অনুশীলনী- 1.1
1. ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ. উলিওৱা-
(i) 135 আৰু 225
সমাধান: 225>135
225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 2 × 45 + 0
∴ 135 আৰু 225 ৰ গ.সা.উ. = 45
(ii) 196 আৰু 38220
সমাধান: 38220> 196
38220 = 196 × 195 + 0
∴ 196 আৰু 38220 ৰ গ.সা.উ. = 196
(iii) 867 আৰু 255
সমাধান: 867> 255
867 = 255 × 3 + 102
225 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
∴ 867 আৰু 255 ৰ গ.সা.উ. = 51
(iv) 272 আৰু 1032
সমাধান: 1032> 272
1032 = 272 × 3 + 216
272 = 216 × 1 + 56
216 = 56 × 3 + 48
56 = 48 × 1+8
48 = 8 × 6 +0
∴ 272 আৰু 1032 ৰ গ.সা.উ. = 8
(v) 405 আৰু 2520
সমাধান: 2520> 405
2520 = 405 × 6 + 90
405 = 90 × 4 + 45
90 = 45 × 2 + 0
∴ 405 আৰু 2520 ৰ গ.সা.উ. = 45
(vi) 155 আৰু 1385
সমাধান: 1385> 155
1385 = 155 × 8 + 145
155 = 145 × 1 + 10
145 = 10 × 14 + 5
10 = 5 × 2 + 0
∴ 155 আৰু 1385 ৰ গ.সা.উ. = 5
(vii) 384 আৰু 1296
সমাধান: 1296> 384
1296 384 × 3 + 144
384 = 144 × 2 + 96
144 = 96 × 1 + 48
96 = 48 × 2 + 0
∴ 384 আৰু 1296 ৰ গ.সা.উ. = 48
(viii) 1848 আৰু 4058
সমাধান: 4058> 1848
4058 = 1848 × 1 + 1210
1848 = 1210 × 1 + 638
1210 = 638 × 1 + 572
638 = 572 × 1 + 66
572 = 66 × 8 + 44
66 = 44 × 1 + 22
44 = 22 × 2 +0
∴ 1848 আৰু 4058 ৰ গ.সা.উ. = 22
2. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
সমাধান: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা মতে-
a = bq + r ——— (i)
যত, 0 ≤ r < b
b = 6
∴ r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
ধৰাহ’ল, a = যিকোনো এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
∴ (i) ৰ পৰা-
a = 6q
বা a = 6q + 1
বা a = 6q + 2
বা a = 6q + 3
বা a = 6q + 4
বা a = 6q + 5
যিহেতু 6q, (6q + 2), (6q + 4) ক 2 ৰে বিভাজ্য ।
∴ যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
3. 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম -খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হ’ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্থম্ভত কদম-খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ’ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্থম্ভৰ উচ্চতম সংখ্য্য কি হ’ব?
সমাধান: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা মতে-
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
616 আৰু 32 ৰ গ.সা.উ. = 8
∴ খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্থম্ভৰ উচ্চতম সংখ্য্য 8 ।
4. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আহিৰ, য’ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
সমাধান: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা মতে-
a = bq + r ——— (i)
যত, 0 ≤ r < b
b = 3
∴ r = , 1, 2
ধৰাহ’ল, a = যিকোনো এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
∴ (i) ৰ পৰা-
a = 3q
বা a = 3q + 1
বা a = 3q + 2
∴ a2 = (3q)2= 9q2 = 9m
বা a2 = (3q + 1)2
= (3q)2 = 2.3q.1 + (1)2
= 9q2 + 6q + 1
= 3 [ 3q2 + 2q ] + 1
= 3m + 1
বা a2 = (3q + 2)2
= (3q)2 + 2.3q.2 + (2)2
= 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3 [ 3q2 + 4q + 1 ] + 1
= 3m + 1
∴ যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আহিৰ, য’ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
5. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যি কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আর্হি।
সমাধান: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা মতে-
a = bq + r ——— (i)
যত, 0 ≤ r < b
b = 3
ধৰাহ’ল, a = যিকোনো এটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
∴ (i) ৰ পৰা-
a = 3q
a = 3q + 1
a = 3q + 2
∴ a3 = (3q)2 = 9q2 = 9[3q2] = 9m
বা a3 = ( 3q + 1 )3
= (3q)3 + 3.(3q)2.1 + 3.3q.12 + 13
= 27q2 + 27q2 + 9q + 1
= 9 [3q2 + 3q2 + q] + 1
= 9m + 1
বা a3 = ( 3q + 2 )3
= (3q)3 + 3.(3q)2.2 + 3.3q.(2)2 + (2)3
= 27q3 + 54q2 + 36q + 8
= 9 [3q3 + 6q2 + 4q] + 8
= 9m + 8
∴ যি কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আর্হি।
6. হিমাদ্ৰীয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাক-টিকট সংগ্ৰহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাক চিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্ৰীয়ে সৰ্বাধিক কিমানটা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?
7. দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি। দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে। অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰাতেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?