অনুশীলনী : 2.1 (এক চলকযুক্ত বহুপদ আৰু মাত্ৰা)
বহুপদৰ চৰ্ত: বীজগণিতীয় ৰাশিত চলকৰ সূচক সদায় পূৰ্ণ সংখ্যা (Whole Number: 0, 1, 2...) হ'ব লাগিব। চলকৰ সৰ্বোচ্চ সূচকটোৱেই হ'ল বহুপদটোৰ মাত্ৰা (Degree)।
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ কোনকেইটা ৰাশি এটা চলকযুক্ত বহুপদ আৰু কোনকেইটা নহয়? যুক্তি সহকাৰে লিখা:
(i) 4x2 - 3x + 7: এটা চলকযুক্ত বহুপদ (চলক x ৰ সূচক 2 আৰু 1, যিবোৰ পূৰ্ণসংখ্যা)।
(ii) y2 + √2: এটা চলকযুক্ত বহুপদ (চলক y ৰ সূচক 2, এটা পূৰ্ণসংখ্যা)।
(iii) 3√t + t√2 = 3t1/2 + √2t: বহুপদ নহয় (চলক t ৰ সূচক 1/2 পূৰ্ণসংখ্যা নহয়)।
(iv) y + 2/y = y + 2y-1: বহুপদ নহয় (চলক y ৰ সূচক -1 পূৰ্ণসংখ্যা নহয়)।
(v) x10 + y3 + z50: বহুপদ হয়, কিন্তু ই তিনিটা চলকযুক্ত (x, y, z), এক চলকযুক্ত নহয়।
(ii) y2 + √2: এটা চলকযুক্ত বহুপদ (চলক y ৰ সূচক 2, এটা পূৰ্ণসংখ্যা)।
(iii) 3√t + t√2 = 3t1/2 + √2t: বহুপদ নহয় (চলক t ৰ সূচক 1/2 পূৰ্ণসংখ্যা নহয়)।
(iv) y + 2/y = y + 2y-1: বহুপদ নহয় (চলক y ৰ সূচক -1 পূৰ্ণসংখ্যা নহয়)।
(v) x10 + y3 + z50: বহুপদ হয়, কিন্তু ই তিনিটা চলকযুক্ত (x, y, z), এক চলকযুক্ত নহয়।
প্ৰশ্ন নং 2 :
তলৰ প্ৰতিটোৰে x2 ৰ সহগ (Coefficient) লিখা:
(i) 2 + x2 + x ⇒ x2 ৰ সহগ = 1
(ii) 2 - x2 + x3 ⇒ x2 ৰ সহগ = -1
(iii) (π/2)x2 + x ⇒ x2 ৰ সহগ = π/2
(iv) √2x - 1 ⇒ x2 পদ নাই বাবে সহগ = 0
(v) (2x - 3)(x2 - 3x + 1) = 2x3 - 9x2 + 11x - 3 ⇒ x2 ৰ সহগ = -9
(ii) 2 - x2 + x3 ⇒ x2 ৰ সহগ = -1
(iii) (π/2)x2 + x ⇒ x2 ৰ সহগ = π/2
(iv) √2x - 1 ⇒ x2 পদ নাই বাবে সহগ = 0
(v) (2x - 3)(x2 - 3x + 1) = 2x3 - 9x2 + 11x - 3 ⇒ x2 ৰ সহগ = -9
প্ৰশ্ন নং 3 :
35 মাত্ৰাৰ দ্বিপদ আৰু 100 মাত্ৰাৰ একপদৰ উদাহৰণ দিয়া:
• 35 মাত্ৰাৰ দ্বিপদ: x35 - 4 (বা 2y35 + 7)
• 100 মাত্ৰাৰ একপদ: y100 (বা 5x100)
• 100 মাত্ৰাৰ একপদ: y100 (বা 5x100)
প্ৰশ্ন নং 4 :
তলৰ বহুপদবোৰৰ মাত্ৰা (Degree) লিখা:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x → মাত্ৰা = 3
(ii) 4 - y2 → মাত্ৰা = 2
(iii) 5t - √7 → মাত্ৰা = 1
(iv) 3 = 3x0 → মাত্ৰা = 0
(ii) 4 - y2 → মাত্ৰা = 2
(iii) 5t - √7 → মাত্ৰা = 1
(iv) 3 = 3x0 → মাত্ৰা = 0
প্ৰশ্ন নং 5 : ৰৈখিক, দ্বিঘাত আৰু ত্ৰিঘাত বহুপদ শ্ৰেণীবিভাজন কৰা:
• (i) x2 + x → দ্বিঘাত (Quadratic)
• (ii) x - x3 → ত্ৰিঘাত (Cubic)
