অনুশীলনী : 5.1 (সমান্তৰ প্ৰগতিৰ চিনাক্তকৰণ)
সমান্তৰ প্ৰগতিৰ (AP) ধাৰণা:
প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = ak+1 - ak।
AP ৰ সাধাৰণ ৰূপ: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = ak+1 - ak।
AP ৰ সাধাৰণ ৰূপ: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ পৰিস্থিতিবোৰৰ কোনবোৰ ক্ষেত্ৰত জড়িত হোৱা সংখ্যাবোৰৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে আৰু কিয়?
(i) প্ৰতি কিলোমিটাৰ যাত্ৰাৰ বাবদ টেক্সিৰ ভাড়া: ১ম কি.মি. ত 15 টকা আৰু পৰৱৰ্তী প্ৰতি কি.মি. ত 8 টকা।
শ্ৰেণীটো: 15, 23, 31, 39, ...
সাধাৰণ অন্তৰ d = 23 - 15 = 8 (স্থিৰ)।
হয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
শ্ৰেণীটো: 15, 23, 31, 39, ...
সাধাৰণ অন্তৰ d = 23 - 15 = 8 (স্থিৰ)।
হয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
(ii) ভেকুৱাম পাম্পেৰে চিলিণ্ডাৰৰ পৰা বায়ু উলিওৱা: প্ৰতিবাৰত বাকী থকা বায়ুৰ 1/4 অংশ ওলাই যায়।
প্ৰাৰম্ভিক আয়তন V হ'লে: V, (3/4)V, (9/16)V, ...
ক্ৰমিক পদৰ অন্তৰ সমান নহয়।
ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
প্ৰাৰম্ভিক আয়তন V হ'লে: V, (3/4)V, (9/16)V, ...
ক্ৰমিক পদৰ অন্তৰ সমান নহয়।
ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
(iii) কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ: প্ৰথম মিটাৰত 150 টকা আৰু পিছৰ প্ৰতি মিটাৰত 50 টকাকৈ বৃদ্ধি পায়।
শ্ৰেণীটো: 150, 200, 250, 300, ...
সাধাৰণ অন্তৰ d = 50 (স্থিৰ)।
হয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
শ্ৰেণীটো: 150, 200, 250, 300, ...
সাধাৰণ অন্তৰ d = 50 (স্থিৰ)।
হয়, ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
(iv) চক্ৰবৃদ্ধি সুতত জমা থোৱা ধন: 10000 টকা বাৰ্ষিক 8% চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ হাৰত জমা থোৱা হ'ল।
প্ৰতিবছৰৰ ধন: 10000(1 + 8/100)n
যিহেতু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ বৃদ্ধি সমান নহয়,
ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
প্ৰতিবছৰৰ ধন: 10000(1 + 8/100)n
যিহেতু চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ বৃদ্ধি সমান নহয়,
ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
প্ৰশ্ন নং 2 :
প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d দিয়া আছে, প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখা:
(i) a = 10, d = 10 ⇒ 10, 20, 30, 40
(ii) a = -2, d = 0 ⇒ -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3 ⇒ 4, 1, -2, -5
(iv) a = -1, d = 1/2 ⇒ -1, -1/2, 0, 1/2
(v) a = -1.25, d = -0.25 ⇒ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00
(ii) a = -2, d = 0 ⇒ -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3 ⇒ 4, 1, -2, -5
(iv) a = -1, d = 1/2 ⇒ -1, -1/2, 0, 1/2
(v) a = -1.25, d = -0.25 ⇒ -1.25, -1.50, -1.75, -2.00
প্ৰশ্ন নং 3 :
তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিবোৰৰ প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 3, 1, -1, -3, ... ⇒ a = 3, d = -2
(ii) -5, -1, 3, 7, ... ⇒ a = -5, d = 4
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, ... ⇒ a = 1/3, d = 4/3
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ... ⇒ a = 0.6, d = 1.1
(ii) -5, -1, 3, 7, ... ⇒ a = -5, d = 4
