এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ
1. মূল তত্ত্ব আৰু সূত্ৰসমূহ (Key Concepts & Rules)
এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ: যি সমীকৰণত মাত্ৰ এটা চলক থাকে আৰু চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত (বা মাত্ৰা) 1 হয়, তেনে সমীকৰণক এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ (Linear/First Degree Equation in One Variable) বোলে। ইয়াৰ সাধাৰণ আৰ্হি হ’ল: ax + b = c (য’ত a ≠ 0)।
সমীকৰণৰ বীজ বা মূল (Root/Solution): চলকৰ যি নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবে সমীকৰণৰ বাওঁপক্ষ আৰু সোঁপক্ষ সমান হয়, সেই মানটোকেই সমীকৰণটোৰ বীজ বা সমাধান বোলে।
পক্ষান্তৰকৰণ বিধি (Transposition): সমীকৰণৰ এটা পক্ষৰ পৰা আন এটা পক্ষলৈ পদ স্থানান্তৰ কৰিলে:
যোগ (+) পদ পক্ষান্তৰ হ’লে বিয়োগ (-) হয়।
বিয়োগ (-) পদ পক্ষান্তৰ হ’লে যোগ (+) হয়।
পূৰণ (×) থকা ৰাশি হৰণ (÷) হয়।
হৰণ (÷) থকা ৰাশি পূৰণ (×) হয়।
বজ্ৰগুণন প্ৰক্ৰিয়া (Cross-multiplication): যদি A/B = C/D হয়, তেন্তে A × D = B × C হ’ব।
2. পাঠ্যপুথিৰ ‘নিজে চেষ্টা কৰা’ (Try Yourself – পৃষ্ঠা 27)
তলৰ সমীকৰণবোৰৰ পৰা এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণবোৰ চিনাক্ত কৰা (a, b, c, p, q ধ্ৰুৱক):
(i) 5x + 3y – 7 = 9 : নহয় (2 টা চলক x, y আছে)
(ii) 5m – 8 = 0 : হয় (এটা চলক m, ঘাত 1)
(iii) 5 = 3l : হয় (এটা চলক l, ঘাত 1)
(iv) x² – 9y + 11 = 9 : নহয় (দ্বিঘাত আৰু 2 টা চলক)
(v) ax² + bx + c = 0 : নহয় (দ্বিঘাত সমীকৰণ)
(vi) px + q = 10 : হয় (এটা চলক x, ঘাত 1)
(vii) a²x + b = 0 : হয় (এটা চলক x, ঘাত 1)
(viii) ax² + b = 0 : নহয় (দ্বিঘাত সমীকৰণ)
(ix) y = 0 : হয় (এটা চলক y, ঘাত 1)
(x) z = p³ : হয় (এটা চলক z, ঘাত 1; p ধ্ৰুৱক)
(xi) 3y + 8 = 3y – 2 : নহয় (চলক বিলুপ্ত হয়, 0 = -10 অসংগত)
(xii) 5z = -z + 6 : হয় (এটা চলক z, ঘাত 1)
3. অনুশীলনী 2.1 (Exercise 2.1) ৰ সম্পূৰ্ণ বিশদ সমাধান
তলত দিয়া সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা:
(i) 4x + 5 = 21
বা, 4x = 21 – 5
বা, 4x = 16
বা, x = 16/4
উত্তৰ: x = 4
(ii) 17y – 3 = 48
বা, 17y = 48 + 3
বা, 17y = 51
বা, y = 51/17
উত্তৰ: y = 3
(iii) -8 + 2x = -4
বা, 2x = -4 + 8
বা, 2x = 4
বা, x = 4/2
উত্তৰ: x = 2
(iv) 6x/7 = 42
বা, 6x = 42 × 7
বা, 6x = 294
বা, x = 294/6
উত্তৰ: x = 49
(v) 6y/11 = 54/99
বা, 6y/11 = 6/11
বা, 6y = 6
উত্তৰ: y = 1
(vi) 3x = 180 + 6x
বা, 3x – 6x = 180
বা, -3x = 180
বা, x = 180/(-3)
উত্তৰ: x = -60
(vii) 2x + 3 = x + 4
বা, 2x – x = 4 – 3
