm
s = 42/2 = 21 cm
কালি = √[21(21 - 18)(21 - 10)(21 - 14)] = √[21 × 3 × 11 × 7] = √[7 × 3 × 3 × 11 × 7] = 21√11 cm2
কালি = 21√11 cm2s = 42/2 = 21 cm
কালি = √[21(21 - 18)(21 - 10)(21 - 14)] = √[21 × 3 × 11 × 7] = √[7 × 3 × 3 × 11 × 7] = 21√11 cm2
প্ৰশ্ন নং 5 :
ত্ৰিভুজৰ বাহুবোৰৰ অনুপাত 12 : 17 : 25 আৰু পৰিসীমা 540 cm। কালি উলিওৱা।
বাহুকেইটা: 120, 170, 250 cm; s = 270 cm
কালি = √[270(150)(100)(20)] = 9000 cm2
প্ৰশ্ন নং 6 :
সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা 30 cm আৰু সমান বাহু দুটা 12 cm। কালি উলিওৱা।
কালি = √[15(3)(3)(9)] = 9√15 cm2
প্ৰশ্ন নং 7 :
পৰিসীমা 24 cm বিশিষ্ট সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কালি কিমান?
কালি = (√3 / 4) × 82 = 16√3 cm2
প্ৰশ্ন নং 8 :
সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ 13 cm আৰু এটা বাহু 5 cm হ'লে কালি কিমান?
কালি = 1/2 × 12 × 5 = 30 cm2
অনুশীলনী : 12.2 (চতুৰ্ভুজ আৰু বাস্তৱ সমস্যাত হিৰ'ণৰ সূত্ৰ)
প্ৰশ্ন নং 1 :
উদ্যান ABCD ত ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m আৰু AD = 8 m। ই কিমান মাটিকালি আগুৰি আছে?
সমকোণী ΔBCD ত BD = √(122 + 52) = 13 m
• কালি (ΔBCD) = 1/2 × 12 × 5 = 30 m2
• ΔABD ত (8, 9, 13 m): s = 15 m ⇒ কালি = √[15(6)(7)(2)] = √1260 ≈ 35.5 m2
∴ মুঠ কালি = 30 + 35.5 = 65.5 m2 (প্ৰায়)
মুঠ মাটিকালি ≈ 65.5 m2• কালি (ΔBCD) = 1/2 × 12 × 5 = 30 m2
• ΔABD ত (8, 9, 13 m): s = 15 m ⇒ কালি = √[15(6)(7)(2)] = √1260 ≈ 35.5 m2
∴ মুঠ কালি = 30 + 35.5 = 65.5 m2 (প্ৰায়)
প্ৰশ্ন নং 2 :
চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm আৰু AC = 5 cm। কালি উলিওৱা।
• ΔABC ত: 32 + 42 = 52 (সমকোণী ত্ৰিভুজ) ⇒ কালি = 1/2 × 3 × 4 = 6 cm2
• ΔACD ত (5, 5, 4 cm): s = 7 cm ⇒ কালি = √[7(2)(2)(3)] = 2√21 ≈ 9.17 cm2
∴ চতুৰ্ভুজৰ মুঠ কালি = 6 + 9.17 = 15.2 cm2 (প্ৰায়)
কালি ≈ 15.2 cm2• ΔACD ত (5, 5, 4 cm): s = 7 cm ⇒ কালি = √[7(2)(2)(3)] = 2√21 ≈ 9.17 cm2
∴ চতুৰ্ভুজৰ মুঠ কালি = 6 + 9.17 = 15.2 cm2 (প্ৰায়)
প্ৰশ্ন নং 3 :
ৰাধাই ৰঙীন কাগজেৰে এৰোপ্লেনৰ এটা চিত্ৰ তৈয়াৰ কৰিলে (চিত্ৰ 12.15)। ব্যৱহাৰ কৰা কাগজৰ মুঠ কালি উলিওৱা।
• অংশ I (ত্ৰিভুজ): 5, 5, 1 cm ⇒ s = 5.5 ⇒ কালি ≈ 2.49 cm2
• অংশ II (আয়ত): 6.5 × 1 = 6.5 cm2
• অংশ III (ট্ৰেপিজিয়াম): 1/2(1 + 2) × √3/2 ≈ 1.3 cm2
• অংশ IV আৰু V (দুয়োখন ডেউকা): 2 × (1/2 × 6 × 1.5) = 9 cm2
∴ মুঠ কাগজৰ কালি = 2.49 + 6.5 + 1.3 + 9 = 19.3 cm2 (প্ৰায়)
মুঠ কাগজৰ কালি ≈ 19.3 cm2• অংশ II (আয়ত): 6.5 × 1 = 6.5 cm2
• অংশ III (ট্ৰেপিজিয়াম): 1/2(1 + 2) × √3/2 ≈ 1.3 cm2
• অংশ IV আৰু V (দুয়োখন ডেউকা): 2 × (1/2 × 6 × 1.5) = 9 cm2
∴ মুঠ কাগজৰ কালি = 2.49 + 6.5 + 1.3 + 9 = 19.3 cm2 (প্ৰায়)
প্ৰশ্ন নং 4 :
ত্ৰিভুজ (26, 28, 30 cm) আৰু 28 cm ভূমিৰ সামান্তৰিকৰ কালি সমান হ'লে সামান্তৰিকৰ উচ্চতা কিমান?
সামান্তৰিকৰ কালি = 28 × h = 336
∴ h = 336 / 28 = 12 cm
প্ৰশ্ন নং 5 :
ৰম্বাছৰ বাহু 30 m আৰু কৰ্ণ 48 m হ'লে 18 জনী গাইৰ প্ৰতিজনীয়ে কিমান ঘাঁহনি পাব?
মুঠ কালি = 2 × 432 = 864 m2
প্ৰতিজনী গাইয়ে পাব = 864 / 18 = 48 m2
প্ৰশ্ন নং 6 :
ছাতি এটাৰ 10 টা টুকুৰা (20, 50, 50 cm)। দুটা ৰঙৰ প্ৰতিটো ৰং কিমানকৈ লাগিব? (চিত্ৰ 12.16)
প্ৰতিটো ৰঙৰ 5 টাকৈ টুকুৰাৰ কালি = 5 × 200√6 = 1000√6 cm2
প্ৰশ্ন নং 7 :
32 cm কৰ্ণৰ বৰ্গ আৰু 6, 6, 8 cm সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ চিলাখনৰ প্ৰতিটো ভাগৰ কালি কিমান? (চিত্ৰ 12.17)
• ভাগ II (তলৰ অৰ্ধেক) = 256 cm2
• ভাগ III (নেজৰ ত্ৰিভুজ) = 17.92 cm2
প্ৰশ্ন নং 8 :
16 খন টাইলৰ (9, 28, 35 cm) ফুলৰ চানেকি পালিচ কৰাৰ খৰচ (50 পইচা/cm2) কিমান? (চিত্ৰ 12.18)
16 টা টাইলৰ মুঠ কালি ≈ 1411.2 cm2
মুঠ খৰচ = 1411.2 × 0.50 = 705.60 টকা
প্ৰশ্ন নং 9 :
ট্ৰেপিজিয়ামৰ সমান্তৰাল বাহু 25 m আৰু 10 m, অসমান্তৰাল বাহু 14 m আৰু 13 m। পথাৰৰ কালি উলিওৱা।
উচ্চতা h = (2 × 84) / 15 = 11.2 m
∴ ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি = 1/2(25 + 10) × 11.2 = 196 m2