অনুশীলনী : 11.1 (কোণ আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰাথমিক অংকন)
অংকনৰ মূল নীতি: কেৱল পেঞ্চিল, স্কেল (ৰুলাৰ) আৰু কম্পাছৰ জৰিয়তে বৃত্তচাপ অংকন কৰি কোণৰ সমদ্বিখণ্ডন আৰু নিৰ্দিষ্ট জোখৰ কোণ সৃষ্টি কৰা হয়।
প্ৰশ্ন নং 1 :
এটা প্ৰদত্ত ৰশ্মিৰ আদিবিন্দুত 90° ৰ এটা কোণ অংকন কৰা আৰু অংকনৰ যথাৰ্থতা প্ৰতিপন্ন কৰা।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. AB ৰশ্মি অংকন কৰা হ'ল। A ক কেন্দ্ৰ কৰি যিকোনো ব্যাসাৰ্ধৰে বৃত্তচাপ আঁকিলে ই AB ক D বিন্দুত কাটে।
2. একে ব্যাসাৰ্ধ লৈ D ক কেন্দ্ৰ কৰি কটা বৃত্তচাপটোৱে 60° (E বিন্দু) আৰু E ৰ পৰা 120° (F বিন্দু) নিৰ্দেশ কৰে।
3. E আৰু F ৰ পৰা দুটা বৃত্তচাপ অঁকা হ'ল যাতে ইহঁতে পৰস্পৰক P বিন্দুত কাটে। AP সংযোগ কৰা হ'ল। ∠PAB = 90°।
যথাৰ্থতা প্ৰতিপন্ন: ∠EAB = 60° আৰু ∠FAB = 120°। AP য়ে 60° আৰু 120° ৰ মাজৰ কোণটোক (60°) সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। গতিকে ∠PAB = 60° + (60°/2) = 60° + 30° = 90°।
1. AB ৰশ্মি অংকন কৰা হ'ল। A ক কেন্দ্ৰ কৰি যিকোনো ব্যাসাৰ্ধৰে বৃত্তচাপ আঁকিলে ই AB ক D বিন্দুত কাটে।
2. একে ব্যাসাৰ্ধ লৈ D ক কেন্দ্ৰ কৰি কটা বৃত্তচাপটোৱে 60° (E বিন্দু) আৰু E ৰ পৰা 120° (F বিন্দু) নিৰ্দেশ কৰে।
3. E আৰু F ৰ পৰা দুটা বৃত্তচাপ অঁকা হ'ল যাতে ইহঁতে পৰস্পৰক P বিন্দুত কাটে। AP সংযোগ কৰা হ'ল। ∠PAB = 90°।
যথাৰ্থতা প্ৰতিপন্ন: ∠EAB = 60° আৰু ∠FAB = 120°। AP য়ে 60° আৰু 120° ৰ মাজৰ কোণটোক (60°) সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। গতিকে ∠PAB = 60° + (60°/2) = 60° + 30° = 90°।
প্ৰশ্ন নং 2 :
এটা প্ৰদত্ত ৰশ্মিৰ আদিবিন্দুত এটা 45° কোণ অংকন কৰা আৰু অংকনৰ যথাৰ্থতা প্ৰতিপন্ন কৰা।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. ১ নং প্ৰশ্নৰ দৰে প্ৰথমে A বিন্দুত 90° কোণ অংকন কৰা হ'ল।
2. এতিয়া 90° কোণটোক কম্পাছৰ সহায়ত সমদ্বিখণ্ডিত কৰি AC ৰশ্মি টনা হ'ল।
3. ∠CAB = 45° পোৱা গ'ল।
যথাৰ্থতা: ∠CAB = 1/2 × 90° = 45°।
1. ১ নং প্ৰশ্নৰ দৰে প্ৰথমে A বিন্দুত 90° কোণ অংকন কৰা হ'ল।
2. এতিয়া 90° কোণটোক কম্পাছৰ সহায়ত সমদ্বিখণ্ডিত কৰি AC ৰশ্মি টনা হ'ল।
3. ∠CAB = 45° পোৱা গ'ল।
যথাৰ্থতা: ∠CAB = 1/2 × 90° = 45°।
প্ৰশ্ন নং 3 : তলৰ মাপৰ কোণ অংকন কৰা: (i) 30°, (ii) 22½°, (iii) 15°
(i) 30°: 60° ৰ কোণ আঁকি তাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 30° কোণ পোৱা যায় (60°/2 = 30°)।
(ii) 22½°: 45° কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 22½° কোণ পোৱা যায় (45°/2 = 22.5°)।
(iii) 15°: 30° কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 15° কোণ পোৱা যায় (30°/2 = 15°)।
(ii) 22½°: 45° কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 22½° কোণ পোৱা যায় (45°/2 = 22.5°)।
(iii) 15°: 30° কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 15° কোণ পোৱা যায় (30°/2 = 15°)।
প্ৰশ্ন নং 4 : তলৰ কোণবোৰ অংকন কৰা আৰু প্ৰট্ৰেক্টৰেৰে জোখা: (i) 75°, (ii) 105°, (iii) 135°
(i) 75°: 60° আৰু 90° ৰ মধ্যৱৰ্তী কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 75° পোৱা যায় (60° + 15° = 75°)।
(ii) 105°: 90° আৰু 120° ৰ মধ্যৱৰ্তী কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 105° পোৱা যায় (90° + 15° = 105°)।