উত্তৰ: x = 1
(viii) 2 – 5x = 3x – 9
বা, -5x – 3x = -9 – 2
বা, -8x = -11
উত্তৰ: x = 11/8
(ix) 5(p – 3) = 3(p + 2)
বা, 5p – 15 = 3p + 6
বা, 5p – 3p = 6 + 15
বা, 2p = 21
উত্তৰ: p = 21/2
(x) 3/(4y) = -9
বা, -36y = 3
বা, y = 3/(-36)
উত্তৰ: y = -1/12
(xi) 4x/5 + 1 = 7/15
বা, 4x/5 = 7/15 – 1 = -8/15
বা, 4x = (-8 × 5)/15 = -8/3
উত্তৰ: x = -2/3
(xii) 17x/3 – 16/9 = 2
বা, 17x/3 = 2 + 16/9 = 34/9
বা, 17x = (34 × 3)/9 = 34/3
উত্তৰ: x = 2/3
দিয়া মানবোৰৰ ভিতৰত কোনটো মান সমীকৰণটোৰ সমাধান হ’ব নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 2x – 4 = 0 ; (x = 1, 2, -2)
x = 2 হ’লে বাওঁপক্ষ = 2(2) – 4 = 0 = সোঁপক্ষ।
উত্তৰ: x = 2
(ii) 11y + 5 = -6 ; (y = 0, 1, -1)
y = -1 হ’লে বাওঁপক্ষ = 11(-1) + 5 = -6 = সোঁপক্ষ।
উত্তৰ: y = -1
(iii) 3y/5 = 3 ; (y = 3, -3, 5)
y = 5 হ’লে বাওঁপক্ষ = (3 × 5)/5 = 3 = সোঁপক্ষ।
উত্তৰ: y = 5
(iv) x + 5 = 7 – x ; (x = 1, -1, 2)
x = 1 হ’লে বাওঁপক্ষ = 1 + 5 = 6, সোঁপক্ষ = 7 – 1 = 6।
উত্তৰ: x = 1
(v) 2x + 1/3 = 1 ; (x = -1/2, 1/2, 1/3)
x = 1/3 হ’লে বাওঁপক্ষ = 2(1/3) + 1/3 = 1 = সোঁপক্ষ।
উত্তৰ: x = 1/3
(vi) 10p – 4 = 4(2p + 1) ; (p = 2, 4, -4)
p = 4 হ’লে বাওঁপক্ষ = 10(4) – 4 = 36, সোঁপক্ষ = 4(2×4 + 1) = 36।
উত্তৰ: p = 4
তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা আৰু ফলাফলৰ শুদ্ধতা পৰীক্ষা কৰা:
(i) x/3 – (x – 1)/2 = 1
বা, [2x – 3(x – 1)]/6 = 1
বা, 2x – 3x + 3 = 6
বা, -x = 3
উত্তৰ: x = -3
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = -3/3 – (-3 – 1)/2 = -1 – (-2) = 1 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(ii) n/6 – 2/3 = n/3 + 5/6
বা, n/6 – n/3 = 5/6 + 2/3
বা, (n – 2n)/6 = (5 + 4)/6
বা, -n = 9
উত্তৰ: n = -9
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = -9/6 – 2/3 = -13/6; সোঁপক্ষ = -9/3 + 5/6 = -13/6। (শুদ্ধ)
(iii) 2x + 7 – 6x/5 = 10 – 5x/2
বা, 2x – 6x/5 + 5x/2 = 10 – 7
বা, (20x – 12x + 25x)/10 = 3
বা, 33x = 30
উত্তৰ: x = 10/11
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ = 85/11। (শুদ্ধ)
(iv) 2y/5 – 3/2 = y/2 + 1
বা, 2y/5 – y/2 = 1 + 3/2
বা, (4y – 5y)/10 = 5/2
বা, -y = 25
উত্তৰ: y = -25
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ = -23/2। (শুদ্ধ)
(v) x/7 + (x – 4)/3 = 2
বা, [3x + 7(x – 4)]/21 = 2
বা, 10x – 28 = 42
বা, 10x = 70
উত্তৰ: x = 7
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = 7/7 + (7 – 4)/3 = 1 + 1 = 2 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(vi) [2x + (3x + 1) + (4x + 2)]/3 = 13