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, ... ⇒ a = 1/3, d = 4/3
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ... ⇒ a = 0.6, d = 1.1
প্ৰশ্ন নং 4 :
তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতি? যদি প্ৰগতি হয় তেন্তে সাধাৰণ অন্তৰ d উলিওৱা আৰু পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ লিখা:
(i) 2, 4, 8, 16, ... → AP নহয় (4 - 2 ≠ 8 - 4)
(ii) 2, 5/2, 3, 7/2, ... → AP হয় (d = 1/2)। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ: 4, 9/2, 5
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ... → AP হয় (d = -2)। পৰৱৰ্তী তিনিটা: -9.2, -11.2, -13.2
(iv) -10, -6, -2, 2, ... → AP হয় (d = 4)। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ: 6, 10, 14
(v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2, ... → AP হয় (d = √2)। পৰৱৰ্তী: 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ... → AP নহয়
(vii) 0, -4, -8, -12, ... → AP হয় (d = -4)। পৰৱৰ্তী পদ: -16, -20, -24
(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, ... → AP হয় (d = 0)। পৰৱৰ্তী পদ: -1/2, -1/2, -1/2
(ix) 1, 3, 9, 27, ... → AP নহয়
(x) a, 2a, 3a, 4a, ... → AP হয় (d = a)। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ: 5a, 6a, 7a
(xi) a, a2, a3, a4, ... → AP নহয়
(xii) √2, √8, √18, √32, ... → AP হয় (d = √2)। পৰৱৰ্তী: √50, √72, √98
(xiii) √3, √6, √9, √12, ... → AP নহয়
(xiv) 12, 32, 52, 72, ... (1, 9, 25, 49) → AP নহয়
(xv) 12, 52, 72, 73, ... (1, 25, 49, 73, ...) → AP হয় (d = 24)। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ: 97, 121, 145
অনুশীলনী : 5.2 (সমান্তৰ প্ৰগতিৰ n-তম পদ)
n-তম পদৰ সূত্ৰ: an = a + (n - 1)d, য'ত a = প্ৰথম পদ, d = সাধাৰণ অন্তৰ, n = পদৰ সংখ্যা।
প্ৰশ্ন নং 1 : তালিকাৰ খালী ঠাই পূৰ কৰা (a, d, n, an):
(i) a = 7, d = 3, n = 8 ⇒ an = 7 + (8 - 1)3 = 7 + 21 = 28
(ii) a = -18, n = 10, an = 0 ⇒ 0 = -18 + 9d ⇒ 9d = 18 ⇒ d = 2
(iii) d = -3, n = 18, an = -5 ⇒ -5 = a + 17(-3) ⇒ a = -5 + 51 = 46
(iv) a = -18.9, d = 2.5, an = 3.6 ⇒ 3.6 = -18.9 + (n - 1)2.5 ⇒ 22.5 = 2.5(n - 1) ⇒ n = 10
(v) a = 3.5, d = 0, n = 105 ⇒ an = 3.5 + (105 - 1)0 = 3.5
প্ৰশ্ন নং 2 : শুদ্ধ উত্তৰ বাছি উলিওৱা:
(i) 10, 7, 4, ... ৰ 30-তম পদটো হ'ল:
a = 10, d = -3 ⇒ a30 = 10 + 29(-3) = 10 - 87 = -77
শুদ্ধ উত্তৰ: (C) -77
a = 10, d = -3 ⇒ a30 = 10 + 29(-3) = 10 - 87 = -77
শুদ্ধ উত্তৰ: (C) -77
(ii) -3, -1/2, 2, ... ৰ 11-তম পদটো হ'ল:
a = -3, d = -1/2 - (-3) = 2.5 ⇒ a11 = -3 + 10(2.5) = -3 + 25 = 22
শুদ্ধ উত্তৰ: (B) 22
a = -3, d = -1/2 - (-3) = 2.5 ⇒ a11 = -3 + 10(2.5) = -3 + 25 = 22
শুদ্ধ উত্তৰ: (B) 22
প্ৰশ্ন নং 3 : খালী বাকচৰ পদসমূহ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 2, [ 14 ], 26 → পদ = (2 + 26)/2 = 14
(ii) [ 18 ], 13, [ 8 ], 3 → d = (3 - 13)/2 = -5 ⇒ পদ দুটা 18 আৰু 8
(iii) 5, [ 6 ½ ], [ 8 ], 9 ½ → d = (19/2 - 5)/3 = 3/2
(iv) -4, [ -2 ], [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ], 6 → d = (6 - (-4))/5 = 2
(v) [ 53 ], 38, [ 23 ], [ 8 ], [ -7 ], -22 → d = -15, a = 53
প্ৰশ্ন নং 4 আৰু 5 :
4. 3, 8, 13, 18, ... ৰ কোনটো পদ 78?