• (iii) y + y2 + 4 → দ্বিঘাত (Quadratic)
• (iv) 1 + x → ৰৈখিক (Linear)
• (ii) x - x3 → ত্ৰিঘাত (Cubic)
• (iii) y + y2 + 4 → দ্বিঘাত (Quadratic)
• (iv) 1 + x → ৰৈখিক (Linear)
• (v) 3t → ৰৈখিক (Linear)
• (vi) r2 → দ্বিঘাত (Quadratic)
• (vii) 7x3 → ত্ৰিঘাত (Cubic)
• (vi) r2 → দ্বিঘাত (Quadratic)
• (vii) 7x3 → ত্ৰিঘাত (Cubic)
অনুশীলনী : 2.2 (বহুপদৰ মান আৰু শূন্য)
বহুপদৰ শূন্য (Zero of a Polynomial): x = c ক p(x) ৰ শূন্য বোলা হয় যদিহে p(c) = 0 হয়। ৰৈখিক বহুপদ ax + b ৰ মাত্ৰ এটা শূন্য থাকে আৰু সেয়া হ'ল x = -b/a।
প্ৰশ্ন নং 1 :
p(x) = 5x - 4x2 + 3 ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা:
(i) x = 0 ⇒ p(0) = 5(0) - 4(0) + 3 = 3
(ii) x = -1 ⇒ p(-1) = 5(-1) - 4(-1)2 + 3 = -5 - 4 + 3 = -6
(iii) x = 2 ⇒ p(2) = 5(2) - 4(2)2 + 3 = 10 - 16 + 3 = -3
(ii) x = -1 ⇒ p(-1) = 5(-1) - 4(-1)2 + 3 = -5 - 4 + 3 = -6
(iii) x = 2 ⇒ p(2) = 5(2) - 4(2)2 + 3 = 10 - 16 + 3 = -3
প্ৰশ্ন নং 2 :
প্ৰতিটোৰ বাবে p(0), p(1) আৰু p(2) নিৰ্ণয় কৰা:
(i) p(y) = y2 - y + 1 ⇒ p(0)=1, p(1)=1, p(2)=3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t2 - t3 ⇒ p(0)=2, p(1)=4, p(2)=4
(iii) p(x) = x3 ⇒ p(0)=0, p(1)=1, p(2)=8
(iv) p(x) = (x - 1)(x + 1) ⇒ p(0)=-1, p(1)=0, p(2)=3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t2 - t3 ⇒ p(0)=2, p(1)=4, p(2)=4
(iii) p(x) = x3 ⇒ p(0)=0, p(1)=1, p(2)=8
(iv) p(x) = (x - 1)(x + 1) ⇒ p(0)=-1, p(1)=0, p(2)=3
প্ৰশ্ন নং 3 : কাষৰ মানবোৰ বহুপদটোৰ শূন্য হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা:
(i) p(x) = 3x + 1, x = -1/3 ⇒ p(-1/3) = 0 → শূন্য হয়
(ii) p(x) = 5x - π, x = 4/5 ⇒ p(4/5) = 4 - π ≠ 0 → নহয়
(iii) p(x) = x2 - 1, x = 1, -1 ⇒ p(1)=0, p(-1)=0 → দুয়োটা শূন্য হয়
(iv) p(x) = (x + 1)(x - 2), x = -1, 2 ⇒ p(-1)=0, p(2)=0 → দুয়োটা শূন্য হয়
(v) p(x) = x2, x = 0 ⇒ p(0) = 0 → শূন্য হয়
(vi) p(x) = lx + m, x = -m/l ⇒ p(-m/l) = 0 → শূন্য হয়
(vii) p(x) = 3x2 - 1, x = -1/√3, 2/√3 ⇒ -1/√3 হয়, কিন্তু 2/√3 নহয়
(viii) p(x) = 2x + 1, x = 1/2 ⇒ p(1/2) = 2 ≠ 0 → নহয়
(ii) p(x) = 5x - π, x = 4/5 ⇒ p(4/5) = 4 - π ≠ 0 → নহয়
(iii) p(x) = x2 - 1, x = 1, -1 ⇒ p(1)=0, p(-1)=0 → দুয়োটা শূন্য হয়
