অনুশীলনী : 8.1 (ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত)
সমকোণী ত্ৰিভুজৰ মূল অনুপাতসমূহ:
• sin A = বিপৰীত বাহু / অতিভুজ | cos A = সন্নিহিত বাহু / অতিভুজ | tan A = বিপৰীত বাহু / সন্নিহিত বাহু
• cosec A = 1/sin A | sec A = 1/cos A | cot A = 1/tan A
• sin A = বিপৰীত বাহু / অতিভুজ | cos A = সন্নিহিত বাহু / অতিভুজ | tan A = বিপৰীত বাহু / সন্নিহিত বাহু
• cosec A = 1/sin A | sec A = 1/cos A | cot A = 1/tan A
প্ৰশ্ন নং 1 :
ΔABC ত্ৰিভুজৰ B কোণ সমকোণ আৰু AB = 24 cm, BC = 7 cm হ'লে তলত দিয়াবিলাক উলিওৱা:
(i) sin A, cos A | (ii) sin C, cos C
(i) sin A, cos A | (ii) sin C, cos C
পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰমতে: AC = √(242 + 72) = √(576 + 49) = √625 = 25 cm
(i) ∠A ৰ সাপেক্ষে: sin A = BC/AC = 7/25, cos A = AB/AC = 24/25
(ii) ∠C ৰ সাপেক্ষে: sin C = AB/AC = 24/25, cos C = BC/AC = 7/25
(ii) ∠C ৰ সাপেক্ষে: sin C = AB/AC = 24/25, cos C = BC/AC = 7/25
প্ৰশ্ন নং 2 :
চিত্ৰ 8.13 ৰ পৰা tan P - cot R নিৰ্ণয় কৰা (PQ = 12 cm, PR = 13 cm, ∠Q = 90°)।
QR = √(132 - 122) = √25 = 5 cm
tan P = QR/PQ = 5/12, cot R = QR/PQ = 5/12 ⇒ tan P - cot R = 0
প্ৰশ্ন নং 3 :
যদি sin A = 3/4 তেন্তে cos A আৰু tan A উলিওৱা।
সন্নিহিত বাহু = √(42 - 32) = √7
cos A = √7 / 4, tan A = 3 / √7
cos A = √7 / 4, tan A = 3 / √7
প্ৰশ্ন নং 4 :
দিয়া আছে যে, 15 cot A = 8। তেন্তে sin A আৰু sec A উলিওৱা।
cot A = 8/15 ⇒ অতিভুজ = √(82 + 152) = 17
sin A = 15/17, sec A = 17/8
sin A = 15/17, sec A = 17/8
প্ৰশ্ন নং 5 :
দিয়া আছে যে sec θ = 13/12। আন ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতবোৰ গণনা কৰা।
বিপৰীত বাহু = √(132 - 122) = 5
sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12, cosec θ = 13/5, cot θ = 12/5
sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12, cosec θ = 13/5, cot θ = 12/5
প্ৰশ্ন নং 6 :
যদি ∠A আৰু ∠B সূক্ষ্মকোণ যাতে cos A = cos B, তেন্তে দেখুওৱা যে ∠A = ∠B।
ΔABC ত ∠C = 90° হ'লে: cos A = AC/AB, cos B = BC/AB
cos A = cos B ⇒ AC = BC ⇒ ∠A = ∠B (প্ৰমাণিত)
cos A = cos B ⇒ AC = BC ⇒ ∠A = ∠B (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন নং 7 :
cot θ = 7/8 হ'লে (i) [(1+sinθ)(1-sinθ)]/[(1+cosθ)(1-cosθ)], (ii) cot2θ উলিওৱা।
(i) (1 - sin2θ)/(1 - cos2θ) = cot2θ = (7/8)2 = 49/64
(ii) cot2θ = 49/64
(ii) cot2θ = 49/64
প্ৰশ্ন নং 8 :
3 cot A = 4 হ'লে (1 - tan2A)/(1 + tan2A) = cos2A - sin2A হয়নে পৰীক্ষা কৰা।
