অনুশীলনী : 3.1 (সমীকৰণ গঠন আৰু প্ৰদৰ্শন)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ৰহিমে জীয়েকক ক'লে, 'সাত বছৰ আগতে মোৰ বয়স তোমাৰ তেতিয়াৰ বয়সৰ সাতগুণ আছিল। আকৌ আজিৰ পৰা তিনি বছৰ পিছত তুমি যিমান ডাঙৰ হ'বা মই তাৰ তিনিগুণ হ'ম।' এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয়ভাৱে আৰু জ্যামিতিকভাৱে (লৈখিকভাবে) প্ৰদৰ্শন কৰা।
ধৰা হ'ল ৰহিমৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ আৰু জীয়েকৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ।
• x - 7y = -42 ৰ বাবে: (0, 6), (7, 7), (14, 8)
• x - 3y = 6 ৰ বাবে: (6, 0), (9, 1), (12, 2)
বীজীয় ৰূপ: x - 7y = -42 আৰু x - 3y = 6 (ৰহিমৰ বয়স = 42 বছৰ, জীয়েকৰ বয়স = 12 বছৰ)
• 7 বছৰ আগতে: x - 7 = 7(y - 7) ⇒ x - 7y = -42 —— (1)
• 3 বছৰ পিছত: x + 3 = 3(y + 3) ⇒ x - 3y = 6 —— (2)
বিন্দু তালিকা:• 3 বছৰ পিছত: x + 3 = 3(y + 3) ⇒ x - 3y = 6 —— (2)
• x - 7y = -42 ৰ বাবে: (0, 6), (7, 7), (14, 8)
• x - 3y = 6 ৰ বাবে: (6, 0), (9, 1), (12, 2)
প্ৰশ্ন নং 2 :
এটা ক্ৰিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকে 3 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3900 টকাত। পিছত তেওঁ 1300 টকাত একেধৰণৰ 1 খন বেট আৰু 3 টা বল কিনে। এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয় আৰু লৈখিকভাবে বৰ্ণনা কৰা।
বেটৰ দাম = x টকা, বলৰ দাম = y টকা
• 3x + 6y = 3900 ⇒ x + 2y = 1300 —— (1)
• x + 3y = 1300 —— (2)
বিন্দুসমূহ: (1300, 0), (700, 300) আৰু (1000, 100)
ছেদবিন্দু = (1300, 0); বেটৰ দাম = 1300 টকা, বলৰ দাম = 0 টকা
• 3x + 6y = 3900 ⇒ x + 2y = 1300 —— (1)
• x + 3y = 1300 —— (2)
বিন্দুসমূহ: (1300, 0), (700, 300) আৰু (1000, 100)
ছেদবিন্দু = (1300, 0); বেটৰ দাম = 1300 টকা, বলৰ দাম = 0 টকা
প্ৰশ্ন নং 3 :
2 kg আপেল আৰু 1 kg আঙুৰৰ দাম 160 টকা। এমাহ পিছত 4 kg আপেল আৰু 2 kg আঙুৰৰ দাম 300 টকা। এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয় আৰু লৈখিকভাবে বৰ্ণনা কৰা।
আপেলৰ দাম = x টকা/kg, আঙুৰৰ দাম = y টকা/kg
• 2x + y = 160 —— (1)
• 4x + 2y = 300 ⇒ 2x + y = 150 —— (2)
ৰেখা দুডাল সমান্তৰাল (কোনো উমৈহতীয়া সমাধান নাই)
• 2x + y = 160 —— (1)
• 4x + 2y = 300 ⇒ 2x + y = 150 —— (2)
ৰেখা দুডাল সমান্তৰাল (কোনো উমৈহতীয়া সমাধান নাই)
অনুশীলনী : 3.2 (লৈখিক সমাধান আৰু সংগতি নিৰ্ণয়)
সহগৰ অনুপাত তুলনা:
• a1/a2 ≠ b1/b2 → এটা বিন্দুত কাটে (সংগত, অদ্বিতীয় সমাধান)
• a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 → ৰেখা মিলি যায় (সংগত, অসীম সমাধান)
