পৰিমেয় সংখ্যা
১. পাঠভিত্তিক মূল ধাৰণা আৰু সংজ্ঞাসমূহ (Key Concepts & Notes)
পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংজ্ঞা: যিবোৰ সংখ্যাক p/q আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা আৰু q ≠ 0, সেইবোৰ সংখ্যাক পৰিমেয় সংখ্যা (Rational Number) বোলে। যেনে: 3/4, -7/8, 5, 0, ইত্যাদি।
ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা: লব আৰু হৰ দুয়োটাৰে চিহ্ন একে (দুয়ো ধনাত্মক বা দুয়ো ঋণাত্মক) হ’লে সংখ্যাটো ধনাত্মক হয় (যেনে: 2/3, -5/-7 = 5/7)। লব আৰু হৰৰ যিকোনো এটা ঋণাত্মক হ’লে সংখ্যাটো ঋণাত্মক হয় (যেনে: -3/5, 4/-7 = -4/7)।
যোগাত্মক অভেদ (Additive Identity): 0 (শূন্য) হ’ল যোগাত্মক অভেদ। যিকোনো পৰিমেয় সংখ্যা a ৰ বাবে: a + 0 = a = 0 + a।
গুণাত্মক অভেদ (Multiplicative Identity): 1 (এক) হ’ল গুণাত্মক অভেদ। যিকোনো পৰিমেয় সংখ্যা a ৰ বাবে: a × 1 = a = 1 × a।
যোগাত্মক বিপৰীত (Additive Inverse): a ৰ যোগাত্মক বিপৰীত হ’ল -a, কাৰণ a + (-a) = 0।
গুণাত্মক বিপৰীত বা প্ৰতিক্ৰম (Multiplicative Inverse / Reciprocal): যিকোনো অশূন্য পৰিমেয় সংখ্যা a ৰ গুণাত্মক বিপৰীত হ’ল 1/a, কাৰণ a × (1/a) = 1। (1 ৰ প্ৰতিক্ৰম 1 আৰু -1 ৰ প্ৰতিক্ৰম -1; কিন্তু 0 ৰ কোনো প্ৰতিক্ৰম নাই)।
পৰিমেয় সংখ্যাৰ মৌলিক বিধিসমূহ (Properties Table):
বিধি (Property) | যোগ (Addition) | বিয়োগ (Subtraction) | পূৰণ (Multiplication) | হৰণ (Division) |
|---|---|---|---|---|
আৱদ্ধতা বিধি (Closure) | আৱদ্ধ (মানি চলে) | আৱদ্ধ (মানি চলে) | আৱদ্ধ (মানি চলে) | আৱদ্ধ নহয় (0 ৰ বাদে আৱদ্ধ) |
ক্ৰম বিনিময় বিধি (Commutative) | মানি চলে (a+b = b+a) | মানি নচলে (a-b ≠ b-a) | মানি চলে (a×b = b×a) | মানি নচলে (a÷b ≠ b÷a) |
সহযোগ বিধি (Associative) | মানি চলে | মানি নচলে | মানি চলে | মানি নচলে |
বিতৰণ বিধি (Distributive) | যোগ আৰু বিয়োগ সাপেক্ষে পূৰণৰ বিতৰণ বিধি মানি চলে: a × (b + c) = a×b + a×c আৰু a × (b – c) = a×b – a×c | |||
২. পাঠ্যপুথিৰ দলগত আলোচনা আৰু ক্ৰিয়াকলাপ (In-Text Activities)
দলত আলোচনা কৰা (পৃষ্ঠা 2):
(i) সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই অখণ্ড সংখ্যা হয়নে?
উত্তৰ: নহয়।
প্ৰতি-উদাহৰণ: 2/3 এটা পৰিমেয় সংখ্যা, কিন্তু ই অখণ্ড সংখ্যা নহয়।
(ii) সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাই পৰিমেয় সংখ্যা হয়নে?
উত্তৰ: হয়।
কাৰণ: যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ক n/1 আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি (যেনে: 5 = 5/1, 7 = 7/1 আদি)।
(iii) সকলো পৰিমেয় সংখ্যাই স্বাভাৱিক সংখ্যা হয়নে?
উত্তৰ: নহয়।
প্ৰতি-উদাহৰণ: -3 বা 1/2 পৰিমেয় সংখ্যা, কিন্তু স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।
(iv) পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰ জানো পৰিমেয় সংখ্যা হ’ব?