tan A = 3/4, cos A = 4/5, sin A = 3/5
বাওঁপক্ষ = 7/25, সোঁপক্ষ = 7/25 ⇒ উভয় পক্ষ সমান (হয়)
বাওঁপক্ষ = 7/25, সোঁপক্ষ = 7/25 ⇒ উভয় পক্ষ সমান (হয়)
প্ৰশ্ন নং 9 :
ΔABC ত ∠B = 90°, tan A = 1/√3 হ'লে মান উলিওৱা:
(i) sin A cos C + cos A sin C = (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2) = 1
(ii) cos A cos C - sin A sin C = (√3/2)(1/2) - (1/2)(√3/2) = 0
(ii) cos A cos C - sin A sin C = (√3/2)(1/2) - (1/2)(√3/2) = 0
প্ৰশ্ন নং 10 :
ΔPQR ত ∠Q = 90°, PQ = 5 cm, PR + QR = 25 cm হ'লে sin P, cos P, tan P উলিওৱা।
(25 - QR)2 = 52 + QR2 ⇒ QR = 12 cm, PR = 13 cm
sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5
sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5
প্ৰশ্ন নং 11 : সত্য নে অসত্য উল্লেখ কৰা:
(i) tan A ৰ মান সদায় 1 তকৈ সৰু → অসত্য (tan 60° = √3 > 1)
(ii) কোনো কোণৰ বাবে sec A = 12/5 → সত্য
(iii) 'cosecant of angle A' ৰ চমু ৰূপ cos A → অসত্য (ই cosine ৰহে চমু ৰূপ)
(iv) cot আৰু A ৰ পূৰণফল হ'ল cot A → অসত্য
(v) কোনো কোণৰ বাবে sin θ = 4/3 → অসত্য (sin সদায় ≤ 1)
(ii) কোনো কোণৰ বাবে sec A = 12/5 → সত্য
(iii) 'cosecant of angle A' ৰ চমু ৰূপ cos A → অসত্য (ই cosine ৰহে চমু ৰূপ)
(iv) cot আৰু A ৰ পূৰণফল হ'ল cot A → অসত্য
(v) কোনো কোণৰ বাবে sin θ = 4/3 → অসত্য (sin সদায় ≤ 1)
অনুশীলনী : 8.2 (কোণৰ মান আৰু প্ৰয়োগ)
প্ৰশ্ন নং 1 : মান নিৰ্ণয় কৰা:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = 3/4 + 1/4 = 1
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° = 2(1) + 3/4 - 3/4 = 2
(iii) cos 45° / (sec 30° + cosec 30°) = (3√2 - √6) / 8
(iv) (sin 30° + tan 45° - cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°) = (43 - 24√3) / 11
(v) [5 cos2 60° + 4 sec2 30° - tan2 45°] / [sin2 30° + cos2 30°] = 67/12
(vi) (cosec 30° + cosec 60° + cosec 90°) / (sec 0° + sec 30° + sec 60°) = 1
প্ৰশ্ন নং 2 (MCQ) :
(i) 2 tan 30° / (1 + tan2 30°) = √3/2 = (A) sin 60°
(ii) (1 - tan2 45°) / (1 + tan2 45°) = 0 = (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A সত্য যেতিয়া A = (A) 0°
(iv) 2 tan 30° / (1 - tan2 30°) = √3 = (C) tan 60°
(ii) (1 - tan2 45°) / (1 + tan2 45°) = 0 = (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A সত্য যেতিয়া A = (A) 0°
(iv) 2 tan 30° / (1 - tan2 30°) = √3 = (C) tan 60°
প্ৰশ্ন নং 3 :
কোণৰ মান নিৰ্ণয়:
(i) tan(A + B) = √3, tan(A - B) = 1/√3 ⇒ A + B = 60°, A - B = 30°
A = 45°, B = 15°
(ii) sin(x + y) = 1, cos(x - y) = √3/2 ⇒ x + y = 90°, x - y = 30°
x = 60°, y = 30°
A = 45°, B = 15°
(ii) sin(x + y) = 1, cos(x - y) = √3/2 ⇒ x + y = 90°, x - y = 30°
x = 60°, y = 30°
প্ৰশ্ন নং 4 : সত্য নে অসত্য উল্লেখ কৰা:
(i) sin(A + B) = sin A + sin B → অসত্য
(ii) θ বাঢ়িলে sin θ বাঢ়ে → সত্য
(iii) θ বাঢ়িলে cos θ বাঢ়ে → অসত্য
(iv) θ ৰ সকলো মানৰ বাবে sin θ = cos θ → অসত্য
(v) A = 0° ৰ বাবে cot A সংজ্ঞাবদ্ধ নহয় → সত্য
(ii) θ বাঢ়িলে sin θ বাঢ়ে → সত্য
(iii) θ বাঢ়িলে cos θ বাঢ়ে → অসত্য
(iv) θ ৰ সকলো মানৰ বাবে sin θ = cos θ → অসত্য
(v) A = 0° ৰ বাবে cot A সংজ্ঞাবদ্ধ নহয় → সত্য
অনুশীলনী : 8.3 (পূৰক কোণৰ অনুপাত)
পূৰক কোণৰ সূত্ৰ: sin(90° - A) = cos A, cos(90° - A) = sin A, tan(90° - A) = cot A, sec(90° - A) = cosec A
প্ৰশ্ন নং 1 আৰু 2 : মান নিৰ্ণয় আৰু প্ৰমাণ:
1(i) sin 18° / cos 72° = 1
1(ii) tan 26° / cot 64° = 1
1(iii) cos 48° - sin 42° = 0
1(iv) cosec 31° - sec 59° = 0
1(v) sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55° = 0
1(ii) tan 26° / cot 64° = 1
1(iii) cos 48° - sin 42° = 0
1(iv) cosec 31° - sec 59° = 0
1(v) sin 35° sin 55° - cos 35° cos 55° = 0
1(vi) tan 35° tan 60° tan 55° tan 30° = 1
1(vii) cot 54°/tan 36° + tan 20°/cot 70° - 2 = 0
1(viii) 3(sin 23°/cos 67°) + 4(sec 47°/cosec 43°) = 7
1(ix) tan 5° tan 25° tan 30° tan 65° tan 85° = 1/√3
2(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
1(vii) cot 54°/tan 36° + tan 20°/cot 70° - 2 = 0
1(viii) 3(sin 23°/cos 67°) + 4(sec 47°/cosec 43°) = 7
1(ix) tan 5° tan 25° tan 30° tan 65° tan 85° = 1/√3
2(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
প্ৰশ্ন নং 3 আৰু 4 :
3. tan 2A = cot(A - 18°):
90° - 2A = A - 18° ⇒ 3A = 108° ⇒ A = 36°
4. tan A = cot B:
tan A = tan(90° - B) ⇒ A + B = 90°
90° - 2A = A - 18° ⇒ 3A = 108° ⇒ A = 36°
4. tan A = cot B:
tan A = tan(90° - B) ⇒ A + B = 90°
প্ৰশ্ন নং 5 আৰু 6 :
5. sec 4A = cosec(A - 20°):
90° - 4A = A - 20° ⇒ 5A = 110° ⇒ A = 22°
6. ΔABC ৰ অন্তঃকোণৰ বাবে:
(B + C)/2 = 90° - A/2 ⇒ sin[(B + C)/2] = cos(A/2)
90° - 4A = A - 20° ⇒ 5A = 110° ⇒ A = 22°
6. ΔABC ৰ অন্তঃকোণৰ বাবে:
(B + C)/2 = 90° - A/2 ⇒ sin[(B + C)/2] = cos(A/2)
প্ৰশ্ন নং 7 :
sin 67° + cos 75° ক 0° আৰু 45° ৰ মাজৰ কোণত প্ৰকাশ কৰা।
= sin(90° - 23°) + cos(90° - 15°) = cos 23° + sin 15°