(iv) p(x) = (x + 1)(x - 2), x = -1, 2 ⇒ p(-1)=0, p(2)=0 → দুয়োটা শূন্য হয়
(v) p(x) = x2, x = 0 ⇒ p(0) = 0 → শূন্য হয়
(vi) p(x) = lx + m, x = -m/l ⇒ p(-m/l) = 0 → শূন্য হয়
(vii) p(x) = 3x2 - 1, x = -1/√3, 2/√3 ⇒ -1/√3 হয়, কিন্তু 2/√3 নহয়
(viii) p(x) = 2x + 1, x = 1/2 ⇒ p(1/2) = 2 ≠ 0 → নহয়
প্ৰশ্ন নং 4 : বহুপদৰ শূন্য নিৰ্ণয় কৰা (p(x) = 0):
(i) x + 5 = 0 ⇒ x = -5
(ii) x - 5 = 0 ⇒ x = 5
(iii) 2x + 5 = 0 ⇒ x = -5/2
(iv) 3x - 2 = 0 ⇒ x = 2/3
(v) 3x = 0 ⇒ x = 0
(vi) ax = 0 (a ≠ 0) ⇒ x = 0
(vii) cx + d = 0 (c ≠ 0) ⇒ x = -d/c
(ii) x - 5 = 0 ⇒ x = 5
(iii) 2x + 5 = 0 ⇒ x = -5/2
(iv) 3x - 2 = 0 ⇒ x = 2/3
(v) 3x = 0 ⇒ x = 0
(vi) ax = 0 (a ≠ 0) ⇒ x = 0
(vii) cx + d = 0 (c ≠ 0) ⇒ x = -d/c
অনুশীলনী : 2.3 (ভাগশেষ উপপাদ্য আৰু বহুপদৰ হৰণ)
ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem): যদি p(x) বহুপদক (x - a) ৰে হৰণ কৰা হয়, তেন্তে ভাগশেষ হ'ব p(a)।
• ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।
• ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।
প্ৰশ্ন নং 1 :
p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 ক হৰণ কৰিলে ভাগশেষ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) x + 1 ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(-1) = (-1)3 + 3(-1)2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0
(ii) x - 1/2 ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(1/2) = (1/2)3 + 3(1/2)2 + 3(1/2) + 1 = 1/8 + 3/4 + 3/2 + 1 = 27/8
(iii) x ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
(iv) x + π ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(-π) = -π3 + 3π2 - 3π + 1
(v) 5 + 2x ৰে (x = -5/2) ⇒ p(-5/2) = (-125/8) + 3(25/4) + 3(-5/2) + 1 = -27/8
(ii) x - 1/2 ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(1/2) = (1/2)3 + 3(1/2)2 + 3(1/2) + 1 = 1/8 + 3/4 + 3/2 + 1 = 27/8
(iii) x ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
(iv) x + π ৰে ⇒ ভাগশেষ = p(-π) = -π3 + 3π2 - 3π + 1
(v) 5 + 2x ৰে (x = -5/2) ⇒ p(-5/2) = (-125/8) + 3(25/4) + 3(-5/2) + 1 = -27/8
প্ৰশ্ন নং 2 :
x3 - ax2 + 6x - a ক (x - a) ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ কি হ'ব?