বা, (9x + 3)/3 = 13
বা, 3x + 1 = 13
বা, 3x = 12
উত্তৰ: x = 4
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = (8 + 13 + 18)/3 = 39/3 = 13 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(vii) (x – 3)/2 – (x – 1)/5 = (2x – 3)/5
বা, [5(x – 3) – 2(x – 1)]/10 = (2x – 3)/5
বা, (3x – 13)/10 = (2x – 3)/5
বা, 3x – 13 = 4x – 6
উত্তৰ: x = -7
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ = -17/5। (শুদ্ধ)
(viii) 0.25(5x – 4) = 0.05(10x – 5)
বা, 1.25x – 1 = 0.5x – 0.25
বা, 0.75x = 0.75
উত্তৰ: x = 1
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ = 0.25। (শুদ্ধ)
(ix) 0.5y + 5y/6 = 21 + 0.75y
বা, y/2 + 5y/6 – 3y/4 = 21
বা, (6y + 10y – 9y)/12 = 21
বা, 7y/12 = 21
উত্তৰ: y = 36
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ = 48। (শুদ্ধ)
(x) (10x + 7)/(4x) = 2
বা, 10x + 7 = 8x
বা, 2x = -7
উত্তৰ: x = -7/2
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = [10(-7/2) + 7] / [4(-7/2)] = -28 / -14 = 2 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(xi) (x – 9)/(x – 4) = 2/3
বা, 3(x – 9) = 2(x – 4)
বা, 3x – 27 = 2x – 8
উত্তৰ: x = 19
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = (19 – 9)/(19 – 4) = 10/15 = 2/3 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(xii) (2y – 3)/(2y) = -1/8
বা, 8(2y – 3) = -2y
বা, 16y – 24 = -2y
বা, 18y = 24
উত্তৰ: y = 4/3
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = [2(4/3) – 3] / [2(4/3)] = (-1/3) / (8/3) = -1/8 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(xiii) p/(2p + 6) = 3/8
বা, 8p = 3(2p + 6)
বা, 8p = 6p + 18
বা, 2p = 18
উত্তৰ: p = 9
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = 9/(18 + 6) = 9/24 = 3/8 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(xiv) (5x + 2)/(6x – 2) = 2/3
বা, 3(5x + 2) = 2(6x – 2)
বা, 15x + 6 = 12x – 4
বা, 3x = -10
উত্তৰ: x = -10/3
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ = 2/3। (শুদ্ধ)
(xv) [3(2 + x) – 5(2x – 3)] / (5 – 3x) = 9
বা, (6 + 3x – 10x + 15)/(5 – 3x) = 9
বা, (21 – 7x)/(5 – 3x) = 9
বা, 21 – 7x = 45 – 27x
বা, 20x = 24
উত্তৰ: x = 6/5
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = (63/5) / (7/5) = 9 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
(xvi) (0.4b – 2)/(1.5b + 15) = 2/3
