অনুশীলনী 7.1 (Exercise 7.1)
প্ৰশ্ন 1 তলৰ কোনকেইটা সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
নিয়ম: মৌলিক উৎপাদকসমূহ ৩ টাকৈ থুপ (ত্রিগোট) কৰিব পাৰিলেহে সংখ্যাটো পূৰ্ণঘন হ'ব।
(a) 500:
500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2² × 5³
ইয়াত 2 তিনিটা নাই।
উত্তৰ: 500 পূৰ্ণঘন সংখ্যা নহয়।
500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2² × 5³
ইয়াত 2 তিনিটা নাই।
উত্তৰ: 500 পূৰ্ণঘন সংখ্যা নহয়।
(b) 1331:
1331 = 11 × 11 × 11 = 11³
উত্তৰ: 1331 এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা (11³)।
1331 = 11 × 11 × 11 = 11³
উত্তৰ: 1331 এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা (11³)।
(c) 2025:
2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3⁴ × 5²
উৎপাদকবোৰ তিনিটাকৈ যোৰ হোৱা নাই।
উত্তৰ: 2025 পূৰ্ণঘন সংখ্যা নহয়।
2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3⁴ × 5²
উৎপাদকবোৰ তিনিটাকৈ যোৰ হোৱা নাই।
উত্তৰ: 2025 পূৰ্ণঘন সংখ্যা নহয়।
(d) 6859:
6859 = 19 × 19 × 19 = 19³
উত্তৰ: 6859 এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা (19³)।
6859 = 19 × 19 × 19 = 19³
উত্তৰ: 6859 এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা (19³)।
(e) 2376:
2376 = 2³ × 3³ × 11
ইয়াত 11 অকলশৰীয়া।
উত্তৰ: 2376 পূৰ্ণঘন সংখ্যা নহয়।
2376 = 2³ × 3³ × 11
ইয়াত 11 অকলশৰীয়া।
উত্তৰ: 2376 পূৰ্ণঘন সংখ্যা নহয়।
(f) 8000:
8000 = (2×2×2) × (2×2×2) × (5×5×5) = 2³ × 2³ × 5³ = 20³
উত্তৰ: 8000 এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা (20³)।
8000 = (2×2×2) × (2×2×2) × (5×5×5) = 2³ × 2³ × 5³ = 20³
উত্তৰ: 8000 এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা (20³)।
প্ৰশ্ন 2 এটা ঘন সংখ্যা পাবলৈ আটাইতকৈ সৰু কি সংখ্যাৰে তলৰ সংখ্যাবোৰক পূৰণ কৰিব লাগিব?
(a) 675:
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3³ × 5²
ইয়াত 5 দুটা আছে, এটা 5 কম।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 5 (675 × 5 = 3375 = 15³)।
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3³ × 5²
ইয়াত 5 দুটা আছে, এটা 5 কম।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 5 (675 × 5 = 3375 = 15³)।
(b) 256:
256 = (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2) = 2³ × 2³ × 2²
এটা 2 কম হৈ আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 2 (256 × 2 = 512 = 8³)।
256 = (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2) = 2³ × 2³ × 2²
এটা 2 কম হৈ আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 2 (256 × 2 = 512 = 8³)।
(c) 100:
100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²
এটা 2 আৰু এটা 5 কম আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 2 × 5 = 10 (100 × 10 = 1000 = 10³)।
100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²
এটা 2 আৰু এটা 5 কম আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 2 × 5 = 10 (100 × 10 = 1000 = 10³)।
(d) 72:
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
এটা 3 কম আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 3 (72 × 3 = 216 = 6³)।
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
এটা 3 কম আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম পূৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 3 (72 × 3 = 216 = 6³)।
প্ৰশ্ন 3 এটা ঘন সংখ্যা পাবলৈ আটাইতকৈ সৰু কি সংখ্যাৰে তলৰ সংখ্যাবোৰক হৰণ কৰিব লাগিব?
(a) 2401:
2401 = 7 × 7 × 7 × 7 = 7³ × 7
ইয়াত এটা 7 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 7 (2401 ÷ 7 = 343 = 7³)।
2401 = 7 × 7 × 7 × 7 = 7³ × 7
ইয়াত এটা 7 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 7 (2401 ÷ 7 = 343 = 7³)।
(b) 8192:
8192 = 2¹³ = (2³)⁴ × 2 = 2¹² × 2
ইয়াত এটা 2 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 2 (8192 ÷ 2 = 4096 = 16³)।
8192 = 2¹³ = (2³)⁴ × 2 = 2¹² × 2
ইয়াত এটা 2 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 2 (8192 ÷ 2 = 4096 = 16³)।
(c) 6561:
6561 = 3⁸ = 3⁶ × 3² = (3²)³ × 9
ইয়াত 3 × 3 = 9 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 9 (6561 ÷ 9 = 729 = 9³)।
6561 = 3⁸ = 3⁶ × 3² = (3²)³ × 9
ইয়াত 3 × 3 = 9 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 9 (6561 ÷ 9 = 729 = 9³)।
(d) 100,000:
100,000 = 10⁵ = 10³ × 10² = 10³ × 100
ইয়াত 100 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 100 (100000 ÷ 100 = 1000 = 10³)।
100,000 = 10⁵ = 10³ × 10² = 10³ × 100
ইয়াত 100 অতিৰিক্ত আছে।
উত্তৰ: ক্ষুদ্ৰতম হৰণ কৰিবলগীয়া সংখ্যা = 100 (100000 ÷ 100 = 1000 = 10³)।
প্ৰশ্ন 4 আটাইতকৈ কি সৰু সংখ্যাৰে তলৰ সংখ্যাবোৰক পূৰণ অথবা হৰণ কৰিলে এটা ঘন সংখ্যা পাম?