উত্তৰ: হয়।
কাৰণ: সকলো পূৰ্ণ সংখ্যা 0, 1, 2, 3, … ক 0/1, 1/1, 2/1 আদি p/q আৰ্হিত লিখিব পাৰি।
৩. অনুশীলনী 1.1 (Exercise 1.1) ৰ সম্পূৰ্ণ বিশদ সমাধান
তলত দিয়াবোৰ সত্য নে অসত্য বিচাৰ কৰা:
(i) পৰিমেয় সংখ্যাই যোগ আৰু পূৰণৰ বিনিময় বিধি মানি চলে।
উত্তৰ: সত্য। [কাৰণ a + b = b + a আৰু a × b = b × a]
(ii) পৰিমেয় সংখ্যাই বিয়োগ আৰু হৰণৰ ক্ষেত্ৰত সহযোগ বিধি মানি চলে।
উত্তৰ: অসত্য। [কাৰণ বিয়োগ আৰু হৰণত সহযোগ বিধি প্ৰযোজ্য নহয়]
(iii) পৰিমেয় সংখ্যা বিয়োগত আৱদ্ধ নহয়।
উত্তৰ: অসত্য। [পৰিমেয় সংখ্যা বিয়োগ প্রক্রিয়া সাপেক্ষে আৱদ্ধ]
(iv) শূন্যৰ প্ৰতিক্ৰম নাই।
উত্তৰ: সত্য। [কাৰণ 1/0 সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়]
(v) 0/0 টো পৰিমেয় সংখ্যা।
উত্তৰ: অসত্য। [কাৰণ পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংজ্ঞাত হৰ q ≠ 0 হ’ব লাগিব]
(vi) 3/2 × 5/6 × 4/7 = 4/7 × 5/6 × 3/2
উত্তৰ: সত্য। [পূৰণৰ ক্ৰম বিনিময় আৰু সহযোগ বিধি অনুসৰি]
(vii) 5/9 × (1/3 + 7/3) = 5/9 × 1/3 + 7/3
উত্তৰ: অসত্য। [বিতৰণ বিধিমতে সোঁফালে 5/9 × 1/3 + 5/9 × 7/3 হ’ব লাগিছিল]
(viii) 7/12 – 3/7 + 11/12 = 7/12 – (3/7 + 11/12)
উত্তৰ: অসত্য। [বিয়োগত সহযোগ বিধি মানি নচলে]
(ix) -3/11 × 2/9 = -3/11
উত্তৰ: অসত্য। [কাৰণ বাওঁফাল = -6/99 = -2/33 ≠ -3/11]
(x) 4/9(11/12 + -5/6) = 4/9 × 11/12 + 4/9 × (-5/6)
উত্তৰ: সত্য। [যোগ সাপেক্ষে পূৰণৰ বিতৰণ বিধি]
যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যাবোৰ লিখা:
(i) -7/9 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = 7/9
(ii) 3 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = -3
(iii) -2/8 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = 2/8 (বা 1/4)
(iv) 19/-7 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = 19/7
(v) -a/c ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = a/c
-20/11 আৰু 5/6 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা দুটা লিখা।
-20/11 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = 20/11
5/6 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = -5/6
গুণাত্মক বিপৰীত (প্ৰতিক্ৰম) সংখ্যাবোৰ লিখা:
(i) -13 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = -1/13
(ii) (-4/9) × (-2/7) = 8/63 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = 63/8
(iii) -2 × 2/5 = -4/5 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = -5/4
(iv) -1 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = -1
(v) 5/3 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = 3/5
(vi) -4/9 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = -9/4
-1 2/3 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত কি? যুক্তি দিয়া।
সমাধান:
প্ৰদত্ত মিশ্ৰ ভগ্নাংশটো: -1 2/3 = -(1 × 3 + 2)/3 = -5/3
যিহেতু দুটা সংখ্যাৰ পূৰণফল 1 হ’লে এটাক আনটোৰ গুণাত্মক বিপৰীত বোলে,
এতিয়া, (-5/3) × (-3/5) = 1
গতিকে, -1 2/3 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত হ’ল -3/5।
1 ৰ গুণাত্মক আৰু যোগাত্মক বিপৰীত কি কি?