বা, 3(0.4b – 2) = 2(1.5b + 15)
বা, 1.2b – 6 = 3b + 30
বা, -1.8b = 36
উত্তৰ: b = -20
পৰীক্ষা: বাওঁপক্ষ = (-8 – 2)/(-30 + 15) = -10/-15 = 2/3 = সোঁপক্ষ। (শুদ্ধ)
4. অনুশীলনী 2.2 (Exercise 2.2) ৰ সম্পূৰ্ণ বিশদ সমাধান
দুটা সংখ্যা 5:7 অনুপাতত আছে। ডাঙৰ সংখ্যাটোতকৈ সৰু সংখ্যাটো 12 কম। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল সৰু সংখ্যাটো = 5x আৰু ডাঙৰ সংখ্যাটো = 7x।
প্ৰশ্নমতে, 7x – 5x = 12
বা, 2x = 12
বা, x = 6
সৰু সংখ্যাটো = 5 × 6 = 30
ডাঙৰ সংখ্যাটো = 7 × 6 = 42
তিনিটা ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল 48। সংখ্যাকেইটা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল তিনিটা ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যা x, x + 2 আৰু x + 4।
প্ৰশ্নমতে, x + (x + 2) + (x + 4) = 48
বা, 3x + 6 = 48
বা, 3x = 42
বা, x = 14
উত্তৰ: সংখ্যা তিনিটা হ’ল 14, 16 আৰু 18।
যদি 17500 টকা তিনিজন মানুহক 1:2:4 অনুপাতত ভগাই দিয়া হয়, তেন্তে প্ৰত্যেকে কিমানকৈ টকা পালে?
সমাধান:
ধৰা হ’ল তিনিওজনে পোৱা ধন ক্ৰমে x, 2x আৰু 4x টকা।
প্ৰশ্নমতে, x + 2x + 4x = 17500
বা, 7x = 17500
বা, x = 2500
উত্তৰ: 1ম জনে পালে = 2500 টকা, 2য় জনে পালে = 5000 টকা, 3য় জনে পালে = 10000 টকা।
এখন আয়তাকাৰ খেলপথাৰৰ পৰিসীমা 280 মিটাৰ আৰু ইয়াৰ দীঘ প্ৰস্থৰ দুগুণতকৈ 2 মিটাৰ বেছি। খেলপথাৰখনৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল প্ৰস্থ = x মিটাৰ, গতিকে দীঘ = (2x + 2) মিটাৰ।
পৰিসীমা = 2(দীঘ + প্ৰস্থ) = 2(2x + 2 + x) = 2(3x + 2) = 6x + 4
প্ৰশ্নমতে, 6x + 4 = 280
বা, 6x = 276
বা, x = 46 মিটাৰ।
উত্তৰ: প্ৰস্থ = 46 মিটাৰ আৰু দীঘ = 2(46) + 2 = 94 মিটাৰ।
দুটা অংকবিশিষ্ট সংখ্যা এটাৰ এককৰ স্থানৰ অংকটো 5। সংখ্যাটো অংক দুটাৰ যোগফলৰ 5 গুণ হ’লে সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:
এককৰ অংক = 5, ধৰা হ’ল দশকৰ অংক = x।
মূল সংখ্যাটো = 10x + 5 আৰু অংক দুটাৰ যোগফল = x + 5।
প্ৰশ্নমতে, 10x + 5 = 5(x + 5)
বা, 10x + 5 = 5x + 25
বা, 5x = 20
বা, x = 4
উত্তৰ: সংখ্যাটো হ’ল 10(4) + 5 = 45।
এটা বিষমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰথম বাহু তৃতীয় বাহুতকৈ 2 চে মি বেছি আৰু দ্বিতীয় বাহু তৃতীয় বাহুৰ দুগুণতকৈ 5 চে মি কম। ত্ৰিভুজটোৰ পৰিসীমা যদি 29 চে মি হয়, তেন্তে তিনিওডাল বাহুৰ জোখ উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল 3য় বাহু = x চে মি। 1ম বাহু = (x + 2) চে মি, 2য় বাহু = (2x – 5) চে মি।
পৰিসীমা = (x + 2) + (2x – 5) + x = 4x – 3
প্ৰশ্নমতে, 4x – 3 = 29
বা, 4x = 32