x - a ৰ শূন্য হ'ল a।
ভাগশেষ = p(a) = a3 - a(a)2 + 6(a) - a
= a3 - a3 + 6a - a = 5a
ভাগশেষ = 5a
ভাগশেষ = p(a) = a3 - a(a)2 + 6(a) - a
= a3 - a3 + 6a - a = 5a
ভাগশেষ = 5a
প্ৰশ্ন নং 3 :
7 + 3x, 3x3 + 7x ৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা:
7 + 3x = 0 ⇒ x = -7/3
p(-7/3) = 3(-7/3)3 + 7(-7/3)
= 3(-343/27) - 49/3 = -343/9 - 147/9 = -490/9 ≠ 0
যিহেতু ভাগশেষ শূন্য নহয়, সেয়ে ই উৎপাদক নহয়।
p(-7/3) = 3(-7/3)3 + 7(-7/3)
= 3(-343/27) - 49/3 = -343/9 - 147/9 = -490/9 ≠ 0
যিহেতু ভাগশেষ শূন্য নহয়, সেয়ে ই উৎপাদক নহয়।
প্ৰশ্ন নং 4 : ভাগফল আৰু ভাগশেষ নিৰ্ণয়:
(i) (x3 - 4x2 + 2x + 5) ÷ (x - 2) ⇒ ভাগফল = x2 - 2x - 2, ভাগশেষ = 1
(ii) (4x3 - 2x2 - 3) ÷ (2x2 - 1) ⇒ ভাগফল = 2x - 1, ভাগশেষ = 2x - 4
(iii) (3x3 - 5x2 + 10x - 3) ÷ (3x + 1) ⇒ ভাগফল = x2 - 2x + 4, ভাগশেষ = -7
(iv) (x11 - 5) ÷ (x + 1) ⇒ ভাগশেষ = (-1)11 - 5 = -6
(ii) (4x3 - 2x2 - 3) ÷ (2x2 - 1) ⇒ ভাগফল = 2x - 1, ভাগশেষ = 2x - 4
(iii) (3x3 - 5x2 + 10x - 3) ÷ (3x + 1) ⇒ ভাগফল = x2 - 2x + 4, ভাগশেষ = -7
(iv) (x11 - 5) ÷ (x + 1) ⇒ ভাগশেষ = (-1)11 - 5 = -6
প্ৰশ্ন নং 7 :
ax3 + 3x2 + 5x - 4 আৰু x3 - 4x - a ক (x - 2) ৰে হৰণ কৰাত সমান ভাগশেষ পোৱা গ'লে a ৰ মান কি?
x = 2 বহালে দুয়োৰে ভাগশেষ সমান:
a(2)3 + 3(2)2 + 5(2) - 4 = 23 - 4(2) - a
⇒ 8a + 12 + 10 - 4 = 8 - 8 - a
⇒ 8a + 18 = -a ⇒ 9a = -18 ⇒ a = -2
উত্তৰ: a = -2
a(2)3 + 3(2)2 + 5(2) - 4 = 23 - 4(2) - a
⇒ 8a + 12 + 10 - 4 = 8 - 8 - a
⇒ 8a + 18 = -a ⇒ 9a = -18 ⇒ a = -2
উত্তৰ: a = -2
অনুশীলনী : 2.4 (উৎপাদক উপপাদ্য আৰু উৎপাদক বিশ্লেষণ)
উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem): (x - a) বহুপদ p(x) ৰ এটা উৎপাদক হ'ব যদি আৰু কেৱল যদি p(a) = 0 হয়।
প্ৰশ্ন নং 1 : তলৰ কোনবোৰৰ এটা উৎপাদক (x + 1) হয়?
(i) x3 + x2 + x + 1 ⇒ p(-1) = 0 → উৎপাদক হয়
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1 ⇒ p(-1) = 1 ≠ 0 → নহয়
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 ⇒ p(-1) = 1 ≠ 0 → নহয়
(iv) x3 - x2 - (2+√2)x + √2 ⇒ p(-1) = 2√2 ≠ 0 → নহয়
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1 ⇒ p(-1) = 1 ≠ 0 → নহয়
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 ⇒ p(-1) = 1 ≠ 0 → নহয়
(iv) x3 - x2 - (2+√2)x + √2 ⇒ p(-1) = 2√2 ≠ 0 → নহয়
প্ৰশ্ন নং 2 : g(x), p(x) ৰ উৎপাদক হয়নে পৰীক্ষা কৰা:
(i) p(x) = 2x3 + x2 - 2x - 1, g(x) = x + 1
p(-1) = -2 + 1 + 2 - 1 = 0 → উৎপাদক হয়
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
p(-2) = -8 + 12 - 6 + 1 = -1 ≠ 0 → উৎপাদক নহয়
(iii) p(x) = x3 - 4x2 + x + 6, g(x) = x - 3
p(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0 → উৎপাদক হয়
p(-1) = -2 + 1 + 2 - 1 = 0 → উৎপাদক হয়
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
p(-2) = -8 + 12 - 6 + 1 = -1 ≠ 0 → উৎপাদক নহয়
(iii) p(x) = x3 - 4x2 + x + 6, g(x) = x - 3