• a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 → সমান্তৰাল (অসংগত, সমাধান নাই)
• a1/a2 ≠ b1/b2 → এটা বিন্দুত কাটে (সংগত, অদ্বিতীয় সমাধান)
• a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 → ৰেখা মিলি যায় (সংগত, অসীম সমাধান)
• a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 → সমান্তৰাল (অসংগত, সমাধান নাই)
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ সমস্যাবোৰত ৰৈখিক সমীকৰণযোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা:
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্ৰহণ কৰিছিল। যদি ছাত্ৰতকৈ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা।
(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা।
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্ৰহণ কৰিছিল। যদি ছাত্ৰতকৈ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা।
(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা।
(i) ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সমস্যা:
ছাত্ৰ = x, ছাত্ৰী = y
x + y = 10 আৰু y - x = 4
লৈখিকভাৱে ৰেখা দুটাই (3, 7) বিন্দুত কটাকটি কৰে।
ছাত্ৰ = 3 জন, ছাত্ৰী = 7 জন
ছাত্ৰ = x, ছাত্ৰী = y
x + y = 10 আৰু y - x = 4
লৈখিকভাৱে ৰেখা দুটাই (3, 7) বিন্দুত কটাকটি কৰে।
ছাত্ৰ = 3 জন, ছাত্ৰী = 7 জন
(ii) পেঞ্চিল আৰু পেন:
5x + 7y = 50 আৰু 7x + 5y = 46
লৈখিকভাৱে ৰেখা দুটাই (3, 5) বিন্দুত কটাকটি কৰে।
পেঞ্চিল = 3 টকা, পেন = 5 টকা
5x + 7y = 50 আৰু 7x + 5y = 46
লৈখিকভাৱে ৰেখা দুটাই (3, 5) বিন্দুত কটাকটি কৰে।
পেঞ্চিল = 3 টকা, পেন = 5 টকা
প্ৰশ্ন নং 2 : অনুপাত ৰিজাই ৰেখাৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 5x - 4y + 8 = 0; 7x + 6y - 9 = 0 → 5/7 ≠ -4/6 → এটা বিন্দুত কাটিব
(ii) 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0 → 1/2 = 1/2 = 1/2 → মিলি যাব (লগলগা)
(iii) 6x - 3y + 10 = 0; 2x - y + 9 = 0 → 3 = 3 ≠ 10/9 → সমান্তৰাল হ'ব
প্ৰশ্ন নং 3 : সমীকৰণৰ যোৰ সংগত নে অসংগত:
(i) 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7 → সংগত
(ii) 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9 → অসংগত
(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7; 9x - 10y = 14 → সংগত
(iv) 5x - 3y = 11; -10x + 6y = -22 → সংগত (পৰতন্ত্ৰ)
(v) (4/3)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12 → সংগত (পৰতন্ত্ৰ)
প্ৰশ্ন নং 4 : সংগত/অসংগত নিৰ্ণয় আৰু লৈখিক সমাধান:
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10 → সংগত (মিলি যায়, অসীম সমাধান)
