অনুশীলনী : 9.1 (উচ্চতা আৰু দূৰত্ব / Heights & Distances)
প্ৰয়োজনীয় ত্ৰিকোণমিতিক ধাৰণা:
• উঠন কোণ (Angle of Elevation): অনুভূমিক সমতাৰ ওপৰত থকা বস্তু এটা চাওঁতে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিক ৰেখাৰ লগত কৰা কোণ।
• পতন কোণ (Angle of Depression): অনুভূমিক সমতাৰ তলত থকা বস্তু এটা চাওঁতে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিক ৰেখাৰ লগত কৰা কোণ।
• সাধাৰণতে উচ্চতা আৰু দূৰত্ব নিৰ্ণয়ত tan θ = বিপৰীত বাহু (উচ্চতা) / সন্নিহিত বাহু (দূৰত্ব) ব্যৱহাৰ হয়।
• উঠন কোণ (Angle of Elevation): অনুভূমিক সমতাৰ ওপৰত থকা বস্তু এটা চাওঁতে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিক ৰেখাৰ লগত কৰা কোণ।
• পতন কোণ (Angle of Depression): অনুভূমিক সমতাৰ তলত থকা বস্তু এটা চাওঁতে দৃষ্টিৰেখাই অনুভূমিক ৰেখাৰ লগত কৰা কোণ।
• সাধাৰণতে উচ্চতা আৰু দূৰত্ব নিৰ্ণয়ত tan θ = বিপৰীত বাহু (উচ্চতা) / সন্নিহিত বাহু (দূৰত্ব) ব্যৱহাৰ হয়।
প্ৰশ্ন নং 1 :
ভূমিলৈ এটা উলম্ব খুঁটিৰ শীৰ্ষৰপৰা টানকৈ টনা আৰু বন্ধা এডাল 20 মিটাৰ দীঘল ৰছীৰ ওপৰত এজন চাৰ্কাচ কৌশলীয়ে বগাই আছে। ৰছীডালে ভূমি সমতাৰ লগত উৎপন্ন কৰা কোণটো 30° হ'লে, খুঁটিটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা (চিত্ৰ 9.11 চোৱা)।
ধৰা হ'ল খুঁটিটোৰ উচ্চতা = AB আৰু ৰছীডালৰ দৈৰ্ঘ্য = AC = 20 m।
সমকোণী ΔABC ত:
sin 30° = AB / AC
⇒ 1/2 = AB / 20 ⇒ AB = 20 / 2 = 10 m
উত্তৰ: খুঁটিটোৰ উচ্চতা = 10 মিটাৰ
sin 30° = AB / AC
⇒ 1/2 = AB / 20 ⇒ AB = 20 / 2 = 10 m
উত্তৰ: খুঁটিটোৰ উচ্চতা = 10 মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 2 :
ধুমুহাৰ ফলত এজোপা গছ ভাঙে আৰু ভঙা অংশটো ভাঁজ খাই গছজোপাৰ মূৰটোৱে ভূমিক স্পৰ্শ কৰি তাৰ লগত 30° কোণ উৎপন্ন কৰে। গছজোপাৰ পাদবিন্দু আৰু ভূমিক স্পৰ্শ কৰি থকা মূৰটোৰ বিন্দুৰ মাজত দূৰত্ব 8 মিটাৰ। গছজোপাৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
ধৰা গছজোপাৰ থিয় অংশ = AB আৰু ভঙা অংশ = AC। ভঙা মূৰটো মাটিত C বিন্দুত লাগিছে।
দিয়া আছে: BC = 8 m, ∠ACB = 30°। গছজোপাৰ মুঠ উচ্চতা = AB + AC।
দিয়া আছে: BC = 8 m, ∠ACB = 30°। গছজোপাৰ মুঠ উচ্চতা = AB + AC।
• tan 30° = AB / BC ⇒ 1/√3 = AB / 8 ⇒ AB = 8 / √3 m
• cos 30° = BC / AC ⇒ √3 / 2 = 8 / AC ⇒ AC = 16 / √3 m