78 = 3 + (n - 1)5 ⇒ 5(n - 1) = 75 ⇒ n - 1 = 15 ⇒ n = 16
5. পদৰ সংখ্যা নিৰ্ণয়:
(i) 7, 13, 19, ..., 205 ⇒ 205 = 7 + (n - 1)6 ⇒ n = 34
(ii) 18, 15 ½, 13, ..., -47 ⇒ -47 = 18 + (n - 1)(-5/2) ⇒ n = 27
78 = 3 + (n - 1)5 ⇒ 5(n - 1) = 75 ⇒ n - 1 = 15 ⇒ n = 16
5. পদৰ সংখ্যা নিৰ্ণয়:
(i) 7, 13, 19, ..., 205 ⇒ 205 = 7 + (n - 1)6 ⇒ n = 34
(ii) 18, 15 ½, 13, ..., -47 ⇒ -47 = 18 + (n - 1)(-5/2) ⇒ n = 27
প্ৰশ্ন নং 6 আৰু 7 :
6. 11, 8, 5, 2, ... ৰ এটা পদ -150 হ'বনে?
-150 = 11 + (n - 1)(-3) ⇒ n = 164/3 ∉ ℕ → নহয়
7. 11-তম পদ 38, 16-তম পদ 73 হ'লে 31-তম পদ:
5d = 35 ⇒ d = 7, a = -32
a31 = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178
-150 = 11 + (n - 1)(-3) ⇒ n = 164/3 ∉ ℕ → নহয়
7. 11-তম পদ 38, 16-তম পদ 73 হ'লে 31-তম পদ:
5d = 35 ⇒ d = 7, a = -32
a31 = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178
প্ৰশ্ন নং 8, 9, 10 :
8. 50 টা পদৰ AP, a3 = 12, a50 = 106:
d = 2, a = 8 ⇒ a29 = 8 + 28(2) = 64
9. a3 = 4, a9 = -8 হ'লে কোনটো পদ 0?
d = -2, a = 8 ⇒ 0 = 8 + (n - 1)(-2) ⇒ n = 5
10. 17-তম পদটো 10-তম পদতকৈ 7 বেছি হ'লে d কিমান?
a17 - a10 = 7 ⇒ 7d = 7 ⇒ d = 1
d = 2, a = 8 ⇒ a29 = 8 + 28(2) = 64
9. a3 = 4, a9 = -8 হ'লে কোনটো পদ 0?
d = -2, a = 8 ⇒ 0 = 8 + (n - 1)(-2) ⇒ n = 5
10. 17-তম পদটো 10-তম পদতকৈ 7 বেছি হ'লে d কিমান?
a17 - a10 = 7 ⇒ 7d = 7 ⇒ d = 1
প্ৰশ্ন নং 11, 12, 13, 14 :
11. 3, 15, 27, 39, ... ৰ কোনটো পদ 54-তম পদতকৈ 132 বেছি?
(n - 54) × 12 = 132 ⇒ n - 54 = 11 ⇒ n = 65
12. 1000-তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য: সদায় একে থাকিব = 100
13. 7 ৰে বিভাজ্য 3 টা অংকৰ সংখ্যা: 105 ৰ পৰা 994 লৈ = 128 টা
14. 10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতক: 12 ৰ পৰা 248 লৈ = 60 টা
(n - 54) × 12 = 132 ⇒ n - 54 = 11 ⇒ n = 65
12. 1000-তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য: সদায় একে থাকিব = 100
13. 7 ৰে বিভাজ্য 3 টা অংকৰ সংখ্যা: 105 ৰ পৰা 994 লৈ = 128 টা
14. 10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতক: 12 ৰ পৰা 248 লৈ = 60 টা
প্ৰশ্ন নং 15, 16, 17, 18, 19, 20 :
• 15. n-তম পদ সমান: 63 + (n - 1)2 = 3 + (n - 1)7 ⇒ n = 13
• 16. সমান্তৰ প্ৰগতি নিৰ্ণয়: d = 6, a = 4 ⇒ 4, 10, 16, 22, ...