(ii) x - y = 8, 3x - 3y = 16 → অসংগত (সমান্তৰাল)
(iii) 2x + y - 6 = 0, 4x - 2y - 4 = 0 → সংগত; ছেদবিন্দু = (2, 2)
(iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0 → অসংগত
প্ৰশ্ন নং 5 :
আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্থতকৈ দীঘ 4 m বেছি। ইয়াৰ অৰ্ধ-পৰিসীমা 36 m। বাগিচাখনৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
প্ৰস্থ = x, দীঘ = x + 4
x + (x + 4) = 36 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16 m
দীঘ = 20 m, প্ৰস্থ = 16 m
x + (x + 4) = 36 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 16 m
দীঘ = 20 m, প্ৰস্থ = 16 m
প্ৰশ্ন নং 6 :
2x + 3y - 8 = 0 ৰ সৈতে আন এটা সমীকৰণ লিখা যাতে ৰেখাদুটা: (i) কটাকটি কৰে, (ii) সমান্তৰাল হয়, (iii) মিলি যায়।
(i) কটাকটি কৰে: 3x + 2y - 7 = 0
(ii) সমান্তৰাল: 2x + 3y - 12 = 0
(iii) মিলি যায়: 4x + 6y - 16 = 0
(ii) সমান্তৰাল: 2x + 3y - 12 = 0
(iii) মিলি যায়: 4x + 6y - 16 = 0
প্ৰশ্ন নং 7 :
x - y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y - 12 = 0 ৰেখা দুটাই X-অক্ষৰ লগত কৰা ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা আৰু ত্ৰিভুজীয় ক্ষেত্ৰটো প্ৰচ্ছাদিত কৰা।
• ৰেখা দুডালৰ ছেদবিন্দু = (2, 3)
• প্ৰথম ৰেখাৰ X-অক্ষক কটা বিন্দু = (-1, 0)
• দ্বিতীয় ৰেখাৰ X-অক্ষক কটা বিন্দু = (4, 0)
ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দু তিনিটা: (-1, 0), (4, 0) আৰু (2, 3)
• প্ৰথম ৰেখাৰ X-অক্ষক কটা বিন্দু = (-1, 0)
• দ্বিতীয় ৰেখাৰ X-অক্ষক কটা বিন্দু = (4, 0)
অনুশীলনী : 3.3 (প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি)
প্ৰশ্ন নং 1 : প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা:
(i) x + y = 14 আৰু x - y = 4:
x = 4 + y ⇒ (4 + y) + y = 14 ⇒ x = 9, y = 5
x = 4 + y ⇒ (4 + y) + y = 14 ⇒ x = 9, y = 5
(ii) s - t = 3 আৰু s/3 + t/2 = 6:
2s + 3t = 36 ⇒ 2(3 + t) + 3t = 36 ⇒ s = 9, t = 6
2s + 3t = 36 ⇒ 2(3 + t) + 3t = 36 ⇒ s = 9, t = 6
(iii) 3x - y = 3 আৰু 9x - 3y = 9:
9 = 9 ⇒ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে (y = 3x - 3)
9 = 9 ⇒ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে (y = 3x - 3)
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 আৰু 0.4x + 0.5y = 2.3:
2x + 3y = 13, 4x + 5y = 23 ⇒ x = 2, y = 3
2x + 3y = 13, 4x + 5y = 23 ⇒ x = 2, y = 3
(v) √2x + √3y = 0 আৰু √3x - √8y = 0:
x = -(√3/√2)y ⇒ x = 0, y = 0