প্ৰশ্ন নং 8 : কোণৰ মান নিৰ্ণয়:
(i) sec 5θ = cosec(θ - 36°) ⇒ 6θ = 126° ⇒ θ = 21°
(ii) sin A = cos 33° ⇒ A = 57°
(iii) sin 2A = cos(A + 15°) ⇒ 3A = 75° ⇒ A = 25°
(iv) sin(3x + 10°) = cos(x + 24°) ⇒ 4x = 56° ⇒ x = 14°
(ii) sin A = cos 33° ⇒ A = 57°
(iii) sin 2A = cos(A + 15°) ⇒ 3A = 75° ⇒ A = 25°
(iv) sin(3x + 10°) = cos(x + 24°) ⇒ 4x = 56° ⇒ x = 14°
অনুশীলনী : 8.4 (ত্ৰিকোণমিতিক অভেদ)
অভেদসমূহ: sin2A + cos2A = 1, 1 + tan2A = sec2A, 1 + cot2A = cosec2A
প্ৰশ্ন নং 1 :
sin A, sec A, tan A ক cot A ৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰা।
sin A = 1 / √(1 + cot2A)
sec A = √(1 + cot2A) / cot A
tan A = 1 / cot A
sec A = √(1 + cot2A) / cot A
tan A = 1 / cot A
প্ৰশ্ন নং 2 :
∠A ৰ আন সকলো অনুপাতক sec A ৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰা।
cos A = 1/sec A, sin A = √(sec2A - 1)/sec A
tan A = √(sec2A - 1), cosec A = sec A/√(sec2A - 1), cot A = 1/√(sec2A - 1)
tan A = √(sec2A - 1), cosec A = sec A/√(sec2A - 1), cot A = 1/√(sec2A - 1)
প্ৰশ্ন নং 3 : মান উলিওৱা:
(i) (sin2 63° + sin2 27°) / (cos2 17° + cos2 73°) = 1/1 = 1
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = sin2 25° + cos2 25° = 1
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = sin2 25° + cos2 25° = 1
প্ৰশ্ন নং 4 (MCQ) :
(i) 9 sec2A - 9 tan2A = (B) 9
(ii) (1 + tanθ + secθ)(1 + cotθ - cosecθ) = (C) 2
(iii) (sec A + tan A)(1 - sin A) = (D) cos A
(iv) (1 + tan2A) / (1 + cot2A) = (D) tan2A
(ii) (1 + tanθ + secθ)(1 + cotθ - cosecθ) = (C) 2
(iii) (sec A + tan A)(1 - sin A) = (D) cos A
(iv) (1 + tan2A) / (1 + cot2A) = (D) tan2A
প্ৰশ্ন নং 5 : অভেদ প্ৰমাণসমূহ:
(i) (cosec θ - cot θ)2 = (1 - cos θ)/(1 + cos θ):
LHS = [(1 - cosθ)/sinθ]2 = (1 - cosθ)2/(1 - cos2θ) = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)
LHS = [(1 - cosθ)/sinθ]2 = (1 - cosθ)2/(1 - cos2θ) = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)
(ii) cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A:
LHS = [cos2A + (1+sin A)2] / [cos A(1+sin A)] = [2 + 2 sin A]/[cos A(1+sin A)] = 2 sec A
LHS = [cos2A + (1+sin A)2] / [cos A(1+sin A)] = [2 + 2 sin A]/[cos A(1+sin A)] = 2 sec A
(iii) tan θ/(1 - cot θ) + cot θ/(1 - tan θ) = 1 + sec θ cosec θ:
sin ও cos ত পৰিবৰ্তন কৰি সৰল কৰিলে পোৱা যায় = 1 + sec θ cosec θ
