অনুশীলনী : 2.1 (লেখ আৰু শূন্যৰ সংখ্যা)
মূল নীতি: বহুপদ y = p(x) ৰ লেখচিত্ৰই X-অক্ষক যিমানটা বিন্দুত কাটে বা স্পৰ্শ কৰে, p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা ঠিক সিমানেই হয়।
প্ৰশ্ন নং 1 :
কিছুমান বহুপদ p(x) ৰ ক্ষেত্ৰত y = p(x) ৰ লেখবোৰ তলৰ চিত্ৰ 2.10 ত দিয়া আছে। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা উলিওৱা:
(i) চিত্ৰ 2.10 (i):
লেখডাল X-অক্ষৰ সমান্তৰাল সৰলৰেখা আৰু ই X-অক্ষক কোনো বিন্দুত ছেদ নকৰে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 0
লেখডাল X-অক্ষৰ সমান্তৰাল সৰলৰেখা আৰু ই X-অক্ষক কোনো বিন্দুত ছেদ নকৰে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 0
(ii) চিত্ৰ 2.10 (ii):
লেখটোৱে X-অক্ষক মাত্ৰ 1 টা বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 1
লেখটোৱে X-অক্ষক মাত্ৰ 1 টা বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 1
(iii) চিত্ৰ 2.10 (iii):
লেখটোৱে X-অক্ষক 3 টা বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 3
লেখটোৱে X-অক্ষক 3 টা বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 3
(iv) চিত্ৰ 2.10 (iv):
অধিবৃত্তটোৱে (Parabola) X-অক্ষক 2 টা বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 2
অধিবৃত্তটোৱে (Parabola) X-অক্ষক 2 টা বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 2
(v) চিত্ৰ 2.10 (v):
লেখটোৱে X-অক্ষক 4 টা স্পষ্ট বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 4
লেখটোৱে X-অক্ষক 4 টা স্পষ্ট বিন্দুত কাটিছে।
শূন্যৰ সংখ্যা = 4
(vi) চিত্ৰ 2.10 (vi):
লেখটোৱে X-অক্ষক 1 টা বিন্দুত কাটিছে আৰু 2 টা বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে (মুঠ 3 টা বিন্দু)।
শূন্যৰ সংখ্যা = 3
লেখটোৱে X-অক্ষক 1 টা বিন্দুত কাটিছে আৰু 2 টা বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে (মুঠ 3 টা বিন্দু)।
শূন্যৰ সংখ্যা = 3
অনুশীলনী : 2.2 (শূন্য আৰু সহগৰ সম্পৰ্ক)
দ্বিঘাত বহুপদ ax2 + bx + c ৰ বাবে:
• শূন্য দুটাৰ সমষ্টি (α + β) = -b/a = -(x ৰ সহগ) / (x2 ৰ সহগ)
• শূন্য দুটাৰ গুণফল (αβ) = c/a = ধ্ৰুৱক পদ / (x2 ৰ সহগ)
• বহুপদ গঠনৰ সূত্ৰ: k[x2 - (α + β)x + αβ]
• শূন্য দুটাৰ সমষ্টি (α + β) = -b/a = -(x ৰ সহগ) / (x2 ৰ সহগ)
• শূন্য দুটাৰ গুণফল (αβ) = c/a = ধ্ৰুৱক পদ / (x2 ৰ সহগ)
• বহুপদ গঠনৰ সূত্ৰ: k[x2 - (α + β)x + αβ]
প্ৰশ্ন নং 1 :
তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা:
(i) x2 - 2x - 8 | (ii) 4s2 - 4s + 1 | (iii) 6x2 - 3 - 7x
(iv) 4u2 + 8u | (v) t2 - 15 | (vi) 3x2 - x - 4
(i) x2 - 2x - 8 | (ii) 4s2 - 4s + 1 | (iii) 6x2 - 3 - 7x
(iv) 4u2 + 8u | (v) t2 - 15 | (vi) 3x2 - x - 4