x = -(√3/√2)y ⇒ x = 0, y = 0
(vi) 3x/2 - 5y/3 = -2 আৰু x/3 + y/2 = 13/6:
9x - 10y = -12, 2x + 3y = 13 ⇒ x = 2, y = 3
9x - 10y = -12, 2x + 3y = 13 ⇒ x = 2, y = 3
প্ৰশ্ন নং 2 :
2x + 3y = 11 আৰু 2x - 4y = -24 সমাধান কৰা আৰু y = mx + 3 ৰ পৰা m উলিওৱা।
2x = 11 - 3y ⇒ 11 - 7y = -24 ⇒ y = 5, x = -2
y = mx + 3 ⇒ 5 = m(-2) + 3 ⇒ -2m = 2 ⇒ m = -1
সমাধান: x = -2, y = 5 আৰু m = -1
y = mx + 3 ⇒ 5 = m(-2) + 3 ⇒ -2m = 2 ⇒ m = -1
সমাধান: x = -2, y = 5 আৰু m = -1
প্ৰশ্ন নং 3 : প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমস্যা সমাধান:
(i) দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য 26, এটা আনটোৰ তিনিগুণ:
x - y = 26 আৰু x = 3y ⇒ সংখ্যা দুটা: 39 আৰু 13
x - y = 26 আৰু x = 3y ⇒ সংখ্যা দুটা: 39 আৰু 13
(ii) সম্পূৰক কোণৰ ডাঙৰটো সৰুটোতকৈ 18° বেছি:
x + y = 180° আৰু x - y = 18° ⇒ কোণ দুটা: 99° আৰু 81°
x + y = 180° আৰু x - y = 18° ⇒ কোণ দুটা: 99° আৰু 81°
(iii) 7 বেট + 6 বল = 3800; 3 বেট + 5 বল = 1750:
7x + 6y = 3800, 3x + 5y = 1750 ⇒ বেট = 500 টকা, বল = 50 টকা
7x + 6y = 3800, 3x + 5y = 1750 ⇒ বেট = 500 টকা, বল = 50 টকা
(iv) টেক্সি ভাড়া (10 km বাবে 105 টকা, 15 km বাবে 155 টকা):
x + 10y = 105, x + 15y = 155 ⇒ x = 5, y = 10
25 km বাবে ভাড়া = 5 + 25(10) = 255 টকা
x + 10y = 105, x + 15y = 155 ⇒ x = 5, y = 10
25 km বাবে ভাড়া = 5 + 25(10) = 255 টকা
(v) ভগ্নাংশ: লব আৰু হৰত 2 যোগ কৰিলে 9/11, 3 যোগ কৰিলে 5/6:
11x - 9y = -4 আৰু 6x - 5y = -3 ⇒ ভগ্নাংশ = 7/9
11x - 9y = -4 আৰু 6x - 5y = -3 ⇒ ভগ্নাংশ = 7/9
(vi) জেকব আৰু পুত্ৰৰ বয়স:
x - 3y = 10 আৰু x - 7y = -30 ⇒ জেকব = 40 বছৰ, পুত্ৰ = 10 বছৰ
x - 3y = 10 আৰু x - 7y = -30 ⇒ জেকব = 40 বছৰ, পুত্ৰ = 10 বছৰ
অনুশীলনী : 3.4 (অপনয়ন পদ্ধতি)
প্ৰশ্ন নং 1 : অপনয়ন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা:
(i) x + y = 5 আৰু 2x - 3y = 4 → 5x = 19 → x = 19/5, y = 6/5
(ii) 3x + 4y = 10 আৰু 2x - 2y = 2 → 7x = 14 → x = 2, y = 1
(iii) 3x - 5y = 4 আৰু 9x - 2y = 7 → -13y = 5 → x = 9/13, y = -5/13
(iv) 3x + 4y = -6 আৰু 3x - y = 9 → 5y = -15 → x = 2, y = -3
(v) 3y/2 - 5x/3 = -2 আৰু y/3 + x/3 = 13/6 → x = 2, y = 3
(vi) x - y = 3 আৰু 2x + 3y = 36 → 5y = 30 → x = 9, y = 6
(vii) 8/x - 9/y = 1 আৰু 10/x + 6/y = 7 → 1/x = 1/2, 1/y = 1/3 → x = 2, y = 3
প্ৰশ্ন নং 2 : অপনয়ন পদ্ধতিৰে সমস্যা সমাধান:
(i) ভগ্নাংশ:
x - y = -2 আৰু 2x - y = 1 ⇒ ভগ্নাংশ = 3/5
x - y = -2 আৰু 2x - y = 1 ⇒ ভগ্নাংশ = 3/5