বা, x = 8 চে মি।
উত্তৰ: 1ম বাহু = 10 চে মি, 2য় বাহু = 11 চে মি আৰু 3য় বাহু = 8 চে মি।
এটা সংখ্যাৰ ছয়গুণ, সংখ্যাটোৰ লগত 12 যোগ কৰি পোৱা যোগফলৰ তিনিগুণৰ সমান হয়। সংখ্যাটো উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল সংখ্যাটো x।
প্ৰশ্নমতে, 6x = 3(x + 12)
বা, 6x = 3x + 36
বা, 3x = 36
উত্তৰ: x = 12।
তিনিটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল 45। সংখ্যাকেইটা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল ক্ৰমিক সংখ্যা তিনিটা x, x + 1, x + 2।
প্ৰশ্নমতে, x + (x + 1) + (x + 2) = 45
বা, 3x + 3 = 45
বা, 3x = 42
বা, x = 14
উত্তৰ: সংখ্যা তিনিটা হ’ল 14, 15 আৰু 16।
ঊৰ্ধ্বক্ৰমত থকা তিনিটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাক ক্ৰমে 2, 3 আৰু 4 ৰে পূৰণ কৰি পোৱা সংখ্যাকেইটাৰ যোগফল 119। সংখ্যাকেইটা উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যা তিনিটা x, x + 1, x + 2।
প্ৰশ্নমতে, 2x + 3(x + 1) + 4(x + 2) = 119
বা, 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 119
বা, 9x + 11 = 119
বা, 9x = 108
বা, x = 12
উত্তৰ: সংখ্যা তিনিটা হ’ল 12, 13 আৰু 14।
20 বছৰৰ পাছত স্মিতাৰ বয়স বৰ্তমান বয়সৰ 5 গুণতকৈ 4 বছৰ কম হ’ব। স্মিতাৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
সমাধান:
ধৰা হ’ল স্মিতাৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ।
প্ৰশ্নমতে, x + 20 = 5x – 4
বা, 4x = 24
বা, x = 6
উত্তৰ: স্মিতাৰ বৰ্তমান বয়স 6 বছৰ।
ৰাজৰ বৰ্তমান বয়স ৰশ্মিৰ বৰ্তমান বয়সৰ দুগুণ। দহ বছৰ আগতে তেওঁৰ বয়স ৰশ্মিৰ বয়সৰ তিনগুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল ৰশ্মিৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ, ৰাজৰ বৰ্তমান বয়স = 2x বছৰ।
10 বছৰ আগতে: (2x – 10) = 3(x – 10)
বা, 2x – 10 = 3x – 30
বা, x = 20
উত্তৰ: ৰশ্মিৰ বৰ্তমান বয়স 20 বছৰ আৰু ৰাজৰ বৰ্তমান বয়স 40 বছৰ।
ৰাণুয়ে তাইৰ হাতত থকা 500 টকীয়া নোটখন ওচৰৰ দোকান এখনত খুচুৰা কৰিবলৈ গ’ল। দোকানীজনে তাইক কেইখনমান 50 টকীয়া আৰু কেইখনমান 20 টকীয়া মুঠ 19 খন নোট দিলে। ৰাণুয়ে প্ৰত্যেকৰে কেইখনকৈ নোট পালে?
সমাধান:
ধৰা হ’ল 50 টকীয়া নোট = x খন, 20 টকীয়া নোট = (19 – x) খন।
প্ৰশ্নমতে, 50x + 20(19 – x) = 500
বা, 30x + 380 = 500
বা, 30x = 120
বা, x = 4
উত্তৰ: 50 টকীয়া নোট পালে 4 খন আৰু 20 টকীয়া নোট পালে 15 খন।
এখন নাটকত শিশুৰ বাবে প্ৰতিটো টিকটৰ দাম 100 টকা আৰু প্ৰাপ্তবয়স্ক ব্যক্তিৰ বাবে প্ৰতিটো টিকটৰ দাম 250 টকা। 50 জন ব্যক্তিৰ পৰা সৰ্বমুঠ 8600 টকা সংগ্ৰহ কৰা হ’ল। তেওঁলোকৰ মাজত শিশুৰ সংখ্যা কিমান আছিল?