(i) x2 - 2x - 8:
= (x - 4)(x + 2) ⇒ শূন্য দুটা: 4 আৰু -2
• সমষ্টি = 4 + (-2) = 2 = -(-2)/1 = -b/a
• গুণফল = 4(-2) = -8 = -8/1 = c/a
= (x - 4)(x + 2) ⇒ শূন্য দুটা: 4 আৰু -2
• সমষ্টি = 4 + (-2) = 2 = -(-2)/1 = -b/a
• গুণফল = 4(-2) = -8 = -8/1 = c/a
(ii) 4s2 - 4s + 1:
= (2s - 1)2 ⇒ শূন্য দুটা: 1/2 আৰু 1/2
• সমষ্টি = 1/2 + 1/2 = 1 = -(-4)/4 = -b/a
• গুণফল = (1/2)(1/2) = 1/4 = c/a
= (2s - 1)2 ⇒ শূন্য দুটা: 1/2 আৰু 1/2
• সমষ্টি = 1/2 + 1/2 = 1 = -(-4)/4 = -b/a
• গুণফল = (1/2)(1/2) = 1/4 = c/a
(iii) 6x2 - 7x - 3:
= (2x - 3)(3x + 1) ⇒ শূন্য দুটা: 3/2 আৰু -1/3
• সমষ্টি = 3/2 - 1/3 = 7/6 = -(-7)/6 = -b/a
• গুণফল = (3/2)(-1/3) = -3/6 = c/a
= (2x - 3)(3x + 1) ⇒ শূন্য দুটা: 3/2 আৰু -1/3
• সমষ্টি = 3/2 - 1/3 = 7/6 = -(-7)/6 = -b/a
• গুণফল = (3/2)(-1/3) = -3/6 = c/a
(iv) 4u2 + 8u:
= 4u(u + 2) ⇒ শূন্য দুটা: 0 আৰু -2
• সমষ্টি = 0 + (-2) = -2 = -8/4 = -b/a
• গুণফল = 0(-2) = 0 = 0/4 = c/a
= 4u(u + 2) ⇒ শূন্য দুটা: 0 আৰু -2
• সমষ্টি = 0 + (-2) = -2 = -8/4 = -b/a
• গুণফল = 0(-2) = 0 = 0/4 = c/a
(v) t2 - 15:
= (t - √15)(t + √15) ⇒ শূন্য দুটা: √15 আৰু -√15
• সমষ্টি = √15 - √15 = 0 = -0/1 = -b/a
• গুণফল = (√15)(-√15) = -15 = -15/1 = c/a
= (t - √15)(t + √15) ⇒ শূন্য দুটা: √15 আৰু -√15
• সমষ্টি = √15 - √15 = 0 = -0/1 = -b/a
• গুণফল = (√15)(-√15) = -15 = -15/1 = c/a
(vi) 3x2 - x - 4:
= (3x - 4)(x + 1) ⇒ শূন্য দুটা: 4/3 আৰু -1
• সমষ্টি = 4/3 - 1 = 1/3 = -(-1)/3 = -b/a
• গুণফল = (4/3)(-1) = -4/3 = c/a
= (3x - 4)(x + 1) ⇒ শূন্য দুটা: 4/3 আৰু -1
• সমষ্টি = 4/3 - 1 = 1/3 = -(-1)/3 = -b/a
• গুণফল = (4/3)(-1) = -4/3 = c/a
প্ৰশ্ন নং 2 :
তলৰ যোৰকেইটাৰ সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্যবোৰৰ সমষ্টি আৰু গুণফল হিচাপে ধৰি একোটাকৈ দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 1/4, -1 | (ii) √2, 1/3 | (iii) 0, √5 | (iv) 1, 1 | (v) -1/4, 1/4 | (vi) 4, 1
(i) 1/4, -1 | (ii) √2, 1/3 | (iii) 0, √5 | (iv) 1, 1 | (v) -1/4, 1/4 | (vi) 4, 1
(i) k[x2 - (1/4)x - 1] → 4x2 - x - 4
(ii) k[x2 - √2x + 1/3] → 3x2 - 3√2x + 1
(iii) x2 - 0x + √5 → x2 + √5
(iv) x2 - 1x + 1 → x2 - x + 1
(v) k[x2 - (-1/4)x + 1/4] → 4x2 + x + 1
(vi) x2 - 4x + 1 → x2 - 4x + 1
প্ৰশ্ন নং 3 :
দ্বিঘাত বহুপদবোৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্যকেইটা তলত দিয়া ধৰণৰ:
(i) -4 আৰু 3/2 | (ii) 5 আৰু 2 | (iii) 1/3 আৰু -1 | (iv) 3/2 আৰু -2
(i) -4 আৰু 3/2 | (ii) 5 আৰু 2 | (iii) 1/3 আৰু -1 | (iv) 3/2 আৰু -2
(i) -4 আৰু 3/2:
সমষ্টি = -5/2, গুণফল = -6 ⇒ 2x2 + 5x - 12
সমষ্টি = -5/2, গুণফল = -6 ⇒ 2x2 + 5x - 12
(ii) 5 আৰু 2:
সমষ্টি = 7, গুণফল = 10 ⇒ x2 - 7x + 10
সমষ্টি = 7, গুণফল = 10 ⇒ x2 - 7x + 10
(iii) 1/3 আৰু -1:
সমষ্টি = -2/3, গুণফল = -1/3 ⇒ 3x2 + 2x - 1
সমষ্টি = -2/3, গুণফল = -1/3 ⇒ 3x2 + 2x - 1
(iv) 3/2 আৰু -2:
সমষ্টি = -1/2, গুণফল = -3 ⇒ 2x2 + x - 6
সমষ্টি = -1/2, গুণফল = -3 ⇒ 2x2 + x - 6
অনুশীলনী : 2.3 (বহুপদৰ হৰণ আৰু বিভাজন কলনবিধি)
বিভাজন কলনবিধি: p(x) = g(x) × q(x) + r(x), য'ত r(x) = 0 বা deg r(x) < deg g(x)।
প্ৰশ্ন নং 1 :
p(x) বহুপদটোক g(x) বহুপদটোৰে হৰণ কৰা আৰু প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ভাগফল q(x) আৰু ভাগশেষ r(x) নিৰ্ণয় কৰা:
(i) p(x) = x3 - 3x2 + 5x - 3, g(x) = x2 - 2:
x3 - 3x2 + 5x - 3 = (x2 - 2)(x - 3) + (7x - 9)
ভাগফল q(x) = x - 3, ভাগশেষ r(x) = 7x - 9
x3 - 3x2 + 5x - 3 = (x2 - 2)(x - 3) + (7x - 9)
ভাগফল q(x) = x - 3, ভাগশেষ r(x) = 7x - 9
(ii) p(x) = x4 - 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 - x + 1:
x4 - 3x2 + 4x + 5 = (x2 - x + 1)(x2 + x - 3) + 8
ভাগফল q(x) = x2 + x - 3, ভাগশেষ r(x) = 8
x4 - 3x2 + 4x + 5 = (x2 - x + 1)(x2 + x - 3) + 8
ভাগফল q(x) = x2 + x - 3, ভাগশেষ r(x) = 8
(iii) p(x) = x4 - 5x + 6, g(x) = -x2 + 2:
x4 - 5x + 6 = (-x2 + 2)(-x2 - 2) + (-5x + 10)
ভাগফল q(x) = -x2 - 2, ভাগশেষ r(x) = -5x + 10
x4 - 5x + 6 = (-x2 + 2)(-x2 - 2) + (-5x + 10)
ভাগফল q(x) = -x2 - 2, ভাগশেষ r(x) = -5x + 10
(iv) p(x) = 2x4 + 3x3 - 2x2 - 9x - 12, g(x) = x2 - 3:
ভাগফল q(x) = 2x2 + 3x + 4, ভাগশেষ r(x) = 0
ভাগফল q(x) = 2x2 + 3x + 4, ভাগশেষ r(x) = 0
(v) p(x) = x6 + 3x2 + 10, g(x) = x3 + 1:
ভাগফল q(x) = x3 - 1, ভাগশেষ r(x) = 3x2 + 11
ভাগফল q(x) = x3 - 1, ভাগশেষ r(x) = 3x2 + 11
(vi) p(x) = 2x5 - 5x4 + 7x3 + 4x2 - 10x + 11, g(x) = x3 + 2:
ভাগফল q(x) = 2x2 - 5x + 7, ভাগশেষ r(x) = -3
ভাগফল q(x) = 2x2 - 5x + 7, ভাগশেষ r(x) = -3
প্ৰশ্ন নং 2 :
দ্বিতীয় বহুপদটোক প্ৰথম বহুপদেৰে হৰণ কৰি প্ৰথমটো দ্বিতীয়টোৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা:
(i) t2 - 3 ৰে 2t4 + 3t3 - 2t2 - 9t - 12 ক হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 0 ওলায়। → উৎপাদক হয়
(ii) x2 + 3x + 1 ৰে 3x4 + 5x3 - 7x2 + 2x + 2 ক হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 0 ওলায়। → উৎপাদক হয়
(iii) x3 - 3x + 1 ৰে x5 - 4x3 + x2 + 3x + 1 ক হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 2 ওলায় (0 নহয়)। → উৎপাদক নহয়
(ii) x2 + 3x + 1 ৰে 3x4 + 5x3 - 7x2 + 2x + 2 ক হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 0 ওলায়। → উৎপাদক হয়