(ii) নুৰ আৰু চুনুৰ বয়স:
x - 3y = -10 আৰু x - 2y = 10 ⇒ নুৰ = 50 বছৰ, চুনু = 20 বছৰ
x - 3y = -10 আৰু x - 2y = 10 ⇒ নুৰ = 50 বছৰ, চুনু = 20 বছৰ
(iii) সংখ্যাটোৰ অংকৰ সমষ্টি 9:
x + y = 9 আৰু 88x - 11y = 0 ⇒ y = 8x ⇒ সংখ্যাটো = 18
x + y = 9 আৰু 88x - 11y = 0 ⇒ y = 8x ⇒ সংখ্যাটো = 18
(iv) মীনাৰ 50 টকীয়া আৰু 100 টকীয়া নোট:
x + y = 25 আৰু x + 2y = 40 ⇒ 50 টকীয়া = 10 খন, 100 টকীয়া = 15 খন
x + y = 25 আৰু x + 2y = 40 ⇒ 50 টকীয়া = 10 খন, 100 টকীয়া = 15 খন
(v) লাইব্ৰেৰী মাচুল:
x + 4y = 27 আৰু x + 2y = 21 ⇒ নিৰ্দিষ্ট মাচুল = 15 টকা, দৈনিক অতিৰিক্ত = 3 টকা
x + 4y = 27 আৰু x + 2y = 21 ⇒ নিৰ্দিষ্ট মাচুল = 15 টকা, দৈনিক অতিৰিক্ত = 3 টকা
অনুশীলনী : 3.5 (বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি)
বজ্ৰ-গুণন সূত্ৰ আৰু চিত্ৰ:
সূত্ৰ: x / (b1c2 - b2c1) = y / (c1a2 - c2a1) = 1 / (a1b2 - a2b1)
প্ৰশ্ন নং 1 : সমাধানৰ স্থিতি আৰু বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতিৰে সমাধান:
(i) x - 3y - 3 = 0; 3x - 9y - 2 = 0 → কোনো সমাধান নাই
(ii) 2x + y = 5; 3x + 2y = 8 → x = 2, y = 1
(iii) 3x - 5y = 20; 6x - 10y = 40 → অসীম সংখ্যক সমাধান
(iv) x - 3y - 7 = 0; 3x - 3y - 15 = 0 → x = 4, y = -1
(v) 2x + 3y = 6; 4x + 6y = 12 → অসীম সংখ্যক সমাধান
(vi) x - 2y = 6; 3x - 6y = 0 → কোনো সমাধান নাই
(vii) 3a/x - 2b/y = -5; a/x + 3b/y = 2 → x = a, y = b
(viii) 2x + y - 15 = 0; 3x - y - 5 = 0 → x = 4, y = 7
প্ৰশ্ন নং 2 : অজ্ঞাত ৰাশিৰ মান নিৰ্ণয়:
(i) অসীম সমাধান: 2/(a - b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b - 2) → a = 5, b = 1
(ii) সমাধান নাই: 3/(2k - 1) = 1/(k - 1) ≠ 1/(2k + 1) → k = 2
(iii) একমাত্ৰ সমাধান: p/6 ≠ 1/2 → p ≠ 3
(iv) সমাধান নাই: (3k + 1)/(k2 + 1) = 3/(k - 2) → k = -1
(v) অসীম সমাধান: m/16 = 4/m = (m - 4)/m → m2 = 64 → m = 8
প্ৰশ্ন নং 3 : প্ৰতিষ্ঠাপন আৰু বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতিৰে সমাধান:
(i) 8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4 → x = -2, y = 5
(ii) 4x - 3y = 23; 3x + 4y = 11 → x = 5, y = -1
(iii) 2x + 3y - 11 = 0; 4x - 3y + 5 = 0 → x = 1, y = 3
(iv) 5x + 7y = 19; 3x + 2y = 7 → x = 1, y = 2
প্ৰশ্ন নং 4 : সমস্যাসমূহৰ সমাধান:
(i) ছাত্ৰাবাসৰ মাচুল:
x + 20y = 1000, x + 26y = 1180 ⇒ নিৰ্দিষ্ট = 400 টকা, খাদ্য = 30 টকা/দিন
x + 20y = 1000, x + 26y = 1180 ⇒ নিৰ্দিষ্ট = 400 টকা, খাদ্য = 30 টকা/দিন
(ii) ভগ্নাংশ:
3x - y = 3 আৰু 4x - y = 8 ⇒ ভগ্নাংশ = 5/12
3x - y = 3 আৰু 4x - y = 8 ⇒ ভগ্নাংশ = 5/12
(iii) যশোদাৰ পৰীক্ষাৰ প্ৰশ্ন:
3x - y = 40, 4x - 2y = 50 ⇒ মুঠ প্ৰশ্ন = 15 + 5 = 20 টা
3x - y = 40, 4x - 2y = 50 ⇒ মুঠ প্ৰশ্ন = 15 + 5 = 20 টা
(iv) গাড়ী দুখনৰ দ্ৰুতি:
u - v = 20 আৰু u + v = 100 ⇒ দ্ৰুতি = 60 km/h আৰু 40 km/h
u - v = 20 আৰু u + v = 100 ⇒ দ্ৰুতি = 60 km/h আৰু 40 km/h
(v) আয়তৰ মাত্ৰা:
3x - 5y = 6 আৰু 2x + 3y = 61 ⇒ দীঘ = 17 একক, প্ৰস্থ = 9 একক
3x - 5y = 6 আৰু 2x + 3y = 61 ⇒ দীঘ = 17 একক, প্ৰস্থ = 9 একক
অনুশীলনী : 3.6 (ৰূপান্তৰযোগ্য সমীকৰণ)
প্ৰশ্ন নং 1 : ৰৈখিক সমীকৰণলৈ ৰূপান্তৰ কৰি সমাধান:
(i) 1/(2x) + 1/(3y) = 2; 1/(3x) + 1/(2y) = 13/6 → x = 1/2, y = 1/3
(ii) 2/√x + 3/√y = 2; 4/√x - 9/√y = -1 → x = 4, y = 9
(iii) 4/x + 3y = 14; 3/x - 4y = 23 → x = 1/5, y = -2
(iv) 5/(x - 1) + 1/(y - 2) = 2; 6/(x - 1) - 3/(y - 2) = 1 → x = 4, y = 5
(v) 7/y - 2/x = 5; 8/y + 7/x = 15 → x = 1, y = 1
(vi) 6/y + 3/x = 6; 2/y + 4/x = 5 → x = 1, y = 2
(vii) 10/(x + y) + 2/(x - y) = 4; 15/(x + y) - 5/(x - y) = -2 → x = 3, y = 2
(viii) 1/(3x + y) + 1/(3x - y) = 3/4; 1/[2(3x + y)] - 1/[2(3x - y)] = -1/8 → x = 1, y = 1
প্ৰশ্ন নং 2 : সমস্যা সমাধান:
(i) ঋতুৰ নাও চলোৱাৰ দ্ৰুতি:
x + y = 10 আৰু x - y = 2 ⇒ নাওৰ দ্ৰুতি = 6 km/h, সোঁতৰ দ্ৰুতি = 4 km/h
x + y = 10 আৰু x - y = 2 ⇒ নাওৰ দ্ৰুতি = 6 km/h, সোঁতৰ দ্ৰুতি = 4 km/h
(ii) মহিলা আৰু পুৰুষৰ কাম:
2/x + 5/y = 1/4 আৰু 3/x + 6/y = 1/3 ⇒ 1 গৰাকী মহিলা = 18 দিন, 1 জন পুৰুষ = 36 দিন
2/x + 5/y = 1/4 আৰু 3/x + 6/y = 1/3 ⇒ 1 গৰাকী মহিলা = 18 দিন, 1 জন পুৰুষ = 36 দিন
(iii) ৰে'লগাড়ী আৰু বাছৰ দ্ৰুতি:
60/x + 240/y = 4 আৰু 100/x + 200/y = 25/6 ⇒ ৰে'লগাড়ীৰ দ্ৰুতি = 60 km/h, বাছৰ দ্ৰুতি = 80 km/h
60/x + 240/y = 4 আৰু 100/x + 200/y = 25/6 ⇒ ৰে'লগাড়ীৰ দ্ৰুতি = 60 km/h, বাছৰ দ্ৰুতি = 80 km/h
অনুশীলনী : 3.7 (ঐচ্ছিক / Optional)
প্ৰশ্ন নং 1 :
অলি আৰু বিজুৰ বয়সৰ পাৰ্থক্য 3 বছৰ। দেউতাক 2x আৰু মিলি y/2 হ'লে বয়স উলিওৱা।
x - y = 3 বা y - x = 3; 4x - y = 60
অলি = 19, বিজু = 16 (বা অলি = 21, বিজু = 24)
অলি = 19, বিজু = 16 (বা অলি = 21, বিজু = 24)
প্ৰশ্ন নং 2 :
দুই বন্ধুৰ মূলধন (ভাস্কৰৰ বীজগণিত):
x + 100 = 2(y - 100) ⇒ x - 2y = -300
y + 10 = 6(x - 10) ⇒ 6x - y = 70
প্ৰথম বন্ধু = 40 টকা, দ্বিতীয় বন্ধু = 170 টকা
y + 10 = 6(x - 10) ⇒ 6x - y = 70
প্ৰথম বন্ধু = 40 টকা, দ্বিতীয় বন্ধু = 170 টকা
প্ৰশ্ন নং 3 :
