অনুশীলনী : 10.1 (বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ ধাৰণা)
উপপাদ্য 10.1: এটা বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত টনা স্পৰ্শকডাল স্পৰ্শবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত লম্ব (অৰ্থাৎ OP ⊥ XY)।
প্ৰশ্ন নং 1 :
এটা বৃত্তৰ কিমানবোৰ স্পৰ্শক থাকিব পাৰে?
এটা বৃত্তত অসংখ্য (অসীম) বিন্দু থাকে আৰু প্ৰতিটো বিন্দুতে এডালকৈ নিৰ্দিষ্ট স্পৰ্শক আঁকিব পাৰি।
উত্তৰ: এটা বৃত্তৰ অসীম সংখ্যক (বা অসংখ্য) স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।
উত্তৰ: এটা বৃত্তৰ অসীম সংখ্যক (বা অসংখ্য) স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।
প্ৰশ্ন নং 2 :
খালী ঠাই পূৰ্ণ কৰা:
(i) এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকে ইয়াক মাত্ৰ এটা বিন্দুত ছেদ কৰে।
(ii) এটা বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল ৰেখাক ছেদক (Secant) বোলে।
(iii) এটা বৃত্তৰ বৰ বেছি দুডাল সমান্তৰাল স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।
(iv) এটা বৃত্তৰ এডাল স্পৰ্শক আৰু বৃত্তটোৰ উমৈহতীয়া বিন্দুটোক স্পৰ্শবিন্দু (Point of contact) বোলে।
(ii) এটা বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল ৰেখাক ছেদক (Secant) বোলে।
(iii) এটা বৃত্তৰ বৰ বেছি দুডাল সমান্তৰাল স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।
(iv) এটা বৃত্তৰ এডাল স্পৰ্শক আৰু বৃত্তটোৰ উমৈহতীয়া বিন্দুটোক স্পৰ্শবিন্দু (Point of contact) বোলে।
প্ৰশ্ন নং 3 :
5 cm ব্যাসাৰ্ধযুক্ত এটা বৃত্তৰ এটা বিন্দু P ত টনা এডাল স্পৰ্শক PQ য়ে কেন্দ্ৰ O ৰ মাজেৰে যোৱা এডাল ৰেখাক Q বিন্দুত লগ লাগে যাতে OQ = 12 cm। PQ ৰ দৈৰ্ঘ্য হ'ল:
(A) 12 cm | (B) 13 cm | (C) 8.5 cm | (D) √119 cm
(A) 12 cm | (B) 13 cm | (C) 8.5 cm | (D) √119 cm
উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি, স্পৰ্শবিন্দুত ব্যাসাৰ্ধ আৰু স্পৰ্শক লম্বভাৱে থাকে, অৰ্থাৎ OP ⊥ PQ।
সমকোণী ΔOPQ ত পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰমতে:
OQ2 = OP2 + PQ2
⇒ 122 = 52 + PQ2
⇒ 144 = 25 + PQ2
⇒ PQ2 = 144 - 25 = 119
⇒ PQ = √119 cm
শুদ্ধ উত্তৰ: (D) √119 cm
OQ2 = OP2 + PQ2
⇒ 122 = 52 + PQ2
⇒ 144 = 25 + PQ2
⇒ PQ2 = 144 - 25 = 119
⇒ PQ = √119 cm
শুদ্ধ উত্তৰ: (D) √119 cm
প্ৰশ্ন নং 4 :
এটা বৃত্ত আৰু এডাল প্ৰদত্ত ৰেখাৰ সমান্তৰালকৈ দুডাল ৰেখা আঁকা যাতে এডাল স্পৰ্শক হয় আৰু আনডাল ছেদক হয়।
অনুশীলনী : 10.2 (স্পৰ্শকৰ ধৰ্ম আৰু প্ৰমাণ)
উপপাদ্য 10.2: বৃত্তৰ কোনো বহিঃবিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শক দুডালৰ দৈৰ্ঘ্য সমান (অৰ্থাৎ PQ = PR)।
প্ৰশ্ন নং 1 :
এটা বিন্দু Q ৰ পৰা এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকডালৰ দৈৰ্ঘ্য 24 cm আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা Q ৰ দূৰত্ব 25 cm। বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ হ'ল:
(A) 7 cm | (B) 12 cm | (C) 15 cm | (D) 24.5 cm
(A) 7 cm | (B) 12 cm | (C) 15 cm | (D) 24.5 cm
ধৰা হ'ল কেন্দ্ৰ O আৰু স্পৰ্শবিন্দু P। তেন্তে OP ⊥ PQ।