• গছজোপাৰ মুঠ উচ্চতা = AB + AC = 8/√3 + 16/√3 = 24/√3 = (24√3)/3 = 8√3 m
উত্তৰ: গছজোপাৰ উচ্চতা = 8√3 মিটাৰ• cos 30° = BC / AC ⇒ √3 / 2 = 8 / AC ⇒ AC = 16 / √3 m
• গছজোপাৰ মুঠ উচ্চতা = AB + AC = 8/√3 + 16/√3 = 24/√3 = (24√3)/3 = 8√3 m
প্ৰশ্ন নং 3 :
বাগানত দুখন শ্লাইড (Slide) স্থাপনৰ পৰিকল্পনা: 5 বছৰৰ তলৰ বাবে উচ্চতা 1.5 m আৰু হেলন 30°; ডাঙৰৰ বাবে উচ্চতা 3 m আৰু হেলন 60°। প্ৰতিখন শ্লাইডৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
• সৰু ল'ৰা-ছোৱালীৰ বাবে:
sin 30° = 1.5 / l1 ⇒ 1/2 = 1.5 / l1 ⇒ l1 = 3 m
• ডাঙৰ ল'ৰা-ছোৱালীৰ বাবে:
sin 60° = 3 / l2 ⇒ √3/2 = 3 / l2 ⇒ l2 = 6/√3 = 2√3 m
শ্লাইড দুখনৰ দৈৰ্ঘ্য: 3 m আৰু 2√3 m
sin 30° = 1.5 / l1 ⇒ 1/2 = 1.5 / l1 ⇒ l1 = 3 m
• ডাঙৰ ল'ৰা-ছোৱালীৰ বাবে:
sin 60° = 3 / l2 ⇒ √3/2 = 3 / l2 ⇒ l2 = 6/√3 = 2√3 m
শ্লাইড দুখনৰ দৈৰ্ঘ্য: 3 m আৰু 2√3 m
প্ৰশ্ন নং 4 :
এটা স্তম্ভৰ পাদবিন্দুৰ পৰা 30 মিটাৰ আঁতৰত ভূমিত থকা এটা বিন্দুৰ পৰা স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 30°। স্তম্ভটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
ধৰা স্তম্ভৰ উচ্চতা = h
tan 30° = h / 30
⇒ 1/√3 = h / 30 ⇒ h = 30 / √3 = (30√3)/3 = 10√3 m
উত্তৰ: স্তম্ভটোৰ উচ্চতা = 10√3 মিটাৰ
tan 30° = h / 30
⇒ 1/√3 = h / 30 ⇒ h = 30 / √3 = (30√3)/3 = 10√3 m
উত্তৰ: স্তম্ভটোৰ উচ্চতা = 10√3 মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 5 :
ভূমিৰ পৰা 60 মিটাৰ উচ্চতাত চিলা উৰি আছে। সূতাডাল ভূমিৰ লগত 60° কোণত হালি থাকিলে সূতাডালৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা (সূতা ঢিলা নহয়)।
ধৰা সূতাৰ দৈৰ্ঘ্য = l
sin 60° = 60 / l
⇒ √3/2 = 60 / l ⇒ l = 120 / √3 = 40√3 m
উত্তৰ: সূতাডালৰ দৈৰ্ঘ্য = 40√3 মিটাৰ
sin 60° = 60 / l
⇒ √3/2 = 60 / l ⇒ l = 120 / √3 = 40√3 m
উত্তৰ: সূতাডালৰ দৈৰ্ঘ্য = 40√3 মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 6 :
1.5 m ওখ ল'ৰা এজনে 30 m ওখ অট্টালিকাৰ ফালে খোজ কঢ়াত শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 30° ৰ পৰা 60° হয়। তেওঁ খোজ কঢ়া দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
চকুৰ উচ্চতা বাদ দিলে কাৰ্যকৰী উচ্চতা = 30 - 1.5 = 28.5 m