সমাধান:
ধৰা হ’ল শিশুৰ সংখ্যা = x, প্ৰাপ্তবয়স্কৰ সংখ্যা = (50 – x)।
প্ৰশ্নমতে, 100x + 250(50 – x) = 8600
বা, 12500 – 150x = 8600
বা, 150x = 3900
বা, x = 26
উত্তৰ: শিশুৰ সংখ্যা আছিল 26 জন।
এটা সংখ্যাৰ 4/5 অংশ সংখ্যাটোৰ 2/3 অংশতকৈ 6 বেছি। সংখ্যাটো কি?
সমাধান:
ধৰা হ’ল সংখ্যাটো x।
প্ৰশ্নমতে, 4x/5 – 2x/3 = 6
বা, (12x – 10x)/15 = 6
বা, 2x/15 = 6
বা, 2x = 90
উত্তৰ: x = 45।
এনে এটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা যাক 4/3 ৰে পূৰণ কৰি পোৱা পূৰণফলৰ পৰা 2/5 বিয়োগ কৰিলে -8/15 পোৱা যায়।
সমাধান:
ধৰা হ’ল সংখ্যাটো x।
প্ৰশ্নমতে, (4/3)x – 2/5 = -8/15
বা, (4/3)x = -8/15 + 6/15 = -2/15
বা, x = (-2/15) × (3/4)
উত্তৰ: x = -1/10।
দুখন বাছ পৰস্পৰ 575 কি মি দূৰত্বত থকা দুখন ঠাইৰ পৰা একে সময়তে ইখনে সিখনৰ ফালে যাত্ৰা আৰম্ভ কৰিলে। এখন বাছৰ বেগ প্ৰতি ঘণ্টাত 60 কি মি আৰু আনখনৰ বেগ প্ৰতি ঘণ্টাত 55 কি মি। বাছ দুখনৰ লগ লাগিবলৈ কিমান সময় লাগিব?
সমাধান:
আপেক্ষিক বেগ = 60 + 55 = 115 কি মি/ঘণ্টা।
মুঠ দূৰত্ব = 575 কি মি।
প্ৰয়োজন হোৱা সময় = 575 / 115 = 5 ঘণ্টা।
এজন মানুহে বজাৰত তেওঁৰ হাতত থকা মুঠ টকাৰ 1/4 অংশৰে পাচলি, 3/5 অংশৰে ফল-মূল আৰু 1/8 অংশৰে মিঠাই কিনিলে। হাতত বাকী থকা 8 টকা বাছ ভাড়া দিলে। তেওঁ মুঠ কিমান টকা লৈ বজাৰলৈ গৈছিল?