সমকোণী ΔOPQ ত:
OP = √(OQ2 - PQ2) = √(252 - 242) = √(625 - 576) = √49 = 7 cm
শুদ্ধ উত্তৰ: (A) 7 cm
OP = √(OQ2 - PQ2) = √(252 - 242) = √(625 - 576) = √49 = 7 cm
শুদ্ধ উত্তৰ: (A) 7 cm
প্ৰশ্ন নং 2 :
চিত্ৰ 10.11 ত যদি O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তৰ TP আৰু TQ দুডাল স্পৰ্শক, যাতে ∠POQ = 110°, তেন্তে ∠PTQ হ'ব:
(A) 60° | (B) 70° | (C) 80° | (D) 90°
(A) 60° | (B) 70° | (C) 80° | (D) 90°
স্পৰ্শবিন্দুত ব্যাসাৰ্ধ লম্ব হোৱা বাবে ∠OPT = 90° আৰু ∠OQT = 90°।
চতুৰ্ভুজ OPTQ ৰ চাৰিটা কোণৰ সমষ্টি 360°:
∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360°
⇒ ∠PTQ + 110° + 90° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ = 360° - 290° = 70°
শুদ্ধ উত্তৰ: (B) 70°
∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360°
⇒ ∠PTQ + 110° + 90° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ = 360° - 290° = 70°
শুদ্ধ উত্তৰ: (B) 70°
প্ৰশ্ন নং 3 :
যদি এটা বিন্দু P ৰ পৰা O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তৰ PA আৰু PB স্পৰ্শকেইডালে পৰস্পৰ 80° কোণত হালি থাকে, তেন্তে ∠POA ৰ মান হ'ব:
(A) 50° | (B) 60° | (C) 70° | (D) 80°
(A) 50° | (B) 60° | (C) 70° | (D) 80°
দিয়া আছে ∠APB = 80°। তেন্তে কেন্দ্ৰত কৰা কোণ ∠AOB = 180° - 80° = 100°।
OP ৰেখাখণ্ডই ∠AOB আৰু ∠APB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে:
∴ ∠POA = ∠AOB / 2 = 100° / 2 = 50°
শুদ্ধ উত্তৰ: (A) 50°
∴ ∠POA = ∠AOB / 2 = 100° / 2 = 50°
শুদ্ধ উত্তৰ: (A) 50°
প্ৰশ্ন নং 4 :
প্ৰমাণ কৰা যে বৃত্তৰ ব্যাসৰ মূৰত টনা স্পৰ্শকবোৰ সমান্তৰাল।
ধৰা হ'ল AB বৃত্তটোৰ এডাল ব্যাস আৰু ইয়াৰ দুই মূৰত টনা স্পৰ্শক দুডাল PQ আৰু RS।
উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি:
OA ⊥ PQ ⇒ ∠PAB = 90°
OB ⊥ RS ⇒ ∠ABS = 90°
যিহেতু এক অন্তৰ কোণ দুটা সমান (∠PAB = ∠ABS = 90°),
সেয়েহে স্পৰ্শক দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল, অৰ্থাৎ PQ ∥ RS। (প্ৰমাণিত)
OA ⊥ PQ ⇒ ∠PAB = 90°
OB ⊥ RS ⇒ ∠ABS = 90°
যিহেতু এক অন্তৰ কোণ দুটা সমান (∠PAB = ∠ABS = 90°),
সেয়েহে স্পৰ্শক দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল, অৰ্থাৎ PQ ∥ RS। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 5 :
প্ৰমাণ কৰা যে বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ স্পৰ্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়।
ধৰা হ'ল AB স্পৰ্শকৰ P স্পৰ্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্ৰ O ৰে নাযায়, আন এটা বিন্দু O' ৰে যায়।
তেন্তে ∠O'PB = 90° —— (1)
কিন্তু উপপাদ্য 10.1 মতে স্পৰ্শবিন্দুগামী ব্যাসাৰ্ধ OP ⊥ AB, সেয়েহে ∠OPB = 90° —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা ∠O'PB = ∠OPB হ'ব লাগিব, যিটো কেৱল তেতিয়াহে সম্ভৱ যদিহে O' আৰু O একেটা বিন্দু হয়।
গতিকে স্পৰ্শবিন্দুত টনা লম্বডাল নিশ্চিতভাৱে কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়। (প্ৰমাণিত)
তেন্তে ∠O'PB = 90° —— (1)