1 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = 1 (কাৰণ 1 × 1 = 1)
1 ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = -1 (কাৰণ 1 + (-1) = 0)
2/3 আৰু 11/16 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত সংখ্যা দুটা লিখা।
2/3 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = 3/2
11/16 ৰ গুণাত্মক বিপৰীত = 16/11
তলৰ সংখ্যা দুটাৰ প্ৰতিক্ৰম লিখা:
(i) 2/3 ৰ প্ৰতিক্ৰম = 3/2
(ii) -5/12 ৰ প্ৰতিক্ৰম = -12/5
প্ৰতিক্ৰমৰ লগত একে হোৱা পৰিমেয় সংখ্যা কি কি?
উত্তৰ: 1 আৰু -1।
(কাৰণ 1 ৰ প্ৰতিক্ৰম 1/1 = 1 আৰু -1 ৰ প্ৰতিক্ৰম 1/-1 = -1)।
-25/26 ক 5/13 ৰ প্ৰতিক্ৰমেৰে পূৰণ কৰা।
সমাধান:
5/13 ৰ প্ৰতিক্ৰম হ’ল = 13/5
এতিয়া, নিৰ্ণেয় পূৰণফল = (-25/26) × (13/5)
= (-5 × 1)/(2 × 1)
= -5/2 (বা -2 1/2)
কি বিধি প্ৰয়োগ হৈছে লিখা:
(i) -3/5 × -2/7 = -2/7 × -3/5 পূৰণৰ ক্ৰম বিনিময় বিধি (Commutative Property)
(ii) -4/5 + 0 = -4/5 = 0 + -4/5 যোগাত্মক অভেদ বিধি (Additive Identity Property)
(iii) 2/9 × 1 = 1 × 2/9 = 2/9 গুণাত্মক অভেদ বিধি (Multiplicative Identity Property)
সংখ্যাৰ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি মান নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 6/7 + 2/5 + 2/7 + 1/5
ক্ৰম বিনিময় আৰু সহযোগ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি একে হৰ থকা পদবোৰ একেলগ কৰোঁ—
= (6/7 + 2/7) + (2/5 + 1/5)
= (6 + 2)/7 + (2 + 1)/5
= 8/7 + 3/5
[7 আৰু 5 ৰ ল.সা.গু. = 35]
= (8 × 5 + 3 × 7)/35
= (40 + 21)/35 = 61/35 (বা 1 26/35)
(ii) 670 × 7/11 + 670 × 1/3
বিতৰণ বিধি [a × b + a × c = a × (b + c)] প্ৰয়োগ কৰি—
= 670 × (7/11 + 1/3)
= 670 × [(7 × 3 + 1 × 11)/33]
= 670 × [(21 + 11)/33]
= 670 × 32/33
= 21440/33 (বা 649 23/33)
(iii) 7/5 × (-3/8) + 3/4 × 7/5
বিতৰণ বিধি প্ৰয়োগ কৰি—
= 7/5 × [(-3/8) + 3/4]
= 7/5 × [(-3 + 6)/8]
= 7/5 × 3/8
= (7 × 3)/(5 × 8) = 21/40
(iv) -5/9 (-27/15 + 36/25)
বিতৰণ বিধি প্ৰয়োগ কৰি—
= [(-5/9) × (-27/15)] + [(-5/9) × (36/25)]
= [(-5/9) × (-9/5)] + [(-5/9) × (36/25)]
= 1 + [(-1 × 4)/(1 × 5)]
= 1 – 4/5 = (5 – 4)/5 = 1/5
(v) 2/3 + 3/3 – 1/4 × 2/3 + 2/3 × 1/2
বিতৰণ বিধি প্ৰয়োগ কৰি—
= 2/3 + 1 + 2/3 × [(-1/4) + 1/2]
= 2/3 + 1 + 2/3 × [(-1 + 2)/4]