সমাধান:
ধৰা হ’ল মুঠ টকা = x।
খৰচ কৰা অংশ = x/4 + 3x/5 + x/8 = (10x + 24x + 5x)/40 = 39x/40
বাকী ধন = x – 39x/40 = x/40
প্ৰশ্নমতে, x/40 = 8
বা, x = 8 × 40 = 320 টকা।
এনে এটা ভগ্নাংশ উলিওৱা য’ত হৰ লবতকৈ 4 বেছি হয়। যদিহে লবৰ লগত 6 যোগ আৰু হৰৰ পৰা 6 বিয়োগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো 11/3 হয়।
সমাধান:
ধৰা হ’ল লব = x, হৰ = x + 4।
প্ৰশ্নমতে, (x + 6) / [(x + 4) – 6] = 11/3
বা, (x + 6)/(x – 2) = 11/3
বা, 3(x + 6) = 11(x – 2)
বা, 3x + 18 = 11x – 22
বা, 8x = 40
বা, x = 5
উত্তৰ: লব = 5, হৰ = 9; গতিকে ভগ্নাংশটো হ’ল 5/9।
এটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ হৰ লবতকৈ 5 বেছি। যদি লবটো 1 আৰু হৰটো 3 কমাই দিয়া হয়, তেন্তে নতুন পৰিমেয় সংখ্যাটো 1/4 হয়। পৰিমেয় সংখ্যাটো উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল লব = x, হৰ = x + 5।
প্ৰশ্নমতে, (x – 1) / [(x + 5) – 3] = 1/4
বা, (x – 1)/(x + 2) = 1/4
বা, 4(x – 1) = x + 2
বা, 4x – 4 = x + 2
বা, 3x = 6
বা, x = 2
উত্তৰ: লব = 2, হৰ = 7; গতিকে পৰিমেয় সংখ্যাটো হ’ল 2/7।
মাক ৰোহনতকৈ 25 বছৰ ডাঙৰ। 5 বছৰৰ পাছত ৰোহন আৰু মাকৰ বয়সৰ অনুপাত হ’ব 4:9। দুয়োৰে বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
সমাধান:
ধৰা হ’ল ৰোহনৰ বয়স = x বছৰ, মাকৰ বয়স = (x + 25) বছৰ।
5 বছৰ পিছত: (x + 5) / (x + 30) = 4/9
বা, 9(x + 5) = 4(x + 30)
বা, 9x + 45 = 4x + 120
বা, 5x = 75
বা, x = 15
উত্তৰ: ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স 15 বছৰ আৰু মাকৰ বৰ্তমান বয়স 40 বছৰ।
মনদ্বীপে এখন গাড়ী 8% লাভত ৰক্তিমক বিক্ৰী কৰিলে। ৰক্তিমে 5400 টকা দি গাড়ীখন মেৰামতি কৰিলে। তাৰ পিছত তেওঁ নৃপেনক 113400 টকাত একো লাভ লোকচান নোহোৱাকৈ বিক্ৰী কৰিলে। মনদ্বীপে গাড়ীখন কিমান দামত কিনিছিল?
সমাধান:
ৰক্তিমৰ মুঠ কিনা খৰচ = 113400 টকা।
ৰক্তিমে মনদ্বীপৰ পৰা ক্ৰয় কৰা মূল্য = 113400 – 5400 = 108000 টকা।
ধৰা হ’ল মনদ্বীপৰ ক্ৰয় মূল্য = x টকা।
মনদ্বীপৰ বিক্ৰী মূল্য = x + 8% of x = 1.08x
প্ৰশ্নমতে, 1.08x = 108000
বা, x = 108000 / 1.08 = 100000 টকা (1 লাখ টকা)।
বিদ্যালয় সপ্তাহত এখন বিদ্যালয়ৰ মুঠ ছাত্ৰৰ এক পঞ্চমাংশই 100 মিটাৰ দৌৰ আৰু এক তৃতীয়াংশই 200 মিটাৰ দৌৰত অংশগ্ৰহণ কৰিছে। 200 মিটাৰ আৰু 100 মিটাৰ দৌৰত অংশগ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰৰ পাৰ্থক্যৰ দুগুণৰ সমান ছাত্ৰই 4×100 মিটাৰ দৌৰত অংশগ্ৰহণ কৰিছে। বাকী থকা 15 জন ছাত্ৰই খেল উপভোগ কৰিছে। খেলপথাৰখনত মুঠ কিমান ছাত্ৰ আছে?