কিন্তু উপপাদ্য 10.1 মতে স্পৰ্শবিন্দুগামী ব্যাসাৰ্ধ OP ⊥ AB, সেয়েহে ∠OPB = 90° —— (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা ∠O'PB = ∠OPB হ'ব লাগিব, যিটো কেৱল তেতিয়াহে সম্ভৱ যদিহে O' আৰু O একেটা বিন্দু হয়।
গতিকে স্পৰ্শবিন্দুত টনা লম্বডাল নিশ্চিতভাৱে কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 6 :
বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 5 cm দূৰত্বত থকা এটা বিন্দু A ৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য 4 cm। বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
সমকোণী ΔOTA ত (∠T = 90°):
ব্যাসাৰ্ধ OT = √(OA2 - AT2)
= √(52 - 42) = √(25 - 16) = √9 = 3 cm
উত্তৰ: বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ = 3 cm
ব্যাসাৰ্ধ OT = √(OA2 - AT2)
= √(52 - 42) = √(25 - 16) = √9 = 3 cm
উত্তৰ: বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ = 3 cm
প্ৰশ্ন নং 7 :
5 cm আৰু 3 cm ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা ঐককেন্দ্ৰিক বৃত্ত আছে। ডাঙৰ বৃত্তৰ জ্যাডালে সৰু বৃত্তক স্পৰ্শ কৰিলে তাৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
সৰু বৃত্তৰ স্পৰ্শবিন্দুত OP ⊥ AB আৰু ই জ্যা AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
AP = √(OA2 - OP2) = √(52 - 32) = √16 = 4 cm
জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য AB = 2 × AP = 2 × 4 = 8 cm
উত্তৰ: জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য = 8 cm
AP = √(OA2 - OP2) = √(52 - 32) = √16 = 4 cm
জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য AB = 2 × AP = 2 × 4 = 8 cm
উত্তৰ: জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য = 8 cm
প্ৰশ্ন নং 8 :
এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ ABCD এটা চতুৰ্ভুজ আঁকা হ'ল (চিত্ৰ 10.12)। প্ৰমাণ কৰা যে AB + CD = AD + BC।
উপপাদ্য 10.2 অনুসৰি, বহিঃবিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান:
AP = AS —— (1)
BP = BQ —— (2)
CR = CQ —— (3)
DR = DS —— (4)
সমীকৰণ (1), (2), (3) আৰু (4) যোগ কৰি:
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC (প্ৰমাণিত)
BP = BQ —— (2)
CR = CQ —— (3)
DR = DS —— (4)
সমীকৰণ (1), (2), (3) আৰু (4) যোগ কৰি:
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 9 :
চিত্ৰ 10.13 ত, O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তৰ XY আৰু X'Y' দুডাল সমান্তৰাল স্পৰ্শক আৰু আন এডাল স্পৰ্শক AB য়ে ইহঁতক A আৰু B ত কাটে। প্ৰমাণ কৰা যে ∠AOB = 90°।
O আৰু C সংযোগ কৰা হ'ল।
ΔOPA ≅ ΔOCA ⇒ ∠POA = ∠COA
ΔOQB ≅ ΔOCB ⇒ ∠QOB = ∠COB
যিহেতু POQ এডাল সৰলৰেখা:
∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180°
⇒ 2∠COA + 2∠COB = 180° ⇒ 2(∠AOB) = 180°
⇒ ∠AOB = 90° (প্ৰমাণিত)
ΔOQB ≅ ΔOCB ⇒ ∠QOB = ∠COB
যিহেতু POQ এডাল সৰলৰেখা:
∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180°
⇒ 2∠COA + 2∠COB = 180° ⇒ 2(∠AOB) = 180°
⇒ ∠AOB = 90° (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 10 :