= 2/3 + 1 + 2/3 × 1/4
= 2/3 + 1 + 1/6
= (4 + 6 + 1)/6 = 11/6 (বা 1 5/6)
(vi) 4/7 × (-5/9) + 4/7 × 1/5
বিতৰণ বিধি প্ৰয়োগ কৰি—
= 4/7 × [(-5/9) + 1/5]
= 4/7 × [(-25 + 9)/45]
= 4/7 × (-16/45)
= -64/315
(vii) 2/3 × (-5/7) – 1/6 × 3/7 + 1/14 × 2/3
ক্ৰম সলনি কৰি বিতৰণ বিধি প্ৰয়োগ কৰি—
= [2/3 × (-5/7) + 2/3 × 1/14] – (1/6 × 3/7)
= 2/3 × [(-5/7) + 1/14] – 1/14
= 2/3 × [(-10 + 1)/14] – 1/14
= 2/3 × (-9/14) – 1/14
= -3/7 – 1/14
= (-6 – 1)/14 = -7/14 = -1/2
2/3, 3/8 আৰু 4/5 সংখ্যাকেইটাই যোগ আৰু পূৰণৰ ক্ষেত্ৰত সহযোগ বিধি মানি চলেনে পৰীক্ষা কৰা।
ধৰা হ’ল, a = 2/3, b = 3/8, c = 4/5
(ক) যোগৰ সহযোগ বিধি [(a + b) + c = a + (b + c)] পৰীক্ষা:
বাওঁফাল = (2/3 + 3/8) + 4/5 = [(16 + 9)/24] + 4/5 = 25/24 + 4/5 = (125 + 96)/120 = 221/120
সোঁফাল = 2/3 + (3/8 + 4/5) = 2/3 + [(15 + 32)/40] = 2/3 + 47/40 = (80 + 141)/120 = 221/120
যিহেতু বাওঁফাল = সোঁফাল, গতিকে সংখ্যাকেইটাই যোগৰ সহযোগ বিধি মানি চলে।
(খ) পূৰণৰ সহযোগ বিধি [(a × b) × c = a × (b × c)] পৰীক্ষা:
বাওঁফাল = (2/3 × 3/8) × 4/5 = 1/4 × 4/5 = 1/5
সোঁফাল = 2/3 × (3/8 × 4/5) = 2/3 × 3/10 = 1/5
যিহেতু বাওঁফাল = সোঁফাল, গতিকে সংখ্যাকেইটাই পূৰণৰ সহযোগ বিধিও মানি চলে।
এটা উদাহৰণৰ দ্বাৰা দেখুওৱা যে পৰিমেয় সংখ্যা হৰণৰ ক্ষেত্ৰত আৱদ্ধ নহয়।
সমাধান:
ধৰা হ’ল a = 6 আৰু b = 0 দুটা পৰিমেয় সংখ্যা।
এতিয়া, a ÷ b = 6 ÷ 0 = 6/0
যিহেতু 0 ৰে হৰণ সংজ্ঞাবদ্ধ নহয় (অর্থহীন), গতিকে 6/0 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়।
সেয়েহে, পৰিমেয় সংখ্যাসমূহ হৰণ প্ৰক্ৰিয়া সাপেক্ষে আৱদ্ধ নহয়।
৪. অনুশীলনী 1.2 (Exercise 1.2) ৰ সম্পূৰ্ণ বিশদ সমাধান
তলত দিয়া সংখ্যাকেইটা সংখ্যাৰেখাত উপস্থাপন কৰা:
(i) 9/5:
বিশ্লেষণ: 9/5 = 1 4/5 (1 তকৈ ডাঙৰ কিন্তু 2 তকৈ সৰু)।
পদ্ধতি: 0 আৰু 1, 1 আৰু 2 ৰ মাজৰ প্ৰতি একক দূৰত্বক 5 টা সমান ভাগত ভাগ কৰা হ’ল। 0 ৰ পৰা সোঁফাললৈ 9 নম্বৰ দাগটোৱেই হ’ল 9/5।
<—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—>
0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 6/5 7/5 8/5 (9/5) 2
▲
(ii) -2/13:
বিশ্লেষণ: -2/13 সংখ্যাটো 0 আৰু -1 ৰ মাজত অৱস্থিত (-1 < -2/13 < 0)।
পদ্ধতি: 0 আৰু -1 ৰ মাজৰ ৰেখাখণ্ডক সমানে 13 টা ভাগত ভাগ কৰি 0 ৰ বাওঁফালৰ 2য় দাগটোৰে -2/13 নিৰ্দেশ কৰা হ’ল।