(iii) x3 - 3x + 1 ৰে x5 - 4x3 + x2 + 3x + 1 ক হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 2 ওলায় (0 নহয়)। → উৎপাদক নহয়
প্ৰশ্ন নং 3 :
3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5 ৰ দুটা শূন্য √(5/3) আৰু -√(5/3) হ'লে বাকী শূন্যবোৰ উলিওৱা।
উৎপাদক = (x - √(5/3))(x + √(5/3)) = x2 - 5/3 ⇒ (3x2 - 5)
3x2 - 5 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
বাকী শূন্য দুটা: -1 আৰু -1
3x2 - 5 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
বাকী শূন্য দুটা: -1 আৰু -1
প্ৰশ্ন নং 4 :
x3 - 3x2 + x + 2 ক g(x) ৰে হৰণ কৰাত ভাগফল x - 2 আৰু ভাগশেষ -2x + 4 পোৱা গ'ল। g(x) উলিওৱা।
g(x) = [p(x) - r(x)] / q(x)
= [x3 - 3x2 + x + 2 - (-2x + 4)] / (x - 2)
= (x3 - 3x2 + 3x - 2) / (x - 2) = x2 - x + 1
g(x) = x2 - x + 1
= [x3 - 3x2 + x + 2 - (-2x + 4)] / (x - 2)
= (x3 - 3x2 + 3x - 2) / (x - 2) = x2 - x + 1
g(x) = x2 - x + 1
প্ৰশ্ন নং 5 :
বিভাজন কলনবিধি সিদ্ধ কৰা বহুপদৰ উদাহৰণ দিয়া যাতে:
(i) deg p(x) = deg q(x): p(x) = 2x2 - 2x + 14, g(x) = 2, q(x) = x2 - x + 7, r(x) = 0
(ii) deg q(x) = deg r(x): p(x) = x3 + x2 + x + 1, g(x) = x2 - 1, q(x) = x + 1, r(x) = 2x + 2
(iii) deg r(x) = 0: p(x) = x3 + 2x2 - x + 2, g(x) = x2 - 1, q(x) = x + 2, r(x) = 4
(ii) deg q(x) = deg r(x): p(x) = x3 + x2 + x + 1, g(x) = x2 - 1, q(x) = x + 1, r(x) = 2x + 2
(iii) deg r(x) = 0: p(x) = x3 + 2x2 - x + 2, g(x) = x2 - 1, q(x) = x + 2, r(x) = 4
প্ৰশ্ন নং 6 : বাকী থকা শূন্যবোৰ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 3x3 - x2 - 3x + 1 ৰ এটা শূন্য 1:
(x - 1) ৰে হৰণ কৰিলে: 3x2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x + 1)
বাকী শূন্য: 1/3 আৰু -1
(x - 1) ৰে হৰণ কৰিলে: 3x2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x + 1)
বাকী শূন্য: 1/3 আৰু -1
(ii) x4 + x3 - 9x2 - 3x + 18 ৰ দুটা শূন্য √3 আৰু -√3:
(x2 - 3) ৰে হৰণ কৰিলে: x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
বাকী শূন্য: -3 আৰু 2
(x2 - 3) ৰে হৰণ কৰিলে: x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
বাকী শূন্য: -3 আৰু 2
(iii) x4 - 2x3 - 26x2 + 54x - 27 ৰ দুটা শূন্য 3√3 আৰু -3√3:
(x2 - 27) ৰে হৰণ কৰিলে: x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 ⇒ বাকী শূন্য: 1 আৰু 1
(x2 - 27) ৰে হৰণ কৰিলে: x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 ⇒ বাকী শূন্য: 1 আৰু 1
প্ৰশ্ন নং 7(i) :
6x4 + 11x3 - 7x2 - 15x - 50 ক 3x + 7 ৰে হৰণ কৰাত ভাগশেষ -15 হ'লে ভাগফল কি?