sin ও cos ত পৰিবৰ্তন কৰি সৰল কৰিলে পোৱা যায় = 1 + sec θ cosec θ
(iv) (1 + sec A)/sec A = sin2A/(1 - cos A):
LHS = 1 + cos A; RHS = (1 - cos2A)/(1 - cos A) = 1 + cos A ⇒ LHS = RHS
LHS = 1 + cos A; RHS = (1 - cos2A)/(1 - cos A) = 1 + cos A ⇒ LHS = RHS
(v) (cos A - sin A + 1)/(cos A + sin A - 1) = cosec A + cot A:
sin A ৰে হৰণ কৰি 1 = cosec2A - cot2A প্ৰয়োগ কৰিলে প্ৰমাণিত হয়: cosec A + cot A
sin A ৰে হৰণ কৰি 1 = cosec2A - cot2A প্ৰয়োগ কৰিলে প্ৰমাণিত হয়: cosec A + cot A
(vi) √[(1 + sin A)/(1 - sin A)] = sec A + tan A:
= √[(1 + sin A)2/cos2A] = (1 + sin A)/cos A = sec A + tan A
= √[(1 + sin A)2/cos2A] = (1 + sin A)/cos A = sec A + tan A
(vii) (sin θ - 2 sin3θ)/(2 cos3θ - cos θ) = tan θ:
= [sinθ(1 - 2 sin2θ)] / [cosθ(2 cos2θ - 1)] = tan θ
= [sinθ(1 - 2 sin2θ)] / [cosθ(2 cos2θ - 1)] = tan θ
(viii) (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2A + cot2A:
বৰ্গ খুলি দিলে: (sin2A + cos2A) + 4 + (1 + cot2A) + (1 + tan2A) = 7 + tan2A + cot2A
বৰ্গ খুলি দিলে: (sin2A + cos2A) + 4 + (1 + cot2A) + (1 + tan2A) = 7 + tan2A + cot2A
(ix) (cosec A - sin A)(sec A - cos A) = 1/(tan A + cot A):
LHS = (cos2A/sin A)(sin2A/cos A) = sin A cos A; RHS = sin A cos A ⇒ LHS = RHS
LHS = (cos2A/sin A)(sin2A/cos A) = sin A cos A; RHS = sin A cos A ⇒ LHS = RHS
(x) (1 + tan2A)/(1 + cot2A) = [(1 - tan A)/(1 - cot A)]2 = tan2A:
sec2A / cosec2A = tan2A; আৰু [(1 - tan A)/(1 - 1/tan A)]2 = tan2A
sec2A / cosec2A = tan2A; আৰু [(1 - tan A)/(1 - 1/tan A)]2 = tan2A
প্ৰশ্ন নং 6 : অতিৰিক্ত প্ৰমাণসমূহ:
(i) tan4θ + tan2θ = sec4θ - sec2θ:
= tan2θ(tan2θ + 1) = (sec2θ - 1)sec2θ = sec4θ - sec2θ
= tan2θ(tan2θ + 1) = (sec2θ - 1)sec2θ = sec4θ - sec2θ
(ii) cos θ/(1 - tan θ) + sin θ/(1 - cot θ) = sin θ + cos θ:
= (cos2θ - sin2θ)/(cos θ - sin θ) = cos θ + sin θ
= (cos2θ - sin2θ)/(cos θ - sin θ) = cos θ + sin θ
(iii) √[(sec θ - 1)/(sec θ + 1)] = cosec θ - cot θ:
= (sec θ - 1)/tan θ = (1 - cos θ)/sin θ = cosec θ - cot θ
= (sec θ - 1)/tan θ = (1 - cos θ)/sin θ = cosec θ - cot θ
(iv) cot θ + tan θ = sec θ cosec θ:
= (cos2θ + sin2θ)/(sin θ cos θ) = sec θ cosec θ
= (cos2θ + sin2θ)/(sin θ cos θ) = sec θ cosec θ
(v) 1/(1 + sin θ) + 1/(1 - sin θ) = 2 sec2θ:
= (1 - sin θ + 1 + sin θ)/(1 - sin2θ) = 2/cos2θ = 2 sec2θ
= (1 - sin θ + 1 + sin θ)/(1 - sin2θ) = 2/cos2θ = 2 sec2θ