• 17. 3, 8, 13, ..., 253 ৰ শেষৰ ফালৰ পৰা 20-তম পদ: 253 - 19(5) = 158
• 16. সমান্তৰ প্ৰগতি নিৰ্ণয়: d = 6, a = 4 ⇒ 4, 10, 16, 22, ...
• 17. 3, 8, 13, ..., 253 ৰ শেষৰ ফালৰ পৰা 20-তম পদ: 253 - 19(5) = 158
• 18. প্ৰথম তিনিটা পদ: a = -13, d = 5 ⇒ -13, -8, -3
• 19. চুব্বা ৰাওৰ দৰমহা 7000 টকা হোৱা বছৰ: n = 11 ⇒ 2005 চনত
• 20. ৰামকলিৰ সঞ্চয় 20.75 টকা হোৱা সপ্তাহ: n = 10
• 19. চুব্বা ৰাওৰ দৰমহা 7000 টকা হোৱা বছৰ: n = 11 ⇒ 2005 চনত
• 20. ৰামকলিৰ সঞ্চয় 20.75 টকা হোৱা সপ্তাহ: n = 10
অনুশীলনী : 5.3 (প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল)
যোগফলৰ সূত্ৰ: Sn = (n/2)[2a + (n - 1)d] নাইবা Sn = (n/2)[a + l], য'ত l = শেষ পদ।
প্ৰশ্ন নং 1 আৰু 2 : যোগফল নিৰ্ণয় কৰা:
1(i) 2, 7, 12, ... 10 টা পদলৈ:
S10 = (10/2)[2(2) + 9(5)] = 5(49) = 245
1(ii) -37, -33, -29, ... 12 টা পদলৈ:
S12 = 6[-74 + 11(4)] = 6(-30) = -180
1(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ... 100 টা পদলৈ:
S100 = 50[1.2 + 99(1.1)] = 50(110.1) = 5505
1(iv) 1/15, 1/12, 1/10, ... 11 টা পদলৈ:
S11 = (11/2)[2/15 + 10/60] = 33/20
S10 = (10/2)[2(2) + 9(5)] = 5(49) = 245
1(ii) -37, -33, -29, ... 12 টা পদলৈ:
S12 = 6[-74 + 11(4)] = 6(-30) = -180
1(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ... 100 টা পদলৈ:
S100 = 50[1.2 + 99(1.1)] = 50(110.1) = 5505
1(iv) 1/15, 1/12, 1/10, ... 11 টা পদলৈ:
S11 = (11/2)[2/15 + 10/60] = 33/20
2(i) 7 + 10 ½ + 14 + ... + 84:
n = 23 ⇒ S23 = (23/2)(7 + 84) = 1046 ½ (বা 2093/2)
2(ii) 34 + 32 + 30 + ... + 10:
n = 13 ⇒ S13 = (13/2)(34 + 10) = 13 × 22 = 286
2(iii) (-5) + (-8) + (-11) + ... + (-230):
n = 76 ⇒ S76 = 38(-5 - 230) = 38(-235) = -8930
n = 23 ⇒ S23 = (23/2)(7 + 84) = 1046 ½ (বা 2093/2)
2(ii) 34 + 32 + 30 + ... + 10:
n = 13 ⇒ S13 = (13/2)(34 + 10) = 13 × 22 = 286
2(iii) (-5) + (-8) + (-11) + ... + (-230):
n = 76 ⇒ S76 = 38(-5 - 230) = 38(-235) = -8930
প্ৰশ্ন নং 3 : অজ্ঞাত ৰাশিৰ মান নিৰ্ণয়:
(i) a = 5, d = 3, an = 50 ⇒ n = 16, S16 = 440
(ii) a = 7, a13 = 35 ⇒ d = 7/3, S13 = 273
(iii) a12 = 37, d = 3 ⇒ a = 4, S12 = 246
(iv) a3 = 15, S10 = 125 ⇒ d = -1, a10 = 8
(v) d = 5, S9 = 75 ⇒ a = -35/3, a9 = 85/3
(vi) a = 2, d = 8, Sn = 90 ⇒ n = 5, a5 = 34
(vii) a = 8, an = 62, Sn = 210 ⇒ n = 6, d = 54/5
(viii) an = 4, d = 2, Sn = -14 ⇒ n = 7, a = -8
(ix) a = 3, n = 8, S = 192 ⇒ d = 6 | (x) l = 28, S = 144, n = 9 ⇒ a = 4
প্ৰশ্ন নং 4, 5, 6, 7, 8, 9 :