p(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0 → উৎপাদক হয়
প্ৰশ্ন নং 3 : (x - 1) উৎপাদক হ'লে k ৰ মান উলিওৱা (p(1) = 0):
(i) 12 + 1 + k = 0 ⇒ k = -2
(ii) 2(1)2 + k(1) + √2 = 0 ⇒ k = -(2 + √2)
(iii) k(1)2 - √2(1) + 1 = 0 ⇒ k = √2 - 1
(iv) k(1)2 - 3(1) + k = 0 ⇒ 2k = 3 ⇒ k = 3/2
(ii) 2(1)2 + k(1) + √2 = 0 ⇒ k = -(2 + √2)
(iii) k(1)2 - √2(1) + 1 = 0 ⇒ k = √2 - 1
(iv) k(1)2 - 3(1) + k = 0 ⇒ 2k = 3 ⇒ k = 3/2
প্ৰশ্ন নং 4 : মধ্যপদ বিভাজনেৰে উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:
(i) 12x2 - 7x + 1 = (3x - 1)(4x - 1)
(ii) 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
(iii) 6x2 + 5x - 6 = (2x + 3)(3x - 2)
(iv) 3x2 - x - 4 = (3x - 4)(x + 1)
(v) 2x2 + x - 45 = (2x - 9)(x + 5)
(vi) y2 + 18y + 65 = (y + 13)(y + 5)
(vii) p2 + 14p + 13 = (p + 13)(p + 1)
(viii) -x2 + 11x - 18 = (9 - x)(x - 2)
(ii) 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
(iii) 6x2 + 5x - 6 = (2x + 3)(3x - 2)
(iv) 3x2 - x - 4 = (3x - 4)(x + 1)
(v) 2x2 + x - 45 = (2x - 9)(x + 5)
(vi) y2 + 18y + 65 = (y + 13)(y + 5)
(vii) p2 + 14p + 13 = (p + 13)(p + 1)
(viii) -x2 + 11x - 18 = (9 - x)(x - 2)
প্ৰশ্ন নং 5 : ত্ৰিঘাত বহুপদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ:
(i) x3 - 2x2 - x + 2 = x2(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)
(ii) x3 - 3x2 - 9x - 5 = (x + 1)(x2 - 4x - 5) = (x + 1)2(x - 5)
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 1)(x + 2)(x + 10)
(ii) x3 - 3x2 - 9x - 5 = (x + 1)(x2 - 4x - 5) = (x + 1)2(x - 5)
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 1)(x + 2)(x + 10)
(iv) 2y3 + y2 - 2y - 1 = y2(2y + 1) - 1(2y + 1) = (y - 1)(y + 1)(2y + 1)
(v) x3 + x2 - x - 1 = x2(x + 1) - 1(x + 1) = (x - 1)(x + 1)2
(vi) x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x2 + 1)
(v) x3 + x2 - x - 1 = x2(x + 1) - 1(x + 1) = (x - 1)(x + 1)2
(vi) x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x2 + 1)
প্ৰশ্ন নং 6 :
যদি x2 + px + q আৰু x2 + mx + n বহুপদ দুটাৰ (x + a) এটা সাধাৰণ উৎপাদক হয়, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে: a = (n - q)/(p - m)।
যিহেতু x + a এটা সাধাৰণ উৎপাদক, সেয়ে x = -a বহালে দুয়োটা বহুপদ শূন্য হ'ব:
1. (-a)2 + p(-a) + q = 0 ⇒ a2 - ap + q = 0 —— (1)
2. (-a)2 + m(-a) + n = 0 ⇒ a2 - am + n = 0 —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা:
a2 - ap + q = a2 - am + n
⇒ -ap + am = n - q
⇒ -a(p - m) = n - q ⇒ a(p - m) = -(n - q) বা a(m - p) = n - q
⇒ a = (n - q) / (p - m) (প্ৰমাণিত)
1. (-a)2 + p(-a) + q = 0 ⇒ a2 - ap + q = 0 —— (1)
2. (-a)2 + m(-a) + n = 0 ⇒ a2 - am + n = 0 —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা:
a2 - ap + q = a2 - am + n
⇒ -ap + am = n - q
⇒ -a(p - m) = n - q ⇒ a(p - m) = -(n - q) বা a(m - p) = n - q
⇒ a = (n - q) / (p - m) (প্ৰমাণিত)