(3x + 7) × q(x) = p(x) - (-15) = 6x4 + 11x3 - 7x2 - 15x - 35
(3x + 7) ৰে হৰণ কৰিলে: ভাগফল q(x) = 2x3 - x2 - 5
(3x + 7) ৰে হৰণ কৰিলে: ভাগফল q(x) = 2x3 - x2 - 5
প্ৰশ্ন নং 7(ii) :
ভাজক x2 - 2, ভাগফল 2x2 + 5x - 2 আৰু ভাগশেষ -x + 14 হ'লে বহুপদটো নিৰ্ণয় কৰা।
p(x) = (x2 - 2)(2x2 + 5x - 2) + (-x + 14)
= 2x4 + 5x3 - 2x2 - 4x2 - 10x + 4 - x + 14
p(x) = 2x4 + 5x3 - 6x2 - 11x + 18
= 2x4 + 5x3 - 2x2 - 4x2 - 10x + 4 - x + 14
p(x) = 2x4 + 5x3 - 6x2 - 11x + 18
অনুশীলনী : 2.4 (ঐচ্ছিক / Optional)
প্ৰশ্ন নং 1 :
ত্ৰিঘাত বহুপদৰ লগত দিয়া সংখ্যাকেইটা ইহঁতৰ শূন্য হ'ব বুলি সত্যাপন কৰা আৰু শূন্য আৰু সহগৰ সম্বন্ধ পৰীক্ষা কৰা:
(i) 2x3 + x2 - 5x + 2; শূন্য: 1/2, 1, -2:
মান বহুৱাই: p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0 (সত্যাাপিত)
• α + β + γ = 1/2 + 1 - 2 = -1/2 = -b/a
• αβ + βγ + γα = 1/2 - 2 - 1 = -5/2 = c/a
• αβγ = (1/2)(1)(-2) = -1 = -d/a
মান বহুৱাই: p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0 (সত্যাাপিত)
• α + β + γ = 1/2 + 1 - 2 = -1/2 = -b/a
• αβ + βγ + γα = 1/2 - 2 - 1 = -5/2 = c/a
• αβγ = (1/2)(1)(-2) = -1 = -d/a
(ii) x3 - 4x2 + 5x - 2; শূন্য: 2, 1, 1:
p(2) = 0, p(1) = 0 (সত্যাাপিত)
• α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = -(-4)/1 = -b/a
• αβ + βγ + γα = 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1 = c/a
• αβγ = 2(1)(1) = 2 = -(-2)/1 = -d/a
p(2) = 0, p(1) = 0 (সত্যাাপিত)
• α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = -(-4)/1 = -b/a
• αβ + βγ + γα = 2 + 1 + 2 = 5 = 5/1 = c/a
• αβγ = 2(1)(1) = 2 = -(-2)/1 = -d/a
প্ৰশ্ন নং 2 :
শূন্যবোৰৰ সমষ্টি 2, দুটাকৈ গুণফলৰ সমষ্টি -7 আৰু গুণফল -14 হ'লে ত্ৰিঘাত বহুপদটো কি?
p(x) = x3 - (α+β+γ)x2 + (αβ+βγ+γα)x - αβγ
= x3 - 2x2 - 7x - (-14)
p(x) = x3 - 2x2 - 7x + 14
= x3 - 2x2 - 7x - (-14)
p(x) = x3 - 2x2 - 7x + 14
প্ৰশ্ন নং 3 :
x3 - 3x2 + x + 1 ৰ শূন্য তিনিটা a - b, a, a + b হ'লে a আৰু b নিৰ্ণয় কৰা।
সমষ্টি: (a - b) + a + (a + b) = 3 ⇒ 3a = 3 ⇒ a = 1
গুণফল: (a - b)a(a + b) = -1 ⇒ 1(1 - b2) = -1
⇒ b2 = 2 ⇒ b = ±√2
a = 1 আৰু b = ±√2
গুণফল: (a - b)a(a + b) = -1 ⇒ 1(1 - b2) = -1
⇒ b2 = 2 ⇒ b = ±√2
a = 1 আৰু b = ±√2
প্ৰশ্ন নং 4 :
x4 - 6x3 - 26x2 + 138x - 35 ৰ দুটা শূন্য 2 ± √3 হ'লে আন শূন্যবোৰ উলিওৱা।
উৎপাদক = (x - 2)2 - 3 = x2 - 4x + 1
হৰণ কৰিলে: x2 - 2x - 35 = (x - 7)(x + 5)
বাকী শূন্য দুটা: 7 আৰু -5
হৰণ কৰিলে: x2 - 2x - 35 = (x - 7)(x + 5)
বাকী শূন্য দুটা: 7 আৰু -5
প্ৰশ্ন নং 5 :
x4 - 6x3 + 16x2 - 25x + 10 ক x2 - 2x + k ৰে হৰণ কৰাত ভাগশেষ x + a ওলালে k আৰু a উলিওৱা।
হৰণ কৰিলে ভাগশেষ ওলায়: (2k - 9)x + (k2 - 8k + 10)
প্ৰশ্নমতে ই x + a ৰ সমান। সহগ তুলনা কৰি:
2k - 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5
a = 52 - 8(5) + 10 = 25 - 40 + 10 = -5
k = 5 আৰু a = -5
প্ৰশ্নমতে ই x + a ৰ সমান। সহগ তুলনা কৰি:
2k - 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5
a = 52 - 8(5) + 10 = 25 - 40 + 10 = -5
k = 5 আৰু a = -5