• 60° কোণত দূৰত্ব: tan 60° = 28.5/x ⇒ x = 28.5/√3 = 9.5√3 m
• 30° কোণত দূৰত্ব: tan 30° = 28.5/(x + d) ⇒ x + d = 28.5√3 m
• খোজ কঢ়া দূৰত্ব d = 28.5√3 - 9.5√3 = 19√3 m
উত্তৰ: খোজ কঢ়া দূৰত্ব = 19√3 মিটাৰ
• 60° কোণত দূৰত্ব: tan 60° = 28.5/x ⇒ x = 28.5/√3 = 9.5√3 m
• 30° কোণত দূৰত্ব: tan 30° = 28.5/(x + d) ⇒ x + d = 28.5√3 m
• খোজ কঢ়া দূৰত্ব d = 28.5√3 - 9.5√3 = 19√3 m
উত্তৰ: খোজ কঢ়া দূৰত্ব = 19√3 মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 7 :
ভূমিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা 20 মিটাৰ ওখ অট্টালিকাৰ ওপৰত থকা প্ৰেৰণ স্তম্ভৰ পাদবিন্দু আৰু শীৰ্ষৰ উঠন কোণ ক্ৰমে 45° আৰু 60° হ'লে স্তম্ভৰ উচ্চতা কিমান?
ধৰা মাটিৰ দূৰত্ব = x আৰু স্তম্ভৰ উচ্চতা = h
• tan 45° = 20 / x ⇒ x = 20 m
• tan 60° = (20 + h) / x ⇒ √3 = (20 + h) / 20
⇒ 20 + h = 20√3 ⇒ h = 20(√3 - 1) m
স্তম্ভৰ উচ্চতা = 20(√3 - 1) মিটাৰ
• tan 45° = 20 / x ⇒ x = 20 m
• tan 60° = (20 + h) / x ⇒ √3 = (20 + h) / 20
⇒ 20 + h = 20√3 ⇒ h = 20(√3 - 1) m
স্তম্ভৰ উচ্চতা = 20(√3 - 1) মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 8 :
এটা ভেটিৰ ওপৰত 1.6 m ওখ মূৰ্তি থিয় হৈ আছে। ভূমিৰ বিন্দুৰ পৰা মূৰ্তিৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60° আৰু ভেটিৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 45° হ'লে ভেটিটোৰ উচ্চতা কিমান?
ধৰা ভেটিৰ উচ্চতা = h
tan 45° = h / x ⇒ x = h
tan 60° = (h + 1.6) / h ⇒ h√3 = h + 1.6
⇒ h(√3 - 1) = 1.6 ⇒ h = 1.6 / (√3 - 1) = 0.8(√3 + 1) m
ভেটিৰ উচ্চতা = 0.8(√3 + 1) মিটাৰ
tan 45° = h / x ⇒ x = h
tan 60° = (h + 1.6) / h ⇒ h√3 = h + 1.6
⇒ h(√3 - 1) = 1.6 ⇒ h = 1.6 / (√3 - 1) = 0.8(√3 + 1) m
ভেটিৰ উচ্চতা = 0.8(√3 + 1) মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 9 :
স্তম্ভৰ পাদৰ পৰা অট্টালিকাৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 30° আৰু অট্টালিকাৰ পাদৰ পৰা 50 m ওখ স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60°। অট্টালিকাটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
• tan 60° = 50 / d ⇒ d = 50 / √3 m
• tan 30° = h / d ⇒ 1/√3 = h / (50/√3) ⇒ h = 50 / 3 = 16 ⅔ m
অট্টালিকাৰ উচ্চতা = 16 ⅔ মিটাৰ