• 4. 9, 17, 25, ... ৰ কিমানটা পদৰ যোগফল 636? ⇒ n = 12
• 5. a = 5, l = 45, Sn = 400 ⇒ n = 16, d = 8/3
• 6. a = 17, l = 350, d = 9 ⇒ n = 38, S38 = 6973
• 7. 22 টা পদৰ যোগফল (d = 7, a22 = 149): a = 2 ⇒ S22 = 1661
• 8. 51 টা পদৰ যোগফল (a2 = 14, a3 = 18): a = 10, d = 4 ⇒ S51 = 5610
• 9. S7 = 49 আৰু S17 = 289 হ'লে: Sn = n2
• 5. a = 5, l = 45, Sn = 400 ⇒ n = 16, d = 8/3
• 6. a = 17, l = 350, d = 9 ⇒ n = 38, S38 = 6973
• 7. 22 টা পদৰ যোগফল (d = 7, a22 = 149): a = 2 ⇒ S22 = 1661
• 8. 51 টা পদৰ যোগফল (a2 = 14, a3 = 18): a = 10, d = 4 ⇒ S51 = 5610
• 9. S7 = 49 আৰু S17 = 289 হ'লে: Sn = n2
প্ৰশ্ন নং 10, 11, 12, 13, 14 :
• 10. S15 নিৰ্ণয়: (i) an = 3 + 4n ⇒ 525, (ii) an = 9 - 5n ⇒ -465
• 11. Sn = 4n - n2: a1 = 3, S2 = 4, a2 = 1, a3 = -1, a10 = -15, an = 5 - 2n
• 12. 6 ৰে বিভাজ্য প্ৰথম 40 টা সংখ্যাৰ যোগফল: S40 = 4920
• 13. 8 ৰ প্ৰথম 15 টা গুণিতকৰ যোগফল: S15 = 960
• 14. 0 আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল: 252 = 625
• 11. Sn = 4n - n2: a1 = 3, S2 = 4, a2 = 1, a3 = -1, a10 = -15, an = 5 - 2n
• 12. 6 ৰে বিভাজ্য প্ৰথম 40 টা সংখ্যাৰ যোগফল: S40 = 4920
• 13. 8 ৰ প্ৰথম 15 টা গুণিতকৰ যোগফল: S15 = 960
• 14. 0 আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল: 252 = 625
প্ৰশ্ন নং 18 :
ক্ৰমাগতভাৱে কেন্দ্ৰ A আৰু B লৈ 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm... ব্যাসাৰ্ধৰ 13 টা ক্ৰমিক অৰ্ধবৃত্তৰে এটা সৰ্পিলাকাৰ ৰেখা অঁকা হ'ল। সৰ্পিলডালৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য কিমান? (π = 22/7)
প্ৰতিটো অৰ্ধবৃত্তৰ দৈৰ্ঘ্য l = πr
l1 = π(0.5), l2 = π(1.0), l3 = π(1.5), ..., l13 = π(6.5)
মুঠ দৈৰ্ঘ্য = π(0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + 6.5)
= (22/7) × (13/2)[2(0.5) + 12(0.5)] = (22/7) × (13/2) × 7 = 11 × 13 = 143 cm
উত্তৰ: সৰ্পিলডালৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য = 143 cm
l1 = π(0.5), l2 = π(1.0), l3 = π(1.5), ..., l13 = π(6.5)
= (22/7) × (13/2)[2(0.5) + 12(0.5)] = (22/7) × (13/2) × 7 = 11 × 13 = 143 cm
উত্তৰ: সৰ্পিলডালৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য = 143 cm
প্ৰশ্ন নং 15, 16 আৰু 17 :
• 15. নিৰ্মাণ কাৰ্যৰ জৰিমনা (30 দিনত): a = 200, d = 50, n = 30 ⇒ S30 = 27,750 টকা
• 16. 7 টা পুৰস্কাৰৰ মূল্য (মুঠ 700 টকা, প্ৰতিটো 20 টকা কম):
পুৰস্কাৰসমূহ: 160 টকা, 140 টকা, 120 টকা, 100 টকা, 80 টকা, 60 টকা আৰু 40 টকা
• 17. ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ৰোপণ কৰা গছৰ মুঠ সংখ্যা:
3 × (1 + 2 + ... + 12) = 3 × 78 = 234 জোপা
• 16. 7 টা পুৰস্কাৰৰ মূল্য (মুঠ 700 টকা, প্ৰতিটো 20 টকা কম):
পুৰস্কাৰসমূহ: 160 টকা, 140 টকা, 120 টকা, 100 টকা, 80 টকা, 60 টকা আৰু 40 টকা
• 17. ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ৰোপণ কৰা গছৰ মুঠ সংখ্যা:
3 × (1 + 2 + ... + 12) = 3 × 78 = 234 জোপা
প্ৰশ্ন নং 19 আৰু 20 :
• 19. 200 টা কুণ্ডা সজোৱা (তলৰ শাৰীত 20 টা, পিছত 19 টা...):
Sn = 200 ⇒ n2 - 41n + 400 = 0 ⇒ (n - 16)(n - 25) = 0
শাৰীৰ সংখ্যা = 16 টা, একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কুণ্ডা = 20 + 15(-1) = 5 টা
• 20. আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতা (10 টা আলু):
মুঠ দূৰত্ব = 2 × [5 + 8 + 11 + ... 10 টা পদলৈ]
= 2 × (10/2)[2(5) + 9(3)] = 10(37) = 370 মিটাৰ
Sn = 200 ⇒ n2 - 41n + 400 = 0 ⇒ (n - 16)(n - 25) = 0
শাৰীৰ সংখ্যা = 16 টা, একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কুণ্ডা = 20 + 15(-1) = 5 টা
• 20. আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতা (10 টা আলু):
মুঠ দূৰত্ব = 2 × [5 + 8 + 11 + ... 10 টা পদলৈ]
= 2 × (10/2)[2(5) + 9(3)] = 10(37) = 370 মিটাৰ
অনুশীলনী : 5.4 (ঐচ্ছিক / Optional)
প্ৰশ্ন নং 1 :
121, 117, 113, ... সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ প্ৰথম ঋণাত্মক পদ হ'ব?
a = 121, d = -4
an < 0 ⇒ 121 + (n - 1)(-4) < 0
125 - 4n < 0 ⇒ 4n > 125 ⇒ n > 31.25
যিহেতু n এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, গতিকে n = 32।
উত্তৰ: 32-তম পদটো প্ৰথম ঋণাত্মক পদ (মান = -3)
an < 0 ⇒ 121 + (n - 1)(-4) < 0
125 - 4n < 0 ⇒ 4n > 125 ⇒ n > 31.25
যিহেতু n এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, গতিকে n = 32।
উত্তৰ: 32-তম পদটো প্ৰথম ঋণাত্মক পদ (মান = -3)
প্ৰশ্ন নং 2 :
এটা AP ৰ 3-য় আৰু 7-ম পদৰ যোগফল 6 আৰু গুণফল 8 হ'লে প্ৰথম 16 টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
a3 + a7 = 2a + 8d = 6 ⇒ a + 4d = 3 ⇒ a = 3 - 4d
(a + 2d)(a + 6d) = 8 ⇒ (3 - 2d)(3 + 2d) = 8 ⇒ 9 - 4d2 = 8
4d2 = 1 ⇒ d = ±1/2
• d = 1/2, a = 1 হ'লে: S16 = 76
• d = -1/2, a = 5 হ'লে: S16 = 20
যোগফল = 76 বা 20
(a + 2d)(a + 6d) = 8 ⇒ (3 - 2d)(3 + 2d) = 8 ⇒ 9 - 4d2 = 8
4d2 = 1 ⇒ d = ±1/2
• d = 1/2, a = 1 হ'লে: S16 = 76
• d = -1/2, a = 5 হ'লে: S16 = 20
যোগফল = 76 বা 20
প্ৰশ্ন নং 3 :
এডাল জখলাৰ চবখাপবোৰ 25 cm আঁতৰে আঁতৰে আছে। খাপবোৰৰ দৈৰ্ঘ্য তলৰ পৰা ওপৰলৈ সুষমভাৱে 45 cm ৰ পৰা 25 cm লৈ হ্ৰাস পাইছে। তলৰ আৰু ওপৰৰ খাপৰ ব্যৱধান 2 ½ m (250 cm) হ'লে খাপবোৰৰ বাবে কিমান কাঠৰ প্ৰয়োজন?