(a) 250:
250 = 2 × 5 × 5 × 5 = 2 × 5³
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2² = 4 (250 × 4 = 1000 = 10³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2 (250 ÷ 2 = 125 = 5³)
250 = 2 × 5 × 5 × 5 = 2 × 5³
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2² = 4 (250 × 4 = 1000 = 10³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2 (250 ÷ 2 = 125 = 5³)
(b) 675:
675 = 3³ × 5²
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 5 (675 × 5 = 3375 = 15³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 5² = 25 (675 ÷ 25 = 27 = 3³)
675 = 3³ × 5²
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 5 (675 × 5 = 3375 = 15³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 5² = 25 (675 ÷ 25 = 27 = 3³)
(c) 1372:
1372 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2² × 7³
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2 (1372 × 2 = 2744 = 14³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2² = 4 (1372 ÷ 4 = 343 = 7³)
1372 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2² × 7³
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2 (1372 × 2 = 2744 = 14³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 2² = 4 (1372 ÷ 4 = 343 = 7³)
(d) 3000:
3000 = 3 × 1000 = 3 × 10³
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 3² = 9 (3000 × 9 = 27000 = 30³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 3 (3000 ÷ 3 = 1000 = 10³)
3000 = 3 × 1000 = 3 × 10³
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 3² = 9 (3000 × 9 = 27000 = 30³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 3 (3000 ÷ 3 = 1000 = 10³)
(e) 153664:
153664 = 2⁶ × 7⁴ = (2²)³ × 7³ × 7 = 4³ × 7³ × 7
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 7² = 49 (153664 × 49 = 7529536 = 196³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 7 (153664 ÷ 7 = 21952 = 28³)
153664 = 2⁶ × 7⁴ = (2²)³ × 7³ × 7 = 4³ × 7³ × 7
• পূৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 7² = 49 (153664 × 49 = 7529536 = 196³)
• হৰণ কৰিবলগীয়া ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা = 7 (153664 ÷ 7 = 21952 = 28³)
অনুশীলনী 7.2 (Exercise 7.2)
প্ৰশ্ন 1 তলত দিয়া প্ৰশ্নবোৰৰ শুদ্ধ উত্তৰটো লিখা।
-
(i) 23 ৰ ঘনৰ একক স্থানটো হ'ব:
এককৰ অংক 3, গতিকে 3³ = 27 (একক স্থান 7)।
উত্তৰ: (c) 7 -
(ii) তলৰ কোনটো সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন?
216 = 6 × 6 × 6 = 6³।
উত্তৰ: (b) 216 -
(iii) তলৰ কোনটো সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন নহয়?
216 = 6³, 125 = 5³, 343 = 7³। কিন্তু 567 পূৰ্ণঘন নহয়।
উত্তৰ: (b) 567 -
(iv) ∛1000 ৰ মান:
1000 = 10 × 10 × 10 = 10³ ⇒ ∛1000 = 10।
উত্তৰ: (b) 10 -
(v) ∛27 + ∛64 + ∛125 ৰ মান:
= 3 + 4 + 5 = 12।
উত্তৰ: (c) 12
প্ৰশ্ন 2 মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিৰে তলৰ সংখ্যাবোৰৰ ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 125:
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
∛125 = 5
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
∛125 = 5
(ii) 343:
343 = 7 × 7 × 7 = 7³
∛343 = 7
343 = 7 × 7 × 7 = 7³
∛343 = 7
(iii) 2744:
2744 = (2×2×2) × (7×7×7) = 2³ × 7³
∛2744 = 2 × 7 = 14
2744 = (2×2×2) × (7×7×7) = 2³ × 7³
∛2744 = 2 × 7 = 14
(iv) 10648:
10648 = (2×2×2) × (11×11×11) = 2³ × 11³
∛10648 = 2 × 11 = 22
10648 = (2×2×2) × (11×11×11) = 2³ × 11³
∛10648 = 2 × 11 = 22
(v) 4096:
4096 = 2¹² = 2³ × 2³ × 2³ × 2³
∛4096 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
4096 = 2¹² = 2³ × 2³ × 2³ × 2³
∛4096 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(vi) 35937:
35937 = (3×3×3) × (11×11×11) = 3³ × 11³
∛35937 = 3 × 11 = 33
35937 = (3×3×3) × (11×11×11) = 3³ × 11³
∛35937 = 3 × 11 = 33
(vii) 216000:
216000 = (2×2×2) × (3×3×3) × (2×2×2) × (5×5×5)
= 2³ × 3³ × 2³ × 5³
∛216000 = 2 × 3 × 2 × 5 = 60
216000 = (2×2×2) × (3×3×3) × (2×2×2) × (5×5×5)
= 2³ × 3³ × 2³ × 5³
∛216000 = 2 × 3 × 2 × 5 = 60
(viii) 9261:
9261 = (3×3×3) × (7×7×7) = 3³ × 7³
∛9261 = 3 × 7 = 21
9261 = (3×3×3) × (7×7×7) = 3³ × 7³
∛9261 = 3 × 7 = 21
(ix) 21952:
21952 = (2×2×2) × (2×2×2) × (7×7×7) = 2³ × 2³ × 7³
∛21952 = 2 × 2 × 7 = 28
21952 = (2×2×2) × (2×2×2) × (7×7×7) = 2³ × 2³ × 7³
∛21952 = 2 × 2 × 7 = 28
(x) 6859:
6859 = 19 × 19 × 19 = 19³
∛6859 = 19
6859 = 19 × 19 × 19 = 19³
∛6859 = 19