ৰে'লগাড়ীয়ে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব:
-x + 5y = 10 আৰু 3x - 10y = 30 ⇒ x = 50 km/h, y = 12 h
নিৰ্ণেয় দূৰত্ব = 50 × 12 = 600 km
নিৰ্ণেয় দূৰত্ব = 50 × 12 = 600 km
প্ৰশ্ন নং 4 :
শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰৰ সংখ্যা:
-x + 3y = 3 আৰু 2x - 3y = 6 ⇒ x = 9, y = 4
মুঠ ছাত্ৰ = 9 × 4 = 36 জন
মুঠ ছাত্ৰ = 9 × 4 = 36 জন
প্ৰশ্ন নং 5 :
ΔABC ৰ কোণ তিনিটা: ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B)।
∠A = ∠B/2, ∠C = 3∠B
(9/2)∠B = 180° ⇒ ∠B = 40°
∠A = 20°, ∠B = 40°, ∠C = 120°
(9/2)∠B = 180° ⇒ ∠B = 40°
∠A = 20°, ∠B = 40°, ∠C = 120°
প্ৰশ্ন নং 6 :
5x - y = 5 আৰু 3x - y = 3 ৰেখাদ্বয় আৰু Y-অক্ষৰ ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু:
ছেদবিন্দু = (1, 0); Y-অক্ষক কটা বিন্দু = (0, -5) আৰু (0, -3)
শীৰ্ষবিন্দুসমূহ: (1, 0), (0, -3), (0, -5)
শীৰ্ষবিন্দুসমূহ: (1, 0), (0, -3), (0, -5)
প্ৰশ্ন নং 7 : সমীকৰণযোৰ সমাধা কৰা:
(i) px + qy = p - q; qx - py = p + q → x = 1, y = -1
(ii) ax + by = c; bx + ay = 1 + c → x = [c(a - b) + b] / (a2 - b2), y = [c(b - a) + a] / (a2 - b2)
(iii) x/a - y/b = 0; ax + by = a2 + b2 → x = a, y = b
(iv) (a - b)x + (a + b)y = a2 - 2ab - b2; (a + b)(x + y) = a2 + b2 → x = a + b, y = -2ab / (a + b)
(v) 152x - 378y = -74 আৰু -378x + 152y = -604 → যোগ কৰি: x + y = 3; বিয়োগ কৰি: x - y = 1 → x = 2, y = 1
প্ৰশ্ন নং 8 :
ABCD চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজৰ কোণসমূহ নিৰ্ণয় কৰা (চিত্ৰ 3.7):
∠A = 4y + 20, ∠B = 3y - 5, ∠C = -4x, ∠D = -7x + 5
∠A = 4y + 20, ∠B = 3y - 5, ∠C = -4x, ∠D = -7x + 5
চক্ৰীয় চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত কোণদ্বয়ৰ সমষ্টি = 180°:
• ∠A + ∠C = 180° ⇒ (4y + 20) + (-4x) = 180 ⇒ -x + y = 40 —— (1)
• ∠B + ∠D = 180° ⇒ (3y - 5) + (-7x + 5) = 180 ⇒ -7x + 3y = 180 —— (2)
সমাধান কৰিলে: x = -15, y = 25
• ∠A = 4(25) + 20 = 120°
• ∠B = 3(25) - 5 = 70°
• ∠C = -4(-15) = 60°
• ∠D = -7(-15) + 5 = 110°
কোণসমূহ: ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60°, ∠D = 110°
• ∠A + ∠C = 180° ⇒ (4y + 20) + (-4x) = 180 ⇒ -x + y = 40 —— (1)
• ∠B + ∠D = 180° ⇒ (3y - 5) + (-7x + 5) = 180 ⇒ -7x + 3y = 180 —— (2)
• ∠A = 4(25) + 20 = 120°
• ∠B = 3(25) - 5 = 70°
• ∠C = -4(-15) = 60°
• ∠D = -7(-15) + 5 = 110°
কোণসমূহ: ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60°, ∠D = 110°