প্ৰমাণ কৰা যে বহিঃবিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শক দুডালৰ মাজৰ কোণটো স্পৰ্শবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডই কেন্দ্ৰত কৰা কোণৰ সম্পূৰক।
চতুৰ্ভুজ OPTQ ত ∠OPT = 90° আৰু ∠OQT = 90°।
∠PTQ + ∠POQ + 90° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ + ∠POQ = 180° (প্ৰমাণিত)
∠PTQ + ∠POQ + 90° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ + ∠POQ = 180° (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 11 :
প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰি থকা সামান্তৰিকটো এটা ৰম্বাছ।
প্ৰশ্ন 8 মতে: AB + CD = AD + BC
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু সমান বাবে: 2AB = 2AD ⇒ AB = AD
যিহেতু সন্নিহিত বাহু সমান, সেয়েহে ABCD এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু সমান বাবে: 2AB = 2AD ⇒ AB = AD
যিহেতু সন্নিহিত বাহু সমান, সেয়েহে ABCD এটা ৰম্বাছ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 12 :
4 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ ΔABC অঁকা হ'ল যাতে BD = 8 cm আৰু DC = 6 cm (চিত্ৰ 10.14)। AB আৰু AC বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
স্পৰ্শকৰ ধৰ্মমতে: CF = CD = 6 cm আৰু BE = BD = 8 cm। ধৰা AE = AF = x cm।
বাহু তিনিটা: a = 14 cm, b = (x + 6) cm, c = (x + 8) cm
s = x + 14
কালি = √[s(s - a)(s - b)(s - c)] = √[48x(x + 14)]
আকৌ কালি = r × s = 4(x + 14)
বৰ্গ কৰি: 48x(x + 14) = 16(x + 14)2 ⇒ 3x = x + 14 ⇒ x = 7 cm
• AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm
• AC = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm
উত্তৰ: AB = 15 cm আৰু AC = 13 cms = x + 14
কালি = √[s(s - a)(s - b)(s - c)] = √[48x(x + 14)]
আকৌ কালি = r × s = 4(x + 14)
বৰ্গ কৰি: 48x(x + 14) = 16(x + 14)2 ⇒ 3x = x + 14 ⇒ x = 7 cm
• AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm
• AC = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm
প্ৰশ্ন নং 13 :
প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰি থকা এটা চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহুবোৰে বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰত সম্পূৰক কোণ উৎপন্ন কৰে।
চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ কেন্দ্ৰ O লৈ স্পৰ্শবিন্দুসমূহ সংযোগ কৰিলে 8 টা সৰ্বসম ত্ৰিভুজৰ যোৰ পোৱা যায়।
কেন্দ্ৰত উৎপন্ন কোণসমূহ: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8
মুঠ কোণ 360° বাবে:
2(∠1 + ∠4 + ∠5 + ∠8) = 360°
⇒ (∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) = 180°
⇒ ∠AOB + ∠COD = 180° আৰু ∠BOC + ∠AOD = 180° (প্ৰমাণিত)
কেন্দ্ৰত উৎপন্ন কোণসমূহ: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8
মুঠ কোণ 360° বাবে:
2(∠1 + ∠4 + ∠5 + ∠8) = 360°
⇒ (∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) = 180°
⇒ ∠AOB + ∠COD = 180° আৰু ∠BOC + ∠AOD = 180° (প্ৰমাণিত)