(iii) 135°: 90° আৰু 180° ৰ মাজৰ কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 135° পোৱা যায় (90° + 45° = 135°)।
(ii) 105°: 90° আৰু 120° ৰ মধ্যৱৰ্তী কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 105° পোৱা যায় (90° + 15° = 105°)।
(iii) 135°: 90° আৰু 180° ৰ মাজৰ কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে 135° পোৱা যায় (90° + 45° = 135°)।
প্ৰশ্ন নং 5 :
কোনো এক বাহুৰ দীঘ লৈ এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ অংকন কৰা আৰু অংকন পদ্ধতিৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. যিকোনো নিৰ্দিষ্ট জোখৰ ৰেখাখণ্ড AB অঁকা হ'ল।
2. A ক কেন্দ্ৰ কৰি AB সমান ব্যাসাৰ্ধ লৈ এটা বৃত্তচাপ অঁকা হ'ল।
3. B ক কেন্দ্ৰ কৰি একে ব্যাসাৰ্ধৰে আন এটা বৃত্তচাপ আঁকিলে ই পূৰ্বৰ চাপক C বিন্দুত কাটে।
4. AC আৰু BC সংযোগ কৰা হ'ল। ΔABC এটা নিৰ্ণেয় সমবাহু ত্ৰিভুজ।
যুক্তিযুক্ততা: অংকন অনুসৰি AB = AC = BC (একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ)। তিনিওটা বাহু সমান বাবে ই এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।
1. যিকোনো নিৰ্দিষ্ট জোখৰ ৰেখাখণ্ড AB অঁকা হ'ল।
2. A ক কেন্দ্ৰ কৰি AB সমান ব্যাসাৰ্ধ লৈ এটা বৃত্তচাপ অঁকা হ'ল।
3. B ক কেন্দ্ৰ কৰি একে ব্যাসাৰ্ধৰে আন এটা বৃত্তচাপ আঁকিলে ই পূৰ্বৰ চাপক C বিন্দুত কাটে।
4. AC আৰু BC সংযোগ কৰা হ'ল। ΔABC এটা নিৰ্ণেয় সমবাহু ত্ৰিভুজ।
যুক্তিযুক্ততা: অংকন অনুসৰি AB = AC = BC (একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ)। তিনিওটা বাহু সমান বাবে ই এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।
অনুশীলনী : 11.2 (চৰ্তসাপেক্ষে ত্ৰিভুজৰ অংকন)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ΔABC অংকন কৰা য'ত BC = 7 cm, ∠B = 75° আৰু AB + AC = 13 cm।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. ভূমি BC = 7 cm অঁকা হ'ল। B বিন্দুত ∠XBC = 75° কোণ অংকন কৰা হ'ল।
2. BX ৰশ্মিৰ পৰা BD = 13 cm কাটি লোৱা হ'ল। CD সংযোগ কৰা হ'ল।
3. CD ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে BD ক A বিন্দুত ছেদ কৰে। AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔABC য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ। (কাৰণ AD = AC, গতিকে AB + AC = BD = 13 cm)
1. ভূমি BC = 7 cm অঁকা হ'ল। B বিন্দুত ∠XBC = 75° কোণ অংকন কৰা হ'ল।
2. BX ৰশ্মিৰ পৰা BD = 13 cm কাটি লোৱা হ'ল। CD সংযোগ কৰা হ'ল।
3. CD ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে BD ক A বিন্দুত ছেদ কৰে। AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔABC য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ। (কাৰণ AD = AC, গতিকে AB + AC = BD = 13 cm)
প্ৰশ্ন নং 2 :
ΔABC অংকন কৰা য'ত BC = 8 cm, ∠B = 45° আৰু AB - AC = 3.5 cm।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. ভূমি BC = 8 cm অঁকা হ'ল আৰু B বিন্দুত ∠XBC = 45° অংকন কৰা হ'ল।
2. BX ৰশ্মিৰ পৰা BD = 3.5 cm কাটি CD সংযোগ কৰা হ'ল।
3. CD ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে BX ক A বিন্দুত কাটে। AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔABC য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ। (কাৰণ AD = AC, সেয়ে AB - AC = BD = 3.5 cm)
1. ভূমি BC = 8 cm অঁকা হ'ল আৰু B বিন্দুত ∠XBC = 45° অংকন কৰা হ'ল।