• tan 30° = h / d ⇒ 1/√3 = h / (50/√3) ⇒ h = 50 / 3 = 16 ⅔ m
অট্টালিকাৰ উচ্চতা = 16 ⅔ মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 10 :
80 মিটাৰ বহল ৰাস্তাৰ দুয়োকাষে সমান উচ্চতাৰ দুটা খুঁটি আছে। ৰাস্তাৰ এটা বিন্দুৰ পৰা সিহঁতৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60° আৰু 30° হ'লে খুঁটিৰ উচ্চতা আৰু বিন্দুটোৰ দূৰত্ব উলিওৱা।
h = x√3 আৰু h / (80 - x) = 1/√3
⇒ x√3 × √3 = 80 - x ⇒ 3x = 80 - x ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 m
আনটো দূৰত্ব = 80 - 20 = 60 m
খুঁটিৰ উচ্চতা h = 20√3 m
উচ্চতা = 20√3 m; দূৰত্ব ক্ৰমে 20 m আৰু 60 m
⇒ x√3 × √3 = 80 - x ⇒ 3x = 80 - x ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 m
আনটো দূৰত্ব = 80 - 20 = 60 m
খুঁটিৰ উচ্চতা h = 20√3 m
উচ্চতা = 20√3 m; দূৰত্ব ক্ৰমে 20 m আৰু 60 m
প্ৰশ্ন নং 11 :
খালৰ এটা পাৰত থকা TV টাৱাৰৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ আন পাৰৰ পৰা 60°। সেই বিন্দুৰ পৰা 20 m আঁতৰৰ বিন্দুৰ পৰা উঠন কোণ 30° (চিত্ৰ 9.12)। টাৱাৰৰ উচ্চতা আৰু খালৰ প্ৰস্থ উলিওৱা।
ধৰা টাৱাৰৰ উচ্চতা = h আৰু খালৰ প্ৰস্থ = x।
ΔABC ত: tan 60° = h/x ⇒ h = x√3
ΔABD ত: tan 30° = h/(x + 20) ⇒ 1/√3 = (x√3)/(x + 20)
⇒ x + 20 = 3x ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10 m
∴ টাৱাৰৰ উচ্চতা h = 10√3 m
টাৱাৰৰ উচ্চতা = 10√3 মিটাৰ, খালৰ প্ৰস্থ = 10 মিটাৰΔABD ত: tan 30° = h/(x + 20) ⇒ 1/√3 = (x√3)/(x + 20)
⇒ x + 20 = 3x ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10 m
∴ টাৱাৰৰ উচ্চতা h = 10√3 m
প্ৰশ্ন নং 12 :
7 m ওখ অট্টালিকাৰ শীৰ্ষৰ পৰা কেবল টাৱাৰৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60° আৰু পাদৰ পতন কোণ 45° হ'লে টাৱাৰৰ উচ্চতা কিমান?
অনুভূমিক দূৰত্ব d: tan 45° = 7/d ⇒ d = 7 m
ওপৰৰ অংশ h1: tan 60° = h1/7 ⇒ h1 = 7√3 m
মুঠ উচ্চতা = 7 + 7√3 = 7(√3 + 1) m
টাৱাৰৰ উচ্চতা = 7(√3 + 1) মিটাৰ
ওপৰৰ অংশ h1: tan 60° = h1/7 ⇒ h1 = 7√3 m
মুঠ উচ্চতা = 7 + 7√3 = 7(√3 + 1) m
টাৱাৰৰ উচ্চতা = 7(√3 + 1) মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 13 :
75 m ওখ লাইট-হাউচৰ পৰা সাগৰৰ দুখন জাহাজৰ পতন কোণ 30° আৰু 45°। জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?