খাপৰ সংখ্যা n = (250 / 25) + 1 = 10 + 1 = 11 টা
প্ৰথম খাপ a = 45 cm, শেষ খাপ l = 25 cm
মুঠ কাঠৰ দৈৰ্ঘ্য S11 = (11/2)(45 + 25) = (11/2) × 70 = 11 × 35 = 385 cm (বা 3.85 m)
উত্তৰ: প্ৰয়োজনীয় কাঠৰ দৈৰ্ঘ্য = 385 cm (বা 3.85 মিটাৰ)
প্ৰথম খাপ a = 45 cm, শেষ খাপ l = 25 cm
উত্তৰ: প্ৰয়োজনীয় কাঠৰ দৈৰ্ঘ্য = 385 cm (বা 3.85 মিটাৰ)
প্ৰশ্ন নং 4 :
শাৰী পাতি থকা ঘৰবোৰ 1 ৰ পৰা 49 লৈ ক্ৰমিকভাৱে নম্বৰ দিয়া আছে। x ৰ এটা মান আছে যাতে x ৰ পূৰ্ববৰ্তী ঘৰৰ নম্বৰৰ সমষ্টি x ৰ পৰৱৰ্তী ঘৰৰ নম্বৰৰ সমষ্টিৰ সমান। x উলিওৱা।
Sx-1 = S49 - Sx
⇒ [(x - 1)x] / 2 = [(49 × 50) / 2] - [x(x + 1) / 2]
⇒ x2 - x = 2450 - x2 - x
⇒ 2x2 = 2450 ⇒ x2 = 1225 ⇒ x = 35
উত্তৰ: x = 35
⇒ [(x - 1)x] / 2 = [(49 × 50) / 2] - [x(x + 1) / 2]
⇒ x2 - x = 2450 - x2 - x
⇒ 2x2 = 2450 ⇒ x2 = 1225 ⇒ x = 35
উত্তৰ: x = 35
প্ৰশ্ন নং 5 :
এখন খেলপথাৰত 50 m দীঘল 15 টা খলপা থকা এটা খটখটি আছে। প্ৰতিটো খলপা 1/4 m ওখ আৰু 1/2 m পথালি। খটখটিটো সজাত লগা কংক্ৰিটৰ মুঠ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
১ম খলপাৰ আয়তন = 50 × (1/2) × (1/4) = 25/4 m3
২য় খলপাৰ আয়তন = 50 × (1/2) × (2/4) = 2 × (25/4) m3
মুঠ আয়তন = (25/4) × [1 + 2 + 3 + ... + 15]
= (25/4) × [(15 × 16) / 2] = (25/4) × 120 = 25 × 30 = 750 m3
কংক্ৰিটৰ মুঠ আয়তন = 750 m3
২য় খলপাৰ আয়তন = 50 × (1/2) × (2/4) = 2 × (25/4) m3
মুঠ আয়তন = (25/4) × [1 + 2 + 3 + ... + 15]
= (25/4) × [(15 × 16) / 2] = (25/4) × 120 = 25 × 30 = 750 m3
কংক্ৰিটৰ মুঠ আয়তন = 750 m3