2. BX ৰশ্মিৰ পৰা BD = 3.5 cm কাটি CD সংযোগ কৰা হ'ল।
3. CD ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে BX ক A বিন্দুত কাটে। AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔABC য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ। (কাৰণ AD = AC, সেয়ে AB - AC = BD = 3.5 cm)
প্ৰশ্ন নং 3 :
ΔPQR অংকন কৰা য'ত QR = 6 cm, ∠Q = 60° আৰু PR - PQ = 2 cm।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. QR = 6 cm আঁকি Q বিন্দুত 60° ৰ ৰশ্মি QX আৰু তাৰ বিপৰীতফালে QY বঢ়োৱা হ'ল।
2. যিহেতু PR > PQ, সেয়ে তলৰ ৰশ্মি QY ৰ পৰা QD = 2 cm কটা হ'ল আৰু DR সংযোগ কৰা হ'ল।
3. DR ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে QX ক P বিন্দুত কাটে। PR সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔPQR য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ। (PD = PR, সেয়ে PR - PQ = QD = 2 cm)
1. QR = 6 cm আঁকি Q বিন্দুত 60° ৰ ৰশ্মি QX আৰু তাৰ বিপৰীতফালে QY বঢ়োৱা হ'ল।
2. যিহেতু PR > PQ, সেয়ে তলৰ ৰশ্মি QY ৰ পৰা QD = 2 cm কটা হ'ল আৰু DR সংযোগ কৰা হ'ল।
3. DR ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে QX ক P বিন্দুত কাটে। PR সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔPQR য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ। (PD = PR, সেয়ে PR - PQ = QD = 2 cm)
প্ৰশ্ন নং 4 :
ΔXYZ অংকন কৰা য'ত ∠Y = 30°, ∠Z = 90° আৰু XY + YZ + ZX = 11 cm।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. পৰিসীমাৰ সমান PQ = 11 cm ৰেখাখণ্ড টনা হ'ল।
2. P বিন্দুত 30° ৰ আধা 15° আৰু Q বিন্দুত 90° ৰ আধা 45° কোণ অংকন কৰি দুয়োৰে ছেদবিন্দু X নিৰ্ণয় কৰা হ'ল।
3. PX আৰু QX ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে PQ ক ক্ৰমে Y আৰু Z বিন্দুত কাটে। XY আৰু XZ সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔXYZ য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ।
1. পৰিসীমাৰ সমান PQ = 11 cm ৰেখাখণ্ড টনা হ'ল।
2. P বিন্দুত 30° ৰ আধা 15° আৰু Q বিন্দুত 90° ৰ আধা 45° কোণ অংকন কৰি দুয়োৰে ছেদবিন্দু X নিৰ্ণয় কৰা হ'ল।
3. PX আৰু QX ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে PQ ক ক্ৰমে Y আৰু Z বিন্দুত কাটে। XY আৰু XZ সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔXYZ য়েই নিৰ্ণেয় ত্ৰিভুজ।
প্ৰশ্ন নং 5 :
এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ আঁকা যাৰ ভূমি 12 cm আৰু অতিভুজ আৰু আনটো বাহুৰ সমষ্টি 18 cm।
অংকনৰ প্ৰণালী:
1. ভূমি BC = 12 cm অঁকা হ'ল। B বিন্দুত ∠XBC = 90° অংকন কৰা হ'ল।
2. BX ৰ পৰা BD = 18 cm কাটি লৈ CD সংযোগ কৰা হ'ল।
3. CD ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে BD ক A বিন্দুত কাটে। AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔABC য়েই নিৰ্ণেয় সমকোণী ত্ৰিভুজ। (কাৰণ AD = AC, গতিকে AB + AC = 18 cm)
1. ভূমি BC = 12 cm অঁকা হ'ল। B বিন্দুত ∠XBC = 90° অংকন কৰা হ'ল।
2. BX ৰ পৰা BD = 18 cm কাটি লৈ CD সংযোগ কৰা হ'ল।
3. CD ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে BD ক A বিন্দুত কাটে। AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∴ ΔABC য়েই নিৰ্ণেয় সমকোণী ত্ৰিভুজ। (কাৰণ AD = AC, গতিকে AB + AC = 18 cm)