প্ৰথম জাহাজৰ দূৰত্ব: tan 45° = 75/d1 ⇒ d1 = 75 m
দ্বিতীয় জাহাজৰ দূৰত্ব: tan 30° = 75/d2 ⇒ d2 = 75√3 m
পাৰ্থক্য = d2 - d1 = 75√3 - 75 = 75(√3 - 1) m
জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব = 75(√3 - 1) মিটাৰ
দ্বিতীয় জাহাজৰ দূৰত্ব: tan 30° = 75/d2 ⇒ d2 = 75√3 m
পাৰ্থক্য = d2 - d1 = 75√3 - 75 = 75(√3 - 1) m
জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব = 75(√3 - 1) মিটাৰ
প্ৰশ্ন নং 14 :
1.2 m ওখ ছোৱালীয়ে মাটিতকৈ 88.2 m উচ্চতাত বেলুন এটা উৰি থকা দেখিলে। উঠন কোণ 60° ৰ পৰা 30° লৈ সলনি হ'লে বেলুনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব কিমান? (চিত্ৰ 9.13)
কাৰ্যকৰী উচ্চতা = 88.2 - 1.2 = 87 m
• 60° অৱস্থাত দূৰত্ব: tan 60° = 87 / x1 ⇒ x1 = 87 / √3 = 29√3 m
• 30° অৱস্থাত দূৰত্ব: tan 30° = 87 / x2 ⇒ x2 = 87√3 m
• বেলুনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = x2 - x1 = 87√3 - 29√3 = 58√3 m
উত্তৰ: অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = 58√3 মিটাৰ• 30° অৱস্থাত দূৰত্ব: tan 30° = 87 / x2 ⇒ x2 = 87√3 m
• বেলুনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = x2 - x1 = 87√3 - 29√3 = 58√3 m
প্ৰশ্ন নং 15 :
স্তম্ভৰ ওপৰৰ পৰা গাড়ী এখনৰ পতন কোণ 30° পোৱা গ'ল। 6 ছেকেণ্ড পিছত পতন কোণ 60° হ'লে স্তম্ভৰ গুৰি পাবলৈ গাড়ীখনক আৰু কিমান সময় লাগিব?
ধৰা উচ্চতা h, 60° ত দূৰত্ব x
• tan 60° = h/x ⇒ h = x√3
• tan 30° = h/(x + d) ⇒ 1/√3 = (x√3)/(x + d) ⇒ d = 2x
যিহেতু 2x দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ 6 ছেকেণ্ড লাগে,
সেয়ে x দূৰত্ব যাবলৈ সময় লাগিব = 6 / 2 = 3 ছেকেণ্ড।
উত্তৰ: আৰু 3 ছেকেণ্ড সময় লাগিব।
• tan 60° = h/x ⇒ h = x√3
• tan 30° = h/(x + d) ⇒ 1/√3 = (x√3)/(x + d) ⇒ d = 2x
যিহেতু 2x দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ 6 ছেকেণ্ড লাগে,
সেয়ে x দূৰত্ব যাবলৈ সময় লাগিব = 6 / 2 = 3 ছেকেণ্ড।
উত্তৰ: আৰু 3 ছেকেণ্ড সময় লাগিব।
প্ৰশ্ন নং 16 :
স্তম্ভৰ পাদৰ পৰা 4 m আৰু 9 m দূৰত্বৰ বিন্দু দুটাৰ পৰা স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ দুটা পূৰক কোণ। প্ৰমাণ কৰা যে স্তম্ভটোৰ উচ্চতা 6 মিটাৰ।
ধৰা স্তম্ভৰ উচ্চতা = h
• tan θ = h / 4 —— (1)
• tan(90° - θ) = cot θ = h / 9 —— (2)
(1) আৰু (2) পূৰণ কৰি:
tan θ × cot θ = (h/4) × (h/9)
⇒ 1 = h2 / 36 ⇒ h2 = 36 ⇒ h = 6 m (প্ৰমাণিত)
• tan θ = h / 4 —— (1)
• tan(90° - θ) = cot θ = h / 9 —— (2)
(1) আৰু (2) পূৰণ কৰি:
tan θ × cot θ = (h/4) × (h/9)
⇒ 1 = h2 / 36 ⇒ h2 = 36 ⇒ h = 6 m (প্ৰমাণিত)