<—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—>
-1 -12/13 … (-2/13) -1/13 0
▲
(iii) -5/7:
বিশ্লেষণ: -5/7 সংখ্যাটো -1 আৰু 0 ৰ মাজত থাকে।
পদ্ধতি: 0 আৰু -1 ৰ মাজৰ অংশক 7 টা সমান ভাগত ভাগ কৰি 0 ৰ বাওঁফালৰ 5ম দাগটোৰে -5/7 বহুওৱা হ’ল।
<—|—|—|—|—|—|—|—|—>
-1 -6/7 (-5/7) -4/7 -3/7 -2/7 -1/7 0
▲
(iv) -1/3:
বিশ্লেষণ: -1/3 সংখ্যাটো -1 আৰু 0 ৰ মাজত অৱস্থিত।
পদ্ধতি: 0 আৰু -1 ৰ মাজৰ একক দৈৰ্ঘ্যক 3 টা সমান ভাগত ভাগ কৰি 0 ৰ বাওঁফালৰ 1ম দাগটোৱেই হ’ল -1/3।
<—|——-|——-|——-|—>
-1 -2/3 (-1/3) 0
▲
(v) 3/2:
বিশ্লেষণ: 3/2 = 1 1/2 (1 আৰু 2 ৰ ঠিক মাজত)।
পদ্ধতি: প্ৰতি একক অংশক সমানে 2 ভাগ কৰি 0 ৰ সোঁফালৰ 3য় দাগটোৰে (1 আৰু 2 ৰ ঠিক মধ্যবিন্দু) 3/2 নিৰ্দেশ কৰা হ’ল।
<—|—|—|—|—|—>
0 1/2 1 (3/2) 2
▲
তলত দিয়া সংখ্যাবিলাকৰ মাজৰ যিকোনো 5 টাকৈ পৰিমেয় সংখ্যা লিখা:
(i) -3/5 আৰু 1/3
হৰ 5 আৰু 3 ৰ ল.সা.গু. = 15।
সমহৰবিশিষ্ট কৰি পাওঁ: -3/5 = (-3×3)/(5×3) = -9/15 আৰু 1/3 = (1×5)/(3×5) = 5/15।
-9/15 আৰু 5/15 ৰ মাজৰ যিকোনো 5 টা সংখ্যা হ’ল: -8/15, -7/15, -1/15, 0, 2/15
(ii) -2/3 আৰু 3/4
হৰ 3 আৰু 4 ৰ ল.সা.গু. = 12।
সমহৰবিশিষ্ট কৰি পাওঁ: -2/3 = -8/12 আৰু 3/4 = 9/12।
-8/12 আৰু 9/12 ৰ মাজৰ যিকোনো 5 টা সংখ্যা হ’ল: -7/12, -5/12, 0, 1/12, 5/12
(iii) 5 আৰু -4
5 আৰু -4 ৰ মাজত থকা অখণ্ড সংখ্যাবোৰো পৰিমেয় সংখ্যা।
-4 আৰু 5 ৰ মাজৰ যিকোনো 5 টা সংখ্যা হ’ল: -3, -2, 0, 1, 2
(iv) -2/-3 আৰু 5/3
প্ৰথমে সৰল কৰি: -2/-3 = 2/3।
এতিয়া 2/3 আৰু 5/3 ক 10 ৰে পূৰণ কৰি পাওঁ: 2/3 = 20/30 আৰু 5/3 = 50/30।
20/30 আৰু 50/30 ৰ মাজৰ যিকোনো 5 টা সংখ্যা হ’ল: 21/30, 25/30, 31/30, 37/30, 41/30
(লঘিষ্ঠ ৰূপ: 7/10, 5/6, 31/30, 37/30, 41/30)
(v) -2/5 আৰু 3/7
হৰ 5 আৰু 7 ৰ ল.সা.গু. = 35।
সমহৰবিশিষ্ট কৰি পাওঁ: -2/5 = -14/35 আৰু 3/7 = 15/35।
-14/35 আৰু 15/35 ৰ মাজৰ যিকোনো 5 টা সংখ্যা হ’ল: -10/35, -5/35, 0, 5/35, 10/35
(লঘিষ্ঠ ৰূপ: -2/7, -1/7, 0, 1/7, 2/7)
1/2 তকৈ সৰু যিকোনো 5 টা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।
সমাধান:
1/2 = 0.5। সংখ্যাৰেখাত 1/2 ৰ বাওঁফালে অৱস্থিত যিকোনো সংখ্যাই 1/2 তকৈ সৰু।
গতিকে 1/2 তকৈ সৰু যিকোনো 5 টা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ল: 0, -1, -2, 1/4, -1/2