ত্রিভুজৰ সর্বাংগসমতা
কৰি চাওঁ আহা 9.1 আৰু 9.2 (পৃষ্ঠা 3 - 9) — সৰ্বাংগসমতাৰ ধাৰণা
প্ৰশ্ন 9.1 সৰ্বাংগসমতাৰ ধাৰণা আৰু সমান আকৃতি:
💡 সমাধান:
- • সৰ্বাংগসমতা (Congruence): দুটা জ্যামিতিক আকৃতিৰ আকাৰ (Size) আৰু আকৃতি (Shape) হুবহু একে হ'লে এটাক আনটোৰ সৰ্বাংগসম বোলে।
- • ডাক টিকট, ব্লেড, নতুন একে মূল্যৰ মুদ্ৰা বা নোট ইয়াৰ বাস্তৱ উদাহৰণ।
প্ৰশ্ন 9.2 (1 & 2) সমান ৰেখাখণ্ড আৰু কোণ চিনাক্তকৰণ:
💡 সমাধান:
- • 3 চেমি ৰেখাখণ্ড: (i), (v), (viii) | 5 চেমি: (iii), (iv), (vii) | 6 চেমি: (ii), (vi)
- • 35° কোণসমূহ: (i), (iv), (vi), (viii) | 90° সমকোণ: (ii), (v), (vii)
প্ৰশ্ন 9.2 (3 & 4) সত্য/অসত্য আৰু স্তম্ভ মিলন:
💡 সত্য / অসত্য:
- (i) ৰেখাখণ্ড সমান হ'বলৈ অৱস্থান একে হ'ব লাগিব ➔ মিছা (দৈৰ্ঘ্য সমান হ'লেই হয়)
- (ii) এডাল ৰেখাখণ্ডৰ একাধিক সমান ৰেখা থাকিব পাৰে ➔ সঁচা
- (iii) কোণৰ সমতাৰ বাবে মাপহে জৰুৰী, অৱস্থান নহয় ➔ সঁচা
- (iv) বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য বেলেগ হ'লেও উৎপন্ন কোণ সমান হ'ব পাৰে ➔ সঁচা
স্তম্ভ মিলন (4) :
(D) P → (iv), Q → (i), R → (ii), S → (iii)
কৰি চাওঁ আহা 9.3 (পৃষ্ঠা 17) — জ্যামিতিক চিত্ৰ প্ৰমাণ
প্ৰশ্ন 1 বৃত্তটোত AB আৰু CD জ্যা দুডাল সমান। প্ৰমাণ কৰা যে ΔAOB ≅ ΔCOD:
💡 প্ৰমাণ:
- ΔAOB আৰু ΔCOD ত:
- 1. OA = OC (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)
- 2. OB = OD (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)
- 3. AB = CD (দিয়া আছে, সমান জ্যা)
- সেয়েহে, বাহু-বাহু-বাহু (SSS) সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্তমতে, ΔAOB ≅ ΔCOD। [প্ৰমাণিত]
প্ৰশ্ন 2 চিলাৰ চিত্ৰত: (i) প্ৰমাণ কৰা ΔABC ≅ ΔADC আৰু (ii) AC বাহুৱে ∠BAD আৰু ∠BCD ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিবনে?
💡 প্ৰমাণ:
- (i) ΔABC আৰু ΔADC ত: AB = AD, BC = DC, আৰু AC = AC (উমৈহতীয়া বাহু)।
সেয়েহে, SSS চৰ্তমতে ΔABC ≅ ΔADC। [প্ৰমাণিত] - (ii) হয়, কাৰণ সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ হিচাপে ∠BAC = ∠DAC আৰু ∠BCA = ∠DCA (CPCTC)।
প্ৰশ্ন 3 ABCD আয়তৰ দুই কাষত ΔAQD আৰু ΔBPC সৰ্বাংগসম প্ৰমাণ কৰা:
💡 প্ৰমাণ:
- ΔAQD আৰু ΔBPC ত: AD = BC (আয়তৰ বিপৰীত বাহু), AQ = BP (দিয়া আছে), DQ = CP (দিয়া আছে)।
- সেয়েহে, SSS চৰ্তমতে ΔAQD ≅ ΔBPC। [প্ৰমাণিত]
কৰি চাওঁ আহা 9.4 (পৃষ্ঠা 29 - 31) — সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত আৰু মধ্যবিন্দু
প্ৰশ্ন 1 চিত্ৰবোৰৰ সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্তসমূহ:
- (a) তিনিটা বাহু সমান ➔ বাহু-বাহু-বাহু (SSS) চৰ্ত
- (b) দুটা বাহু আৰু মধ্যৱৰ্তী কোণ সমান ➔ বাহু-কোণ-বাহু (SAS) চৰ্ত
- (c) দুটা কোণ আৰু উমৈহতীয়া বাহু সমান ➔ কোণ-বাহু-কোণ (ASA) চৰ্ত
- (d) দুটা কোণ আৰু অন্য এটা বাহু সমান ➔ কোণ-কোণ-বাহু (AAS) চৰ্ত
- (e) সমকোণ, অতিভুজ আৰু এটা বাহু সমান ➔ সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS) চৰ্ত
প্ৰশ্ন 2 & 3 সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ আৰু কৰ্ণৰ সমদ্বিখণ্ডন:
💡 সমাধান:
- • প্ৰশ্ন 2 : ABC ত্ৰিভুজত AB = AC আৰু D মধ্যবিন্দু হ'লে BD = CD হয় আৰু SSS চৰ্তমতে ΔABD ≅ ΔACD হয়।
- • প্ৰশ্ন 3 : চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ সমদ্বিখণ্ডিত হ'লে AO = CO, BO = DO আৰু বিপ্ৰতীপ কোণ সমান হোৱাৰ বাবে SAS চৰ্তমতে ΔAOB ≅ ΔCOD হয়।
সমদ্বিবাহু আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কোণৰ ধৰ্ম (পৃষ্ঠা 31 - 33)
পৃষ্ঠা 31 & 33 কোণৰ মাপ নিৰ্ণয়:
💡 ধৰ্ম আৰু গণনা:
- • সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ: সমান বাহুৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান।
যদি শীৰ্ষকোণ ∠A = 70° হয়, তেন্তে প্ৰতিটো ভূমি কোণ ∠B = ∠C = (180° - 70°) ÷ 2 = 55°। - • সমবাহু ত্ৰিভুজ: তিনিওটা বাহু সমান হোৱাৰ বাবে তিনিওটা কোণো সমান।
প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 180° ÷ 3 = 60°।
অনুশীলনী 9 (মূল পাঠভিত্তিক অনুশীলনী)
প্ৰশ্ন 1 (MCQ) শুদ্ধ উত্তৰ বাছি উলিওৱা:
- (i) ΔABC ত AB=4, BC=5.5, AC=6 আৰু ΔPQR ত PQ=4, QR=5.5, PR=6 ➔ ✔ B. ΔABC ≅ ΔPQR
- (ii) ΔABC ত ∠A = 90°, AB = AC ➔ ✔ A. ∠B = ∠C = 45°
- (iii) সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মাপ ➔ ✔ A. 60°
- (iv) AB = CD, AD = CB, ∠DAB = ∠BCD ➔ ✔ B. ΔBAD ≅ ΔDCB
- (v) AB = 7, BC = 5, ∠B = 50° আৰু DE = 5, EF = 7, ∠E = 50° ➔ ✔ A. বা-কো-বা (SAS)
- (vi) সমকোণী ত্ৰিভুজত অতিভুজ সমান হ'ব লাগিব ➔ ✔ A. AC = RQ
- (vii) ΔABC ≅ ΔDEF, ∠A = 50°, ∠E = 85° ➔ ∠C = 180° - (50° + 85°) = ✔ B. 45°
প্ৰশ্ন 2 & 3 শুদ্ধ/অশুদ্ধ আৰু উক্তি-যুক্তি:
প্ৰশ্ন 2 (শুদ্ধ/অশুদ্ধ):
- (i) শুদ্ধ (ASA ৰ পৰা AAS পাব পাৰি)
- (ii) অশুদ্ধ (সমবাহু ত্ৰিভুজ সদায় সদৃশ, সৰ্বাংগসম নহ'বও পাৰে)
- (iii) অশুদ্ধ (AAA সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত নহয়)
- (iv) শুদ্ধ (সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ সমান)
প্ৰশ্ন 3 (উক্তি আৰু যুক্তি):
✔ C. A আৰু R উভয়েই সত্য আৰু R হৈছে A ৰ সঠিক ব্যাখ্যা।
প্ৰশ্ন 4 ΔABC ত ∠B = ∠C, BL আৰু CM কোণদ্বয়ৰ সমদ্বিখণ্ডক হ'লে প্ৰমাণ কৰা BL = CM:
💡 প্ৰমাণ:
- ΔBLC আৰু ΔCMB ত:
- 1. ∠LCB = ∠MBC (যিহেতু ∠C = ∠B)
- 2. BC = BC (সাধাৰণ বাহু)
- 3. ∠LBC = 1/2 ∠B = 1/2 ∠C = ∠MCB (সমদ্বিখণ্ডক হোৱাৰ বাবে)
- সেয়েহে, ASA চৰ্তমতে ΔBLC ≅ ΔCMB।
- অতএব, অনুৰূপ বাহু হিচাপে BL = CM। [প্ৰমাণিত]
প্ৰশ্ন 5 চিত্ৰত ΔABC ৰ BD আৰু CE দুডাল উন্নতি যাতে BD = CE:
💡 সমাধান:
- (i) ΔCBD আৰু ΔBCE ৰ সমান অংশ তিনিটা:
1. ∠BDC = ∠CEB = 90° | 2. অতিভুজ BC = BC (সাধাৰণ) | 3. BD = CE (দিয়া আছে) - (ii) হয়, RHS চৰ্তমতে ΔCBD ≅ ΔBCE।
- (iii) হয়, সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ হিচাপে ∠DCB = ∠EBC (CPCTC)।
প্ৰশ্ন 7 সমদ্বিবাহু ΔABC ৰ AB = AC আৰু AD এডাল উন্নতি:
💡 সমাধান:
- (i) হয়, RHS চৰ্তমতে ΔABD ≅ ΔACD (∠ADB=∠ADC=90°, অতিভুজ AB=AC, AD সাধাৰণ বাহু)।
- (ii) হয়, সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ হিচাপে ∠B = ∠C।
- (iii) হয়, সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ বাহু হিচাপে BD = CD।
প্ৰশ্ন 8 O কেন্দ্ৰীয় বৃত্তৰ ∠AOB = 70°, ∠ODC = 55° হ'লে কোণসমূহৰ মান নিৰ্ণয় কৰা:
💡 সমাধান:
- • ΔODC ত OD = OC (ব্যাসাৰ্ধ) ➔ ∠DCO = ∠ODC = 55°
- • ∠DOC = 180° - (55° + 55°) = 70°
- • ΔOAB ত OA = OB (ব্যাসাৰ্ধ) আৰু ∠AOB = 70° ➔ ∠OBA = ∠OAB = (180° - 70°) ÷ 2 = 55°
∠DOC = 70°, ∠DCO = 55°, ∠OBA = 55°, ∠OAB = 55°
প্ৰশ্ন 9 খালী ঠাই পূৰ কৰা:
- (i) দুটা ত্ৰিভুজৰ আকৃতি আৰু কালি সমান হ'লে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম হ'ব।
- (ii) সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ আৰু উন্নতি সমান হ'লে সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS) চৰ্তমতে সৰ্বাংগসম হ'ব।
- (iii) ΔPQR ≅ ΔNML হ'লে PR বাহু আৰু NL বাহু পৰস্পৰ সমান হ'ব।
- (iv) দুটা ত্ৰিভুজ সৰ্বাংগসম হ'লে ত্ৰিভুজ দুটাৰ পৰিসীমা সমান হ'ব।