সমাধান:
ধৰা হ’ল মুঠ ছাত্ৰ = x।
100 মিটাৰত = x/5, 200 মিটাৰত = x/3।
4×100 মিটাৰত = 2 × (x/3 – x/5) = 2 × (2x/15) = 4x/15।
অংশ লোৱা মুঠ ছাত্ৰ = x/5 + x/3 + 4x/15 = (3x + 5x + 4x)/15 = 12x/15 = 4x/5।
বাকী থকা ছাত্ৰ = x – 4x/5 = x/5।
প্ৰশ্নমতে, x/5 = 15
উত্তৰ: x = 75 জন।
5. শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা [MCQ 1 পৰা 15]
তলত দিয়া সমীকৰণবোৰৰ ভিতৰত এটা চলকৰ এক ঘাতৰ সমীকৰণটো হৈছে:
উত্তৰ: (c) x/3 + x/5 = 1/4
‘এটা সংখ্যাৰ লগত 15 যোগ কৰিলে সংখ্যাটো 40 হয়।’ এই উক্তিৰ সমীকৰণটো হৈছে:
উত্তৰ: (c) x + 15 = 40
‘এটা সংখ্যাৰ পৰা 8 বিয়োগ কৰিলে সংখ্যাটো 15 হয়’। এই উক্তিৰ সমীকৰণটো হৈছে:
উত্তৰ: (b) x – 8 = 15
x ÷ 4 = 8 ৰ বীজটো হ’ল:
উত্তৰ: (b) 32
8x – 20/7 = 4x ৰ বীজটো হ’ল:
উত্তৰ: (b) 5/7
x = 0 ৰ বীজ হ’ব:
উত্তৰ: (a) 0
y এটা অযুগ্ম সংখ্যা। y ৰ ঠিক আগৰ অযুগ্ম সংখ্যাটো হ’ল:
উত্তৰ: (b) y – 2
দুটা অংকযুক্ত সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো 4 আৰু দহকৰ অংকটো যদি y হয়, তেন্তে সংখ্যাটো হ’ল:
উত্তৰ: (d) 10y + 4
সমীকৰণ 8x – 15 = 9 ৰ x ৰ বীজ হ’ল:
উত্তৰ: (c) 3
5x/3 = 30 হ’লে x ৰ মান হ’ল:
উত্তৰ: (c) 18
‘কোনো এটা সংখ্যাৰ 2/3 অংশ তাৰ 3/4 অংশতকৈ 5 কম’। এই উক্তিৰ সমীকৰণটো হ’ল:
উত্তৰ: (b) (2/3)x = (3/4)x – 5
এযোৰ পূৰক কোণৰ এটা কোণ আনটো কোণতকৈ 20° বেছি। সৰু কোণটোৰ মাপ হ’ল:
উত্তৰ: (d) 35°
এযোৰ সম্পূৰক কোণৰ ডাঙৰ কোণটো সৰু কোণৰ দুগুণ। ডাঙৰ কোণটো হ’ল:
উত্তৰ: (b) 120°
bx = 0 হ’লে x ৰ মান হ’ব (b ≠ 0):
উত্তৰ: (a) 0
m/2 = -7 হ’লে m ৰ মান হ’ব:
উত্তৰ: (c) -14
6. কৌতুক আৰু কাইথেলী অংক (ক’লৈ যোৱাহে এশ ভাই?)
প্ৰশ্ন: “ক’লৈ যোৱাহে এশ ভাই? — আমিতো এশ নহয়। আহিছো যিমান আহিব সিমান, আৰু আহিব তাৰ আধা, তাৰ পিছত আহিব তাৰ আধা আৰু তোমাৰে সৈতে এশ হ’ম।”
বীজগণিতীয় সমাধান:
ধৰা হ’ল পক্ষীৰ সংখ্যা = x।
প্ৰশ্নমতে, x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
বা, 2x + x/2 + x/4 = 99
বা, (8x + 2x + x)/4 = 99
বা, 11x/4 = 99
বা, 11x = 396
বা, x = 396 / 11 = 36
উত্তৰ: পক্ষীৰ সংখ্যা